กฎผลหาร

กฎผลหาร (อังกฤษ: Quotient rule) เป็นกฎในแคลคูลัส คือวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นผลหาร ของอีกสองฟังก์ชัน ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ ถ้าฟังก์ชันที่เราต้องการหาอนุพันธ์ f(x) สามารถเขียนในรูป

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

และ h(x) ≠ 0; ดังนั้น กฎนี้กล่าวว่า อนุพันธ์ของ g(x) / h(x) เท่ากับ ตัวส่วน คูณกับ อนุพันธ์ของ ตัวเศษ ลบกับ ตัวเศษ คูณกับอนุพันธ์ของ ตัวส่วน ทั้งหมดหารด้วยกำลังสองของตัวส่วน ดังนี้

$f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.$

หรือโดยละเอียดกว่านี้แล้ว สำหรับ x ใดๆ ในเซตเปิด ที่มีจำนวน a และ h(a) ≠ 0 และทั้ง g '(a) และ h '(a) หาค่าได้ ดังนั้น f '(a) จะหาค่าได้ดังนี้

$f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}$

ตัวอย่าง

อนุพันธ์ของ $(4x - 2)/(x^2 + 1)$ คือ:

{|

|- | $\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$ | $=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$ |- | | $=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$ |- | | $=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$ |}

อนุพันธ์ของ $\sin(x)/x^2$ (เมื่อ $x$ ≠ 0) คือ:

$\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}$

บทพิสูจน์

จากผลหารผลต่างของนิวตัน

สมมุติให้ $f(x) = g(x)/h(x)$

โดยที่ $h(x)$≠ 0 และ $g$ และ $h$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}$

$= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}$

$= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$

จากกฎผลคูณ

สมมุติให้ $f(x) = g(x)/h(x)$

$g(x)=f(x)h(x)\mbox{ } \,$

$g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)\mbox{ } \,$

ที่เหลือก็มีเพียงจัดรูปของสมการให้เทอม $f'(x)$ เป็นเทอมเดียวด้านซ้าย และกำจัดเทอม $f(x)$ ออกจากด้านขวาของสมการ

$f'(x)=\frac{g'(x) - f(x)h'(x)}{h(x)} = \frac{g'(x) - \frac{g(x)}{h(x)}\cdot h'(x)}{h(x)}$

$f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^2}$

ดูเพิ่ม

• กฎผลคูณ