กฎผลคูณ

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส ซึ่งเราอาจเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ (ดูการอนุพัทธ์) ควบคุมอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

ซึ่งอาจเขียนได้ดังนี้

$\,\! (fg) '=f'g+fg'$

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

${d\over dx} (uv) =u{dv\over dx}+v{du\over dx}$

ค้นพบโดยไลบ์นิซ

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล สมมุติให้ u (x) และ v (x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

$d (uv) \,$	$= (u + du) (v + dv) - uv\,$
	$= u (dv) + v (du) + (du) (dv) \,$

แต่เนื่องจากเทอม (du) (dv) มีค่าน้อย (ในรูปควาดราติกของ du และ dv) ไลบ์นิซสรุปว่า

$d (uv) = (du) v + u (dv) \,$

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

$\frac{d}{dx} (uv) = \left ( \frac{du}{dx} \right) v + u \left ( \frac{dv}{dx} \right)$

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

$(uv) ' = u' v + u v' \,$

ตัวอย่าง

• สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f (x) = x² sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f' (x) = 2x sin (x) + x²cos (x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x² คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin (x) คือ cos (x)).
• กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f (x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf (x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f) ' (x) = c × f ' (x). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
• กฎผลคูณสามารถใช้พิสูจน์ การหาปริพันธ์เป็นส่วน และ กฎผลหาร

ข้อผิดพลาดโดยทั่วไป

ความผิดพลาดของผู้ที่เริ่มศึกษาแคลคูลัสบ่อย ๆ คือการสมมุติว่าอนุพันธ์ของ uv เท่ากับ (u') (v) (ไลบ์นิซก็คิดเช่นนั้นในตอนแรก) แต่ว่าเราสามารถหาตัวอย่างมาโต้แย้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f ซึ่งมีอนุพันธ์ f ' (x) ฟังก์ชันนี้สามารถเขียนได้อีกรูปหนึ่งเป็น f (x) · 1 เพราะ 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ ถ้าสมมุติฐานข้างบนซึ่งผิดพลาดเป็นจริง กล่าวคือได้ (u) (v) ซึ่งก็คือ ผลคูณ f (x) · 0 มีค่าเป็น ศูนย์ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ (เช่น 1) เป็นศูนย์เสมอ

การพิสูจน์กฎผลคูณ

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต และนิยามของอนุพันธ์จากผลหารผลต่างของนิวตัน:

สมมุติว่า

$f (x) = g (x) h (x) \,$

และสมมุติต่อไปว่า g และ h หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้น

$f' (x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f (x + \Delta x) - f (x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g (x + \Delta x) h (x + \Delta x) - g (x) h (x)}{\Delta x}$

เนื่องจาก

$g (x + \Delta x) h (x + \Delta x) - g (x) h (x) = g (x) (h(x + \Delta x) - h (x)) + h (x + \Delta x) (g(x + \Delta x) - g (x)) , \,$

จะได้ว่า

$f' (x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g (x) (h(x + \Delta x) - h (x)) + h (x + \Delta x) (g(x + \Delta x) - g (x))}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \left[g (x) \left (\frac{(h (x + \Delta x) - h (x))}{\Delta x}\right) + h (x + \Delta x) \left (\frac{(g (x + \Delta x) - g (x))}{\Delta x}\right) \right]$

เนื่องจาก h มีค่าต่อเนื่องที่จุด x เราได้

$\lim_{\Delta x \to 0} h (x + \Delta x) = h (x)$

และอาศัยนิยามของอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้ของ h และ g ที่จุด x จะได้ว่า

$h' (x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h (x + \Delta x) - h (x))}{\Delta x}$

และ

$g' (x) =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g (x + \Delta x) - g (x))}{\Delta x}$

เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

$f' (x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g (x) \left (\frac{(h (x + \Delta x) - h (x))}{\Delta x}\right) + h (x + \Delta x) \left (\frac{(g (x + \Delta x) - g (x))}{\Delta x}\right) \right]$

$= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g (x) \right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h (x + \Delta x) - h (x))}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h (x + \Delta x) \right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g (x + \Delta x) - g (x))}{\Delta x}\right]$

$= g (x) h' (x) + h (x) g' (x) \,$

จบการพิสูจน์

ดูเพิ่ม

• กฎผลหาร
• การหาปริพันธ์เป็นส่วน
• ดิฟเฟอเรนเชียล