กฎลูกโซ่

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ

ในวิชาแคลคูลัส กฎลูกโซ่ (อังกฤษ: Chain rule) คือสูตรสำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันคอมโพสิต

เห็นได้ชัดว่า หากตัวแปร y เปลี่ยนแปลงตามตัวแปร u ซึ่งเปลี่ยนแปลงตามตัวแปร x แล้ว อัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ x หาได้จากผลคูณ ของอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับ u คูณกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ u เทียบกับ x

สมมติให้คนหนึ่งปีนเขาด้วยอัตรา 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง อุณหภูมิจะลดต่ำลงเมื่อระดับความสูงเพิ่มขึ้น สมมติให้อัตราเป็น ลดลง 6 °F ต่อกิโลเมตร ถ้าเราคูณ 6 °F ต่อกิโลเมตรด้วย 0.5 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะได้ 3 °F ต่อชั่วโมง การคำนวณเช่นนี้เป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่

ในทางพีชคณิต กฎลูกโซ่ (สำหรับตัวแปรเดียว) ระบุว่า ถ้าฟังก์ชัน f หาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และฟังก์ชัน g หาอนุพันธ์ได้ที่ x คือเราจะได้ f \circ g = f(g(x)) ดังนั้น


 \frac {df} {dx} = \frac {d} {dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

นอกจากนี้ ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ กฎลูกโซ่เขียนแทนได้ดังนี้:


\frac {df}{dx} = \frac {df} {dg} \frac {dg}{dx}

เมื่อ \frac {df} {dg} ระบุว่า f เปลี่ยนแปลงตาม g เหมือนเป็นตัวแปรหนึ่ง.

ในการหาปริพันธ์ ส่วนกลับของกฎลูกโซ่คือการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า

The general power rule[แก้]

กฎเลขยกกำลังทั่วไปสามารถนำมาใช้กับกฎลูกโซ่ได้

Example I[แก้]

พิจารณา  f(x) = (x^2 + 1)^3 .  f(x) เทียบได้กับ  h(g(x)) โดยที่  g(x) = x^2 + 1 และ  h(x) = x^3 ดังนั้น

{|

|- | f'(x) | = 3(x^2 + 1)^2(2x) |- | | = 6x(x^2 + 1)^2 |}

Example II[แก้]

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

f(x) = \sin(x^2),

เราสามารถเขียน f(x) = h(g(x)) ด้วย h(x) = \sin x และ g(x) = x^2 จากกฎลูกโซ่ จะได้

f'(x) = 2x \cos(x^2)

เนื่องจาก h'(g(x)) = \cos (x^2) และ g'(x) = 2x

กฎลูกโซ่สำหรับหลายตัวแปร[แก้]

กฎลูกโซ่ใช้ได้กับฟังก์ชันหลายตัวแปรเช่นกัน ตัวอย่างเช่น ถ้าเรามีฟังก์ชัน f(u(x, y), v(x, y)) โดยที่

 u(x, y) = 3x + y^2 และ  v(x, y) = \sin(xy)

ดังนั้น

 {\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial u}{\partial u \over \partial x}+{\partial f \over \partial v}{\partial v \over \partial x}=3 + \cos(xy)y

บทพิสูจน์กฎลูกโซ่[แก้]

ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน และให้ x เป็นจำนวนที่ f สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ g(x) และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ x ดังนั้น จากนิยามของการหาอนุพันธ์ได้ จะได้

 g(x+\delta)-g(x)= \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \, ซึ่ง  \frac{\epsilon(\delta)}{\delta} \to 0 \, ขณะที่ \delta\to 0.

ในทำนองเดียวกัน

 f(g(x)+\alpha) - f(g(x)) = \alpha f'(g(x)) + \eta(\alpha) \, ซึ่ง \frac{\eta(\alpha)}{\alpha} \to 0 \, ขณะที่ \alpha\to 0. \,

จะได้

{|

|- |  f(g(x+\delta))-f(g(x))\, | = f(g(x) + \delta g'(x)+\epsilon(\delta)) - f(g(x)) \, |- | |  = \alpha_\delta f'(g(x)) + \eta(\alpha_\delta) \, |}

ซึ่ง \alpha_\delta = \delta g'(x) + \epsilon(\delta) \, จะเห็นว่าขณะที่ \delta\to 0 นั้น \frac{\alpha_\delta}{\delta}\to g'(x) และ \frac{\eta(\alpha_\delta)}{\delta}\to 0 ดังนั้น

 \frac{f(g(x+\delta))-f(g(x))}{\delta} \to g'(x)f'(g(x)) ขณะที่ \delta \to 0

กฎลูกโซ่พื้นฐาน[แก้]

กฎลูกโซ่นั้นเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของนิยามของอนุพันธ์ทั้งหมด เช่น ถ้า E F และ G เป็น ปริภูมิบานาค (รวมไปถึงปริภูมิยูคลิดด้วย) และ f : EF และ g : FG เป็นฟังก์ชัน และถ้า x เป็นสมาชิกของ E ซึ่ง f หาอนุพันธ์ได้ที่ x และ g หาอนุพันธ์ได้ที่ f(x) แล้ว อนุพันธ์ (อนุพันธ์เฟรเชต์) ของฟังก์ชันคอมโพสิต g o f ที่ x จะเป็นดังนี้

\mbox{D}_x\left(g \circ f\right) = \mbox{D}_{f\left(x\right)}\left(g\right) \circ \mbox{D}_x\left(f\right).

สังเกตว่าอนุพันธ์นี้เป็นการแปลงเชิงเส้น ไม่ใช่ตัวเลข ถ้าการแปลงเชิงเส้นแทนด้วยเมทริกซ์ (จาโคเบียนเมทริกซ์) การรวมทางด้านขวาจะกลายเป็นการคูณเมทริกซ์

การกำหนดกฎลูกโซ่ที่ชัดเจนสามารถทำได้จากวิธีที่เป็นทั่วไปมากที่สุด คือ ให้ M N และ P เป็นแมนิโฟลด์ Ck (หรือบานาคแมนิโฟลด์) และให้

f : MN และ g : NP

เป็นการแปลงที่หาอนุพันธ์ได้ อนุพันธ์ของ f แทนด้วย df จะเป็นการแปลงจากปมสัมผัสของ M ไปยังปมสัมผัสของ N และสามารถเขียนแทนด้วย

\mbox{d}\left(g \circ f\right) = \mbox{d}g \circ \mbox{d}f.

ด้วยวิธีนี้ รูปแบบของอนุพันธ์และปมสัมผัสจะถูกมองเห็นในรูปฟังก์เตอร์บน Category ของแมนิโฟลด์ C โดยมีการแปลง C เป็นสัณฐาน

เทนเซอร์กับกฎลูกโซ่[แก้]

ดู สนามเทนเซอร์ สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับบทบาทพื้นฐานของกฎลูกโซ่ในธรรมชาติทางเรขาคณิตของเทนเซอร์