ลิมิตของฟังก์ชัน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส | ฟังก์ชัน | ลิมิตของฟังก์ชัน | ความต่อเนื่อง | แคลคูลัสกับพหุนาม | ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย | แคลคูลัสเวกเตอร์ | แคลคูลัสเทนเซอร์

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์
การหาปริพันธ์โดยการแทนค่า | การหาปริพันธ์เป็นส่วน | การหาปริพันธ์โดยการแทนที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ | การหาปริพันธ์แบบจาน | การหาปริพันธ์ด้วยเชลล์ | การหาปริพันธ์แบบต่าง ๆ

ในวิชาคณิตศาสตร์ ลิมิตของฟังก์ชัน เป็นแนวคิดพื้นฐานของ คณิตวิเคราะห์ (ภาคทฤษฎีของแคลคูลัส)

ถ้าเราพูดว่า ฟังก์ชัน f มีลิมิต L ที่จุด p หมายความว่า ผลลัพธ์ของ f จะเข้าใกล้ L ที่จุดใกล้จุด p สำหรับนิยามอย่างเป็นทางการนั้น มีการกำหนดขึ้นครั้งแรก ช่วงปลายของคริสต์ศตวรรษที่ 19 มีรายละเอียดอยู่ข้างล่าง

ดูที่ ข่ายลำดับ (topology) สำหรับนัยทั่วไปของแนวคิดของลิมิต

ประวัติ[แก้]

ดูที่ คณิตวิเคราะห์

นิยามเป็นทางการ[แก้]

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง[แก้]

กำหนดให้ f : (M,dM) -> (N,dN) เป็นการส่งค่าระหว่าง (เป็นฟังก์ชันที่นิยามบน) ปริภูมิอิงระยะทาง สองปริภูมิ, และกำหนดให้ pM และ LN, เราจะกล่าวว่า "ลิมิตของ f ที่ p คือ L" และเขียนว่า: \lim_{x \to p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมี δ > 0 ที่ สำหรับทุกๆ xM และ dM(x, p) < δ แล้ว, dN(f(x), L) < ε

ฟังก์ชันค่าจริง[แก้]

เซตของจำนวนจริงหรือเส้นจำนวนจริง โดยทั่วไปสามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี d(x, y) := |x-y|. เช่นเดียวกับ เส้นจำนวนจริงขยาย (เส้นจำนวนจริงที่เพิ่ม +∞ และ -∞ เข้าไปด้วย) ก็สามารถมองเป็นปริภูมิอิงระยะทางได้ โดยมี d(x, y) := |arctan(x)-arctan(y)|

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริงที่จุดใดจุดหนึ่ง[แก้]

ให้ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง แล้วเราจะเขียน  \lim_{x \to p}f(x) = L ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ ε > 0 (ไม่ว่าจะเล็กเท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, |f(x)-L| < ε

ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง ที่มีทั้ง M และ N เป็นเซตของจำนวนจริง และ d(x,y) = |x-y|.

หรือเราจะเขียน  \lim_{x \to p}f(x) = \infty ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R > 0 (ไม่ว่าจะใหญ่เท่าใด) จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) > R;

หรือจะเขียนว่า  \lim_{x \to p}f(x) = -\infty ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกค่าของ R < 0 จะต้องมี δ > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ที่ 0 < |x-p| < δ, f(x) < R.

ถ้าในนิยาม เราใช้ x-p แทน |x-p| เราก็จะได้ ลิมิตขวา เขียนแทนโดย : \lim_{x \to p^+} และถ้าใช้ p-x แทน ก็จะได้ ลิมิตซ้าย เขียนแทนโดย : \lim_{x \to p^-}

ลิมิตของฟังก์ชันค่าจริง ณ อนันต์[แก้]

จะมีลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์ ถ้า สำหรับ ε > 0 ใดๆ มี S > 0 อย่างน้อยหนึ่งค่า ที่ทำให้ |f(x)-L| < ε สำหรับ x > S ใดๆ

ให้ f(x) เป็นฟังก์ชันค่าจริง เราจะพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เพิ่มขึ้น หรือลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด

เราจะเขียน

 \lim_{x \to \infty}f(x) = L

ฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน[แก้]

ระนาบเชิงซ้อน ที่มีตัววัด (metric) เป็น d(x, y) := |x-y| จะเป็นปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ด้วยเช่นกัน จะมีลิมิตสองประเภทเมื่อเราพูดถึงฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน

ลิมิตของฟังก์ชันที่จุดใดจุดหนึ่ง[แก้]

สมมติให้ f เป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน แล้วเราจะเขียนว่า

 \lim_{x \to p}f(x) = L

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี δ >0 อย่างน้อย 1 ค่า ซึ่งสำหรับจำนวนจริง x ใดๆ ซึ่ง 0<|x-p|<δ จะได้ |f(x)-L|<ε

นี่เป็นกรณีพิเศษของฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทางที่มีทั้ง M และ N เป็นระนาบเชิงซ้อน

ลิมิตของฟังก์ชัน ณ อนันต์[แก้]

เราจะเขียน

 \lim_{x \to \infty}f(x) = L

ได้ ก็ต่อเมื่อ

สำหรับ ε > 0 ใดๆ จะมี S >0 ซึ่งสำหรับจำนวนเชิงซ้อน |x|>S ใดๆ เราจะได้ |f(x)-L|<ε

ตัวอย่าง[แก้]

ฟังก์ชันค่าจริง[แก้]

\lim_{x \to 3}x^2=9 ลิมิตของ x2 เมื่อ x เข้าใกล้ 3 คือ 9 ในกรณีนี้ ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง และค่าของมันมีนิยามที่จุดนั้น ค่าลิมิตจึงเท่ากับการแทนค่าฟังก์ชัน
\lim_{x \to 0^+}x^x=1 ลิมิตของ xx เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ 1
\lim_{x \to 0}{1 \over x} = \mbox{Undefined}
\lim_{x \to 0^+}{1 \over x} = +\infty
ลิมิตสองด้านของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 นั้นไม่มีนิยาม
ลิมิตของ 1/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 จากทางขวาคือ +∞
\lim_{x \to 0^+}{|x| \over x}=1
\lim_{x \to 0^-}{|x| \over x}=-1
ลิมิตด้านเดียวของ |x|/x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 1 จากด้านบวกและคือ -1 จากด้านลบ สังเกตว่า |x|/x = -1 เมื่อ x เป็นลบ และ |x|/x = 1 เมื่อ x เป็นบวก
\lim_{x \to 0}x \sin {1 \over x} = 0 ลิมิตของ x sin(1/x) เมื่อ x เข้าใกล้ 0 คือ 0
\lim_{|x| \to \infty}x^{-a} = 0 \mbox{ if } a \in \mathbb{R}; a>0; x \in \mathbb{C} ฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบใดๆ เข้าใกล้ 0 เมื่อขนาดของ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
\lim_{x \to \infty}{x^a \over b^x} = 0 \mbox{ if } a,b \in \mathbb{R}; b>0 ฟังก์ชันยกกำลังใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพิ่มใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
\lim_{x \to \infty}{\log_b x \over x^a} = 0 \mbox{ if } a,b \in \mathbb{R}; a>0; b>0 ฟังก์ชันลอการิทึมใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันยกกำลังที่เป็นบวกใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด
\lim_{x \to \infty}{a^x \over x!} = 0 \mbox{ if } a \in \mathbb{R} ฟังก์ชันเลขชี้กำลังใดๆ จะมีขนาดลดลงเป็นศูนย์ เทียบกับฟังก์ชันแฟกทอเรียลใดๆ เมื่อ x เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อย่างไม่มีขอบเขตจำกัด

ฟังก์ชันบนปริภูมิอิงระยะทาง[แก้]

  • ถ้า z เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ |z| < 1 แล้วลำดับ z, z2, z3, ... ของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าโดยมีลิมิตเป็น 0 โดยเรขาคณิตแล้ว จำนวนเหล่านี้จะ "เวียนเป็นก้นหอย" เข้าสู่จุดกำเนิด ตามเส้นก้นหอยลอการิทึม
  • ในปริภูมิอิงระยะทาง C[a,b] ของฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ ที่นิยามบนช่วง [a,b] โดยมีระยะทางเพิ่มขึ้นจาก Supremum norm สมาชิกทุกตัวสามารถเขียนในรูปของลิมิตของลำดับของ ฟังก์ชันพหุนาม ได้ นี่คือเนื้อหาของ ทฤษฎีบทสโตน-ไวแยร์สตราสส์ (Stone-Weierstrass theorem)

คุณสมบัติ[แก้]

ประโยค "ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ p คือ L" เหมือนกับประโยค

"สำหรับลำดับลู่เข้า (xn) ใน M ซึ่งมีลิมิตเท่ากับ pลำดับ (f(xn)) ลู่เข้าสู่ลิมิต L"

ในกรณีที่ f เป็นฟังก์ชันค่าจริง จะได้ว่า ประโยคนั้นเหมือนกับ "ทั้งลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของ f ที่ p คือ L"

ฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง ที่ p ก็ต่อเมื่อ เราสามารถหาค่าของลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ p และค่านั้นเท่ากับ f(p) หรืออีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชัน f แปลงลำดับใดๆ ใน M ซึ่งสู่เข้าหา p ไปเป็นลำดับ N ซึ่งลู่เข้าหา f(p)