พลศาสตร์ของไหล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี


กลศาสตร์ภาวะต่อเนื่อง
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
สมการนาเวียร์-สโตกส์
จัดการ: แม่แบบ  พูดคุย  แก้ไข

พลศาสตร์ของไหล[1](อังกฤษ: Fluid dynamics) เป็นสาขาวิชาการย่อยของกลศาสตร์ของไหล ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของไหล ซึ่งหมายรวมถึงของเหลวและแก๊ส โดยพลศาสตร์ของไหลยังแบ่งแยกย่อยออกเป็นหลายสาขาวิชา เช่น อากาศพลศาสตร์ ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของอากาศ และพลศาสตร์ของเหลวที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของของเหลว เราใช้พลศาสตร์ของไหลในหลายวิธี เช่นในการคำนวณแรงและโมเมนต์บนอากาศยาน ในการหาอัตราการไหลของมวลของปิโตรเลียมผ่านท่อ คาดคะเนแบบรูปของสภาพอากาศ ทำความเข้าใจเนบิวลาและสสารระหว่างดาว ตลอดจนงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์

เนื้อหา

โมเดลของของไหลในอุดมคติ (Ideal Fluid Model)[แก้]

ของไหลในอุดมคติ คือ ของไหลที่มีความสมบูรณ์แบบที่ทำให้วิเคราะห์ง่าย แต่เป้นของไหลที่หายากใยความเป็นจริงจึงเป้นของไหลในอุดมคติโดยการประมาณเท่านั้น ของไหลในอุดมคติมีคุณสมบัติต่อไปนี้คือ

1.เป็นของไหลที่ใช้ความดันกดให้ปริมาตรลดลงไม่ได้ ทั้งนี้หมายความว่าความหนาแน่นของของไหลไม่ขึ้นอยู่กับความดัน และของเหลวแทบทั้งหมดมีความหนาแน่นที่ไม่เปลี่ยนค่าไปตามความดัน
2.การไหลเป็นไปอย่างสม่ำเสมอ หมายความว่าความเร็วของของไหลที่จุดใดๆภายในของไหลมีค่าคงที่ ณ จุดนั้นๆแต่ถ้าเราเปลี่ยนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดภายในของไหล ความเร็วอาจเปลี่ยนไปได้ แต่ความเร็วที่จุดใดๆก็ตามจะต้องมีค่าคงที่สม่ำเสมอ
3.การไหลไม่หมุนวน หมายความว่าของไหลไม่มีความเร็วเชิงมุม
4.ของไหลไม่มีความหนืดระหว่างชั้นของไหลที่ติดกัน

[2]

สมการต่อเนื่อง Equation of continuity[แก้]

การเคลื่อนที่ของของไหลด้วยวิธีการเขียนเวกเตอร์ความเร็วของของไหลที่แต่ละจุด มีความยาวของเวกเตอร์แทนอัตราเร็วของการไหลและทิศทางของเวกเตอร์แทนทิศทางการไหล หรืออีกวิธีหนึ่งคือการเขียนที่เราเรียกว่า สายกระแส ซึ่งคือเส้นสัมผัสกับทิศทางของความเร็ว ระยะช่องไฟระหว่างแต่ละเส้นในสายกระแสเป็นตัวระบุความมากน้อยของอัตราของการไหล ถ้าช่องไฟแคบแสดงว่าอัตราเร็วของการไหลมีค่าสุง และช่องไฟระหว่างเส้นห่างกันมากแสดงว่ามีอัตราการไหลต่ำ สำหรับการไหลแบบสม่ำเสมอ เส้นในสายกระแสจะไม่เปลี่ยนแปลง

สมการต่อเนื่องนี้เป็นผลสืบเนื่องของอนุรักษ์มวล สำหรับการไหลที่มีค่าความหนาแน่นคงที่ และไม่เปลี่ยนแปลงไปตามค่าความดัน

  \rho_1\, = \rho_2\,


สมการทอนลงมาเป็น
 V_1A_1= V_2 A_2
 VA คงที่

[3]

สมการเบอร์นูลี Bernoulli’s Equation[แก้]

การใช้หลักการของการอนุรักษ์มวลวิเคราะห์การไหลของของไหลในท่อทำให้เราเข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างอัตราเร็วและพื้นที่หน้าตัด และเราได้ความสัมพันธ์ที่เรียกว่าสมการต่อเนื่อง ในหัวข้อต่อไปเราจะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานวิเคราะห์การไหลของของไหล เพื่อที่จะใช้หลักการอนุรักษ์พลังงานคือ

 W = \Delta K\, + \Delta U\,
ซึ่งมีความหมายว่าการถ่ายโอนพลังงานคิดได้จากงาน w ซึ่งมีค่าเท่ากับผลบวกของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของของไหลที่ไหลในท่อ
ของไหลเคลื่อนที่ไปตามท่อตามแนวราบที่ปลายล่างและปลายบน

ตามรูปข้างบนแรงภายนอกที่กระทำต่อของไหลที่อยู่ระหว่าพื้นที่หน้าตัดในระนาบ x และ y มีสองแรงคือ แรงF1 จากของไหลที่อยุ่ทางด้านซ้ายมือคือ พื้นที่ของพื้นที่ A2 อีกแรงหนึ่ง และρ1 เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่

  F_1 =  \frac{\rho_1\,}{A_1}

ในเมื่อ ρ1 เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A1 ทางด้านซ้ายมือ และ

  F_2 =  \frac{\rho_2\,}{A_2}

ในเมื่อ ρ2 เป็นความดันของของไหลที่กระทำต่อพื้นที่ A2 จากทางด้านขวามือ แรงภายนอกที่ว่านี้ทำให้ของไหลซึ่งอยุ่ระหว่างพื้นที่หน้าตัดที่ xและ y ย้ายไปอยู่ระหว่างพื้นที่หน้าตัด x’ และ y’ ตามลำดับ ภายในช่วงเวลา∆ t แรง F1ดันของไหลที่พื้นที่ A1ให้ปลายล่างของไหลเคลื่อนที่ตามแนวระดับได้เป็นระยะสูงสุด ∆L1 ดังนั้น งานหรือพลังงานที่ถ่ายโอนให้ของไหลในช่วงที่พิจารณาเท่ากับ

  W_1 =  F_1 \Delta L_1\,= \rho_1\, A_1 \Delta L_1\,

ภายใน∆t เดียวกัน ของไหลในท่อถูกดันทำให้ส่วนปลายด้านบนเคลื่อนที่ ตามแนวระดับได้เป็นระยะทางสุงสุด ∆x2 ดังนั้นพลังงานที่ถ่ายโอนมีค่าเท่ากับ

  W_2 =  F_2 \Delta L_2\,= \rho_2\, A_2 \Delta L_2\,

เนื่องจาก F2 มีทิศทางตรงกันข้ามกับ∆x2 งาน W2จึงมีเครื่องหมายลบ หมายความว่าของไหลในช่วงที่เราพิจารณาเสียพลังงาน

ดังนั้นของไหลในช่วงที่เราพิจารณาเสียพลังงาน W ซึ่งมีค่าเท่ากับ

  W = W_1 - W_2
  W =\rho_1\,A_1\Delta L_1\, - \rho_2\,\Delta L_2\,

เนื่องจากความหนาแน่นไม่ได้เปลี่ยนไปจากความดัน

  A_1\Delta L_1\, = A_2\Delta L_2 = \Delta V\,

ในเมื่อ∆V เป็นปริมาตรของของไหลระหว่างระนาบ X และ Y’ ดังนั้น

  W = (\rho_1\, - \rho_2\,)\Delta V

ถ้า ∆m เป็นมวลของปริมาตร∆V

V2 เป็นค่าความเร็วของมวล ∆m ที่เคลื่อนที่ออกจากท่อผ่านพื้นA2
V1 เป็นค่าความเร็วของมวล∆m ที่เคลื่อนที่ผ่านออกจากท่อผ่านพื้นA1

ดังนั้น พลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของของไหลในท่อคือ ∆k

และ
  \Delta K\, = \left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\,V_2^2 - \left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\,V_1^2

และ พลังงานศักย์ที่เปลี่ยนไป

  \Delta U\, =(\Delta m)gh_2-2 - (\Delta m\,)gh_1


ในเมื่อ h1และ h2 เป็นความสุงสุดของจุดศูนย์กลางของพื้นที่ A2และA1 วัดจากระดับพื้นตามแนวราบพลังงานที่ถ่ายโอนนี้มีค่าเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของพลังงานรวม (พลังงานจลน์+พลังงานศักย์) เราสามารถจัดรูปได้ใหม่เป็น

 (\rho_1\, - \rho_2\,) \Delta V\, =\left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\,V_2^2 - \left ( \frac{1}{2} \right )\Delta m\, + (\Delta mgh_2\, - \Delta mgh_1\,)
  (\rho_1\, - \rho_2\,) =  \left ( \frac{ \Delta m\,}{2 \Delta V\,} \right )(V_2^2 - V_1^2) + \left ( \frac{ \Delta m\,}{2 \Delta V\,} \right )(h_1 - h_2)
 (\rho_1\, + \left ( \frac{1}{2PV_1^2} \right ) + \rho gh_1\, = \rho_2\, + \left ( \frac{ 1}{2PV_2^2} \right ) + \rho gh_2\,

สมการมีชื่อเรียกว่า สมการเบอร์นูลลี เพื่อเป็นเกียรติแก่ Daniel Bernoulli นักวิทยาสตร์ชาวสวิสผู้ก่อตั้งสมการนี้เป็นคนแรกซึ่งช่วยให้เราเข้าใจปรากฏการณ์ธรรมชาติ และหลักการบินของเครื่องบินแบบต่างๆตลอดไปจนถึงการบินของนก

[4]

การบินและแรงยก Flight and Lift[แก้]

แสดงสายกระแสรอบปีกเครื่องบิน

เครื่องบินทั่วๆไปรวมทั่งเครื่องบินเฮลิคอร์ปเตอร์ตลอดไปจนถึงนก อาศัยแรงดันบรรยากาศที่ได้มาจตาหลักการของสมการเบอร์นูลลี หรือตามหลักการของปรากฎการณ์เบอร์นูลลี นอกจากเครื่องบินและนก เรือต่างๆ เช่น เรือไฮโดรฟอยล์ เรือฮเวอร์คราฟท์ หรือแม้แต่เรือใบหาปลายังได้อาศัยยังได้อาศัยปรากฏการณ์เบอร์นูลลีที่เป็นการทำกิริยาระหว่างเรือกับน้ำ อีกทั้งวัตถุโปรเจกไตล์ เช่น ลูกกอล์ฟลูกฟุตบอลที่สามารถเลี้ยวโค้ง หรือ ไซ้โค้ง ได้อย่างน่าประหลาด สามรถอธิบายตามสมการเบอร์นูลลีได้ว่า การที่ปีกของเครื่องบินถูกออกแบบให้พื้นที่ผิวด้านบนเป็นผิวโค้งออก ทำให้กระแสอากาศเหนือปีกเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ในรูปแสดงสายกระแสด้านบนอยู่ชิดกันมากกว่ากระแสอากาศใต้ปีก ตามหลักของสมการเบอร์นุลลีความดันใต้ปีกมีค่ามากว่าทำให้เกิดแรงยกที่ปีกและเครื่องบินทั้งลำลอยตัวอยู่ในอากาศได้ทั้งนี้สอดคล้องกับหลักการณ์ และทฤษฏีกฎข้อสามของนิวตัน กล่าวคือ จากการทำกิริยาระหว่างปีกเครื่องบินกับอากาศ กระแสอากาศผลักปีนขึ้นด้านบนยกเครื่องบินให้ลอยอยู่ในอากาศได้ [5]

กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic)[แก้]

1.คุณสมบัติของของไหล ( Fluid property )

กลศาสตร์ของไหล เป็นสาขาหนึ่งของกลศาสตร์ประยุกต์ที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของของเหลวและก๊าซสาขาวิชานี้สามารถสามารถแบ่งออกได้เป็น

- สถิตศาสตร์ของไหล ( Fluid Statics ) คือของไหลที่ไหลอยู่กับที่ ได้แก่ การศึกษาความดันในของไหล หลักของพาสคาล หลักของอาร์คีมีดิส ความดึงผิว
- พลศาสตร์ของไหล ( Fluid Dynamics ) คือของไหลที่มีการเคลื่อนที่ ได้แก่ การศึกษาสมการต่อเนื่อง สมการของแบร์นูลลี ความหนืด การศึกษาทางด้านนี้สามารถประยุกต์ใช้ในการออกแบบ และแก้ไขปัญหาต่างๆ เช่น การไหลของน้ำดีและน้ำเสียการไหลของน้ำในระบบท่อดับเพลิง การระบายอากาศ การดูดควันหรือสารเคมีอันตรายออกจากพื้นที่ทำงาน เป็นต้น
2.ความหนาแน่น (Density )
ความหนาแน่น ( Density ) ของไหลนิยมใช้สัญลักษณ์ ρ หมายถึงมวลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร
 \rho\, = \frac{m}{V}

เมื่อ

ρ คือความหนาแน่นของของไหล
m มวลของของไหลหน่วยเป็น kg
v เป็นปริมาตรของของไหลหน่วยเป็น m3

[6]

3.ค่าปริมาตรจำเพาะ

ค่าปริมาตรจำเพาะ ( Specific volume, Vs ) คือค่าปริมาตรต่อหน่วยมวล ดังนั้นค่านี้จึงเทากับส่วนกลับของความหนาแน่น

 V_s = \frac{1}{\rho\,}

เมื่อ

Vs= ปริมาตรจำเพาะของของไหลหน่วยเป็น m3/kg
ρ= ความหนาแน่นของของไหลหน่วยเป็น kg/m3

4. ค่าน้ำหนักจำเพาะ ค่าน้ำหนักจำเพาะ (Specific weight ) นิยามโดยใช้สัญลักษณ์ γ หมายถึง น้ำหนักต่อหน่วยปริมาตร

 \gamma\, = \rho\,g

เมื่อ

γ= น้ำหนักจำเพาะของของไหลหน่วยเป็น N/m3
g= ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกมีค่าเท่ากับ 9.81 m/s2

5. ค่าความถ่วงจำเพาะ ค่าความถ่วงจำเพาะ (Specific Gravity, SG ) หมายถึงอัตราส่วนระหว่างระหว่างความหนาแน่นของของไหลต่อความหนาแน่นของน้ำ ณ อุณหภูมิเดียวกัน และเนื่องจากเป็นอัตราส่วนค่าของ GS จึงไม่ขึ้นกับระบบหน่วยที่ใช้

 SG = \frac{\rho\,}{\rho_w\,}

เมื่อ

SG= ค่าความถ่วงจำเพาะ ไม่มีหน่วย
ρw=ค่าความหนาแน่นของน้ำ หน่วยเป็น kg/m3 =1.000 kg/m3

[7]

6.ความดันและกฎของพาสคาล ความดัน ( Pressure ,P ) เมื่อของไหลถูกบรรจุในภาชนะ ของไหลจะมีแรงกระทำในแนวตั้งฉากกับภาชนะ โดยอัตราส่วนระหว่างแรงดัน ( force of pressure, F) และพื้นที่ตั้งฉาก (normal area, A) กับแรงดัน

P = \frac{F}{A}

หน่วยของความดันในระบบเอสไอ คือ N/m2 แต่อาจจะมีหน่วยอื่นๆได้

6.1 ความดันในของไหลที่อยู่นิ่ง

ของไหลอยู่นิ่งจะมีคุณสมบัติ 4 ข้อที่เราต้องทำความเข้าใจ

ก. แรงดันจะตั้งฉากกับพื้นผิว ถ้าแรงดันไม่ตั้งฉากหรือทำมุมใดๆ กับพื้นที่ผิวของก้อนของไหล ให้แยกองค์ประกอบของแรงในแนวตั้งฉาก และขนานกับพื้นที่ดังรูป 9.1 ในกรณีแรงที่ตั้งฉากกับพื้นที่ของของเหลวจะทำให้เกิดทอร์คและเกิดการหมุน อย่างไรก็ตามเนื่องจากของไหลอยู่นิ่งแรงลัพธ์ที่กระทำที่ผิวจะมีค่าเป็นศูนย์
ทิศทางของแรงที่กระทำต่อพื้นที่ผิวของวัตถุ

[8]

ข. แรงดันต่อหน่วยพื้นที่มีค่าเท่ากันทุกๆจุดบนผิวนั้น พิจารณาก้อนของเหลวดังรูปที่ 9.2 จากกฎข้อสองของนิวตัน
แรงดันที่กระทำต่อพื้นผิววัตถุ
ค. ความดันในของไหลจะขึ้นอยู่กับความลึกเพียงอย่างเดียว

[9]

6.2 ความดันของเหลวขึ้นอยู่กับความลึกของของเหลว เมื่อเราเจาะรูภาชนะที่บรรจุของเหลวที่ระดับต่างๆ รอบๆภาชนะ จะเห็นว่ามีของเหลวพุ่งออกจากรูที่ระดับต่างๆ ได้ไกลไม่เท่ากัน ดังรูปที่ 9.4

การพุ่งของของเหลวออกจากภาชนะ

พิจารณาของเหลวที่มีความหนาแน่น ρ อยู่นิ่งในภาชนะปิด โดย สังเกตส่วนของเหลวรูปทรงกระบอกที่มีพื้นผิวด้านบนและล่างมีค่า A หนา dy อยู่ลึกจากผิวของเหลว y = h ดังรูปที่ 9.5 ที่ผิวของของเหลวมีความดันบรรยากาศ Pa ถ้าให้ความดันที่พื้นที่ผิวด้านบนของส่วนของเหลวนี้เป็น P กดลง PA ความดันที่พื้นที่ผิวด้านล่างของส่วนของเหลวนี้เป็น P+dP จะเกิดแรงดันขึ้น ( P+dP)A ส่วนแรงดันลัพธ์ด้านข้างมีค่าเป็นศูนย์เพราะมีขนาดเท่ากับทิศทางตรงข้าม และน้ำหนักของส่วนของเหลวนี้มีค่า

 mg = \rho Agdy \, เมื่อของเหลวอยู่ในสภาพสมดุลจะได้ว่า
ของเหลวออกแรงดันต่อก้นภาชนะ
\sum\,F = 0
P.A + {\rho Agdy\,} - (P.A+dP).A = 0
P.A + {\rho Agdy\,} - P.A-AdP = 0
dP= P.A + {\rho gdy\,}
\int_Pa^h (dP) = \int_0^h (\rho gdy\,)
 P - Pa = \rho g\, \int_0^h
 P = Pa +  \rho gh \,
เมื่อ Pa =ความดันบรรยากาศ (N/m2 )
ρ =ความหนาแน่นของเหลว
g=ความเร่งของแรงโน้มถ่วง (m/s2 )
h=ความลึกของของเหลว (m)

P=ความดันสัมบูรณ์ ( absolute pressure ) ที่ความลึก h (N/m2 ) นั้นคือ ที่ระดับความลึกเดียวกันในของเหลวชนิดเดียวกัน จะมีความดันเท่ากัน กำหนดให้ความดันเนื่องจากน้ำหนักของของเหลว เรียกว่าความดันเกจ (Gauge pressure:Pw) เป็นความดันเนื่องจากของเหลว ขึ้นกับความลึกและความหนาแน่นของของเหลว มีค่าเป็น

 P_w = Pa +  \rho gh \,

เมื่อมีความดันเนื่องจากของเหลว จะทำให้เกิดแรงดันทุกทิศทุกทางและตั้งฉากกับผนังภาชนะหรือผิววัตถุที่สัมผัสกับของเหลวเสมอ และระดับที่ระดับความลึกเท่ากันในของเหลวชนิดเดียวกันที่อยู่นิ่งและอุณหภูมิคงที่ จะมีความดันเท่ากันเสมอ และของเหลวในภาชนะเดียวกันที่ระดับเดียวกันย่อมมีความดันในของเหลวมีค่าเท่ากัน

[10]

6.3 หลักการและเครื่องมือวัดความดัน ความดันเป็นคุณสมบัติที่สำคัญมากอันหนึ่งของของไหล จึงมีอุปกรณ์อย่างถูกออกแบบและพัฒนามาเพื่อทำหน้าที่ในการตรวจวัดความดัน เครื่องมือวัดความดันอย่างง่ายๆ ซึ่งใช้ปรอทวัดความดันบรรยากาศ (Atmospheric pressure) เรียกว่า บารอมิเตอร์ (barometer) ดังแสดงในรูปที่ 9.6 อุปกรณ์ดังกล่าวจะมีปลายปิดข้างหนึ่ง เติมปรอทให้เต็มแล้วกลับหลอดให้ด้านปลายเปิดจุ่มลงในอ่างที่มีปรอท ปรอทจะไหลลงไปจากหลอดส่วนหนึ่ง แต่จะมีอีกส่วนหนึ่งยังคงค้างอยู่ โดยความดัน P_1ที่ด้านบนของหลอดจะมีค่าประมาณ 0 และเราจะได้ว่าความดันที่จุด A เนื่องจากความสูงของปรอทในหลอด จะเท่ากับความดันที่จุด B ซึ่งเป็นความดันบรรยากาศ ดังสมการ

 P_1{atm} =  \rho gh \,
บารอมิเตอร์
มานอมิเตอร์

เมื่อ h คือความสูงของปรอทในหลอด และเนื่องจากเราสามารถคำนวณความดันบรรยากาศได้จากความสูงของปรอทในบารอมิเตอร์ ดังนั้นในบางครั้งจึงมีการใช้หน่วยของความดันเป็น มิลิเมตรปรอท หรือบางครั้งเรียกว่า ทอร์ (torr) ความดันบรรยากาศที่ระดับน้ำทะเลจะมีค่าประมาณ 1×105 N/m2 หรือ 760 มิลลิเมตรปรอท หรือ 760 ทอร์ เครื่องมือวัดความดันอีกชนิดหนึ่งเรียกว่า มานอมิเตอร์ (Manometer) ซึ่งเป็นหลอดรูปตัว U ที่มีของเหลวบรรจุอยู่ (โดยมากจะเป็นปรอท) ปลายด้านหนึ่งต่อเข้ากับภาชนะซึ่งมีความดัน P2 ส่วนปลายอีกข้างหนึ่งเปิดให้อากาศเข้า ซึ่งมีความดันเป็น

P1= Patm ดังรูป 9.7
ถ้า P2>P1 จะทำให้ของเหลวด้านปลายเปิดสูงกว่าด้านปลายปิดถ้าจุด B เป็นจุดบนผิวของของเหลวที่อยู่ด้านปลายปิดและ จุด A เป็นจุดที่อยู่ในแนวระดับเดียวกับจุด B
(ดังนั้น PA=PB) เราจะได้ความสัมพันธ์ดังนี้
PA=PB
  P_1 +  \rho gh \, = P_2
  P_{atm} +  \rho gh \, = P_2
  P_2 - P_{atm}  =  \rho gh \,

ความสูง h จะมีค่าเป็นสัดส่วนกับ ซึ่งค่า นี้เราเรียกว่า ความดันเกจ (Gauge Pressure ) ส่วนค่า P2ซึ่งเป็นค่าความดันเกจ บวกกับความดันบรรยากาศ เราเรียกว่า ความดันสัมบูรณ์ ( absolute pressure )

[11]

หลักการของปาสคาล ( Pascal’principle)[แก้]

“ เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงความดันเกิดขึ้นที่ส่วนหนึ่งส่วนใดของไหล ความดันที่เปลี่ยนแปลงนั้นจะถ่ายทอดไปยังของไหลโดยรอบทั่วๆ ทุกส่วนของของไหลด้วยค่าที่เท่ากันตลอด” จากหลักการนี้ทำให้เราทราบว่า เมื่อเราเพิ่มความดันที่จุดไหนของภาชนะปิดก็ตาม ของเหลวทุกจุดภายในภาชนะปิดนี้ก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นตามไปด้วย ดังแสดงตัวอย่างในรูปที่ 9.6 ถ้าเราออกแรง F1 กระทำต่อพื้นที่ A1 ทำให้เกิดความดัน P1 ทุกๆจุดในภาชนะปิดก็จะมีความดันเพิ่มขึ้นอีก P1 ถ้าเช่นกัน และถ้า P2 เป็นความดันที่เกิดขึ้นกับพื้นที่ A2 ซึ่งอยู่ในระดับความสูงเดียวกันกับ A1

ดังนั้น P1 = P2
และ
\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}
และ
\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1}{A_2}
การกระจายความดันในของเหลวที่อยู่ในภาชนะปิด
ระบบไฮโดรลิค

จากหลักของปาสคาลทำให้เรารู้ว่า ถ้า A1 มีขนาดเล็กกว่า A2 เมื่อเราออกแรก F1 จะทำให้เกิดแรงดัน F2 ที่มีขนาดมากกว่า F1 เราใช้หลักการนี้สร้างเครื่องกลผ่อนแรงที่เรียกว่า ไฮโดรลิค (Hydraulic ) ดังแสดงในรูปที่ 9.9 ความดันภายนอกที่กระทำต่อของไหลซึ่งกักตัวอยู่ในภาชนะจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นที่จุดทุกจุดในของไหลด้วยจำนวนเท่ากับความดันที่ใช้นั้น ข้อสรุปนี้อาศัยพื้นฐานบนข้อเท็จจริงที่ว่า ของเหลวอัดตัวไม่ลงดังนั้นแรงใดๆจะถ่ายทอดโดยตรงไปยังผิวภาชนะทุกส่วนกฎข้างต้นนี้รวบรวมขึ้นในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 17 โดย พาสคาลซึ่งการค้นพบนี้ทำให้พาสคาลร่ำรวยขึ้น เนื่องจากพาสคาลท้าพนันกับชาวพื้นเมืองฝรั่งเศส ว่าเขาสามารถระเบิดถังเหล้าองุ่นที่แข็งแรงที่สุดด้วยการเทเหล้าองุ่นลงไปเพียงถ้วยเดียว ไม่มีใครเชื่อว่าเขาจะทำได้ ดั้งนั้นการต่อรองจึงสูงมาก ปรากฏว่าเขาสามารถทำถึงเหล้าองุ่นให้แตกได้จริงด้วยการเทเหล้าองุ่นเติมเข้าไปในหลอดเล็กและยาวที่สอดไว้กับถังเหล้าในแนวดิ่ง เพราะว่านักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้นี้ทราบดีว่า ความสูง h ของเหล้าในหลอดจะทำให้ความดันเพิ่มขึ้นจนถึงแตกได้ ประโยชน์สมัยใหม่ของหลักของพาสคาล คือ เบรคไฮดรอลิกและเครื่องอัดไฮดรอลิก เป็นต้น รูปที่ 9.10 แสดงเครื่องอัดไฮดรอลิกซึ่งประกอบด้วยกระบอกสูบ 2 อัน ( พื้นที่ภาคตัดขวาง A1 และ A2 ) บรรจุของเหลวไว้ ออกแรง F1 น้อยๆจะได้แรก F2 ออกมาขนาดมาก

F_2 = (\frac{A_2}{A_1})F_1

นี่คือหลักพื้นฐานของการทำงานของแม่แรงไฮดรอลิกที่ใช้รถยนต์ตามสถานีบริการน้ำมัน ซึ่งในที่นี้ความดัน

P_1 = \frac{F_1}{A_1}
ได้จากการอัดอากาศ เบรคไฮดรอลิกของรถยนต์ก็ได้หลักการเดียวกัน

[12]


แรงลอยตัวและหลักของอาร์คิมิดิส(Buoyant force and Archimedes’ principle)[แก้]

สมบัติอย่างหนึ่งของของไหล คือ เมื่อวัตถุจมในของไหล น้ำหนักของวัตถุจะลดลง และบางครั้งวัตถุสามรถลอยบนของไหลได้ นั้นแสดงว่ามีแรงที่ของไหลกระทำต่อวัตถุในทิศทางที่ตรงข้ามกับทิศของน้ำหนักของวัตถุซี่งปรากฎการณ์ดังกล่าวจะสังเกตเห็นได้ชัดในกรณีที่ของไหลกลายเป็นของเหลว และอาร์คิมิดิส (Archimedes) เป็นผู้พบสมบัตินี้ของของไหล และแถลงออกมาเป็น หลักของอาร์คิมิดิส ซึ่งกล่าวว่า “เมื่อวัตถุจมหรือหลอยอยู่ในของเหลว จะถูกแรงเนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุ มีทิศทางตรงข้ามกับน้ำหนัก ขนาดเท่ากับน้ำหนักของเหลวที่มีปริมาตรเท่าส่วนที่วัตถุจมในของเหลว หรือเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ” เรียกแรงนี้ว่า แรงลอยตัว (Buoyant force: FB) ซึ่งแรงนี้เป็นแรงที่เกิดจากแรงดันลัพธ์เนื่องจากของเหลวกระทำต่อวัตถุที่อยู่ในของเหลว พิจารณาวัตถุทรงกระบอกที่มีพื้นที่หน้าตัด A สูง h จมอยู่ในของเหลวที่มีความหนา p พื้นที่หน้าตัดด้านบนและด้านล่างอยู่ลึกจากผิวของเหลวเป็นระยะ h1 และ h2 ตามลำดับ (จากรูปตัวอย่าง) แรงดันที่ผนังด้านข้าง F3 และ F4 มีขนาดเท่ากันตามทิศทางตรงข้าม แรงดันกดลงบนที่ผิวด้านบน

F_1 = \rho\,g(h_1)A

แรงดันพิ้นที่ผิวด้านล่าง

F_2 = \rho\,g(h_2)A

ซึ่งมีค่ามากกว่าแรงดันด้านบน (F1) ทั้งนี้เนื่องมาจากความดันที่มีค่ามากกว่า จะได้ว่า แรงลัพธ์มีค่าเป็น

แรงที่กระทำต่อวัตถุที่จมอยู่ในของเหลว

จากรูป

\sum F_y\, = F_2 - F_1 มีทิศขึ้น
\rho gA\,(h_2 - h_1) = \rho gAh\,
\rho gV_{jom}\, = F_2 - F_1
เท่ากับ
mg
เมื่อ
m = \rho V_{jom}\,


เมื่อ mg = น้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ
จาก FB = น้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ด้วยวัตถุ

V่jom = ปริมาตรของวัตถุที่จมในของเหลว(m3)

นั่นคือ
F_B = \rho\,gV

[13]

ความตึงผิว(Surface Tention)[แก้]

ในธรรมชาติเราเคยเห็นแมลงยืนหรือเดินบนผิวน้ำได้ บางครั้งเราสามารถทำให้เข็มเย็บผ้า หรือใบมีดโกนที่มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำ ลอยอยู่บนน้ำได้เช่นกัน และถ้าสังเกตหยดของเหลวเล็กๆที่มักมีลักษณะเป็นทรงกลมหรือหยดน้ำค้างบนใบไม้ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม แม้แต่ฟองสบู่ก็มีลักษณะเป็นทรงกลม การที่เป็นเช่นนี้เป็นเพราะว่าผิวของของเหลวจะมีแรงยึดเหนี่ยวระหว่างโมเลกุลของของเหลวด้วยกัน พยายามยึดผิวของของเหลวให้ตึง (ให้มีพื้นที่น้อยที่สุด) เรียกว่า “แรงตึงผิวของของเหลว”


แรงตึงผิวของของเหลว(Surface force :Fγ)[แก้]

เป็นแรงที่ผิวของของเหลวพยายามยึดผิวหน้าไม่ให้ขาดออกจากกัน มีทิศขนานกับผิวของของเหลว และตั้งฉากกับเส้นขอบภาชนะหรือวัตถุที่ของเหลวสัมผัส ดังรูป
ทิศทางของแรงตึงผิว

แรงตึงผิวเกิดจากแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุล ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลชนิดเดียวกันเรียกว่า แรงเชื่อมติด (Cohesive force, โมเลกุลของเหลวกับของเหลว) แต่ถ้าเป็นแรงดึงดูดระหว่างโมเลกุลต่างชนิดกันเรียกว่า แรงยึดติด (adhesion > cohesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวน้ำจะเว้าลงไป ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางน้อยกว่า 90o เมื่อแรงยึดติดมากกว่าแรงเกาะติด เช่น ผิวของปรอท (cohesion > adhesion) ดังรูปตัวอย่าง ผิวปรอทจะโค้งนูนขึ้น ทำให้มุมสัมผัส คือ θ กางมากกว่า 90o แรงตึงผิวของของเหลวจะมีทิศขนานกับผิวของของเหลวและตั้งฉากกับเส้นขอบที่ของของเหลวสัมผัส ดังแสดงในรูป

ผิวน้ำ,ผิวปรอท,ทิศทางของแรงตึงผิว

ความตึงผิว เป็นสมบัติของของของเหลวที่พยายามยึดผิวหน้าของเหลวให้มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุด มีค่าเท่ากับอัตราส่วนระหว่างแรงตึงผิว ความยาวเส้นขอบของรอยฉีกที่ผิวซึ่งสัมผัสกับอากาศ (1) ดังรูปตัวอย่าง

การคำนวณหาคววามตึงผิว

โดยมี γ เป็นความตึงผิว F คือแรงดึงผิว 1 คือ ความยาวเส้นขอบ จากรูปภาพตัวอย่าง เมื่อใช้แรง F ดึงขอบลวดซึ่งยาว 1 ซึ่งเลื่อนได้ ทำให้ผิวของเหลวที่เป็นแผ่นฟิล์มฉีกขาด เนื่องจากผิวที่สัมผัสอากาศมีสองหน้า ดังนั้น รอยฉีกยาวรวม 21 ดังนั้นจะได้ความตึงผิวเป็น

\gamma\, = \frac{F}{1}

ความตึงผิวจะขึ้นอยู่กับชนิดและอุณหภูมิของของเหลว ดังภาพ สำหรับความตึงผิวของของเหลวชนิดหนึ่งจะมีค่าเปลี่ยนไปเมื่อมีสารอื่นเจือปน เช่น น้ำเกลือ น้ำฟองสบู่ จะมีค่าความตึงผิวน้อยกว่าน้ำ การซึมตามรูเล็ก (Capillarity) เป็นปรากฎการณ์เนื่องจากความตึงผิวของของเหลว เมื่อจุ่มหลอดเล็กหรือท่อเล็ก (Capillarity) ลงในของเหลวทำให้ของเหลวในหลอดมีระดับสูงกว่าหรือต่ำกว่าผิวของเหลว ดังรูปตัวอย่าง ทั้งนี้เป็นผลเนื่องมาจากแรงตึงผิวของของเหลว ปรากฎการณ์นี้ที่เกิดในธรรมชาติได้แก่ การลำเลียงน้ำของราก, น้ำใต้ดิน การซับน้ำของกระดาษชำระ

ผิวของน้ำและผิวของปรอท

จากรูปภาพ แรงตึงผิว Fγ ทำมุม θ กับผนังชนะจะได้องค์ประกอบของแรง Fγ ในแนวดิ่ง Fγ cosθ ซึ่งมีขนาดเท่ากับน้ำหนักของของเหลวในหลอดเหนือผิวของเหลวเพราะของเหลวอยู่ในสภาพสมดุล

\sum F\, = 0

Fขึ้น=Fลง

∴FγCosθ= mg = \rho\,Ahg

Fγ = mg = \rho\,Ahg/Cosθ = (ρπR2 hg)/Cosθ

ความตึงผิว
\gamma\, = \frac{F}{d}
= (\frac{\rho\,\pi\,R^2 hg}{2 \pi\,R\cos \theta}) = (\frac{\rho\,Rhg}{2\cos \theta})


การหาความดันภายในฟองสบู่หรือหยดของเหลวจากความตึงผิวของของเหลว[แก้]

พิจารณาฟองสบู่มีรัศมี R ความตึงผิว γ ความดันอากาศภายในฟองสบุ่ P และความดันภายนอกคือ ความดันอากาศ Pa ดังรูป

แรงที่กระทำต่อหยดของเหลว

เมื่อผ่าฟองสบู่ แรงตึงผิวมีทิศขนานกับผิวฟองสบู่มีผิวสัมผัสกับอากาศ 2 ผิว คือ ผิวนอกและผิวใน ความยาวของผิวสัมผัสเป็นรูปวงกลม จะได้

Fγ=rd=r2(2\pi\,R)=4r\pi\,R

แต่แรงดัน

FP=(P - Pa)A = (P - Pa)πR2

เมื่อฟองสบู่อยู่ในสภาพสมดุลแรงทั้งสองมีขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้าม จะได้

(P - Pa)πR2 =4\gamma\,\pi\,R
P - Pa =\frac{4\gamma\,}{R}

สำหรับหยดของเหลว ผิวที่ขาดจะมีผิวนอนเพียงผิวเดียว

d = 2\pi\,R
 P-Pa = \frac{2\gamma\,}{R}
เมื่อ P = ความดันภายในของของเหลวทรงกลม (Pa)
Pa= ความดันบรรยากาศ (Pa)
γ= ความตึงผิวของเหลว (N/m)
R=รัศมีของหยดของเหลวหรือฟองสบู่ (m)

[14]

สมบัติทางอุณหพลศาสตร์ของของไหล[แก้]

ความสัมพันธ์ของสมบัติในระบบวัฏภาคเนื้อเดียว[แก้]

จากกฎข้อที่หนึ่ง สำหรับระบบปิดที่มีสาร n โมล

d(nU) =dQ + dW
ในกรณีพิเศษสำหรับกระบวนการที่ผันกลับได้ จะเขียนสมการข้างต้นได้ว่า
d(nU)=dQrev+dWrev
จากสมการนิยามของงานและเอนโทรปี จะได้
 dWrev= -Pd(nV) และ
dQrev=Td(nS)
เมื่อผนวกเข้ากับสมการข้างต้น จะได้
d(nU)=Td(ns) - Pd(nV) (1)

โดยที่ U , S และ V คือ ค่าพลังงานภายใน เอนโทรปี และปริมาตรซึ่งเป็น intensive property (มีหน่วยต่อโมล) จะเห็นได้ว่าสมการนี้เป็นความสัมพันธ์ระหว่างสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ และสมบัติเหล่านี้มีค่าขึ้นอยู่กับสภาวะเพียงเท่านั้น โดยไม่ขึ้นอยู่กับเส้นทางของกระบวนการ ดั้งนั้น ถึงแม้ว่าสมการนี้จะพัฒนามาจากกระบวนการที่ผันกลับได้ แต่เราสามารถใช้สมการนี้กับกระบวนการใดๆก็ได้ตราบเท่าที่ระบบเป็นระบบปิดซึ่งมีมวลสารคงที่

สมการข้างต้นแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง P,V,T,U และ S ซึ่งนอกจากสมการนี้แล้ว ยังมีสมการในลักษณะเดียวกันที่พัฒนาขึ้นมาสำหรับสมบัติอื่นๆ ทางอุณหพลศาสตร์ โดยเริ่มจากนิยามของพลังงานในรูปแบบอื่นๆ ดังนี้
เอนทัลปี
H=U + PV
พลังงานเฮล์มโฮลทซ์ (Helmholtz energy)
A\equiv\,U-TS (2)

พลังงานกิบส์ (Gibbs energy)

G \equiv\,H-TS (3)
พิจารณาสมการ
H\equiv\,U+PV เมื่อคูนด้วย n ตลอดทั้งสมการ จะได้
nH=nU+P(nV)

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการข้างต้นจะได้

d(nH)=d(nU)+Pd(nV)=(nV)dP

หากแทน d(nU)ด้วยค่าสมการที่ 1 จะได้

d(nH)=Td(nS)+(nV)dP (4)

ในทำนองเดียวกันถ้ากำจัด d(nU) ออกจากสมการที่ 2 (ภายหลังจากที่คูณด้วย n แล้วทำการดิฟเฟอเรทชิเอท)โดยใช้สมการที่ 1 จะได้

 d(nA)=-Pd(nV)-(nS)dT (5)

และในลักษณะเช่นเดียวกันนี้ หากทำการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 3 ที่คูณด้วย n ตลอดทั้งสมการ แล้วกำจัดพจน์ d(nU) ออกโดยใช้ค่าจากสมการที่ 4 ข้างต้น จะได้

d(nG)=(nV)dP-(nS)dT (6)
สมการที่ 1 ,4 ,5 และ 6 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปต่อหน่วยโมลหรือหน่วยมวลสารได้ ดังต่อไปนี้
dU=TdS-PdV (7)
dH=TdS+VdP (8)
dA=-PdV-SdT (9)
dG=VdP-SdT (10)
สมการที่ 7-10 เรียกว่าเป็นสมการความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐาน (fundamental property relation) ซึ่งใช้สำหรับของไหลเนื้อเดียวที่มีองค์ประกอบคงที่ สมการกลุ่มนี้สามารถใช้ในการพัฒนาสมการความสัมพันธ์ของสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่สำคัญอีกชุดหนึ่ง โดยพิจารณาสมการกลุ่มนี้ในลักษณะเดียวกันกับ

การดิฟเฟอเรนชิเอทฟังก์ชัน F=F(x,y) ดังนี้

df \equiv\,(\frac{\partial F}{\partial x})_y dx+ (\frac{\partial F}{\partial y})_x dy
หรือ
dF=Mdx+Ndy (11)
โดยที่
M\equiv\,(\frac{\partial F}{\partial x}) และ
N \equiv\,(\frac{\partial F}{\partial y})_x
ถ้าดิฟเฟอเรนชิเอทสมการข้างต้นอีกครั้ง จะได้
(\frac{\partial M}{\partial y)})_x=(\frac{\partial_2F}{\partial y\partial x}) (\frac{\partial N}{\partial x})_y = (\frac{\partial_2F}{\partial x\partial y})
พจน์ทางขวามือของสมการทั้งสองนี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้นจะได้ว่า
(\frac{\partial M}{\partial y})_x = (\frac{\partial N}{\partial x})_y (12)

ดังนั้นหากเราเทียบรูปสมการที่ 7-10 กับสมการที่ 11 จะสามารถเขียนความสัมพันธ์ในลักษณะเดียวกันกับสมการที่ 12 สำหรับสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ต่างๆได้ดังนี้

(\frac{\partial T}{\partial V})_s = - (\frac{\partial P}{\partial S})_V (13)
(\frac{\partial T}{\partial P})_s =  (\frac{\partial P}{\partial S})_V(14)
(\frac{\partial P}{\partial T})_s = (\frac{\partial S}{\partial V})_T (15)
(\frac{\partial V}{\partial T})_P = - (\frac{\partial S}{\partial P})_T (16)
สมการที่ 13-16 นั้นเรียกว่า สมการแมกซ์เวลล์ (Maxwell’s equations)

:โดยสรุปจะเห็นว่า สมการความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐานทางอุณหพลศาสาตร์สามารถนำมาใช้ในการพัฒนาสมการความสัมพันธ์แมกซ์แวลล์ สมการทั้งสองชุดนี้มีความสำคัญต่อการคำนวณหาสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่ไม่สามารถวัดค่ได้โดยตรงจากการทดลอง ซึ่งจะได้กล่าวถึงต่อไป

เอนทัลปีและเอนโทรปีในรูปฟังก์ชันของอุณหภูมิและความดัน[แก้]

ค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเป็นสมบัติของอุณหพลศาสตร์ที่ไม่อาจวัดได้โดยตรงจากการทดลองแต่สามารถหาได้จากข้องมูลที่วัดได้อื่นๆเช่น อุณหภูมิและความดัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องทราบรูปแบบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างเอนทัลปี เอนโทรปี กับอุณหภูมิและความดัน ซึงความสัมพันธ์เหล่านี้สามารถพัฒนาขั้นมาได้หากทราบว่าค่าเอนทัลปีและเอนโทรปีเปลี่ยนแปลงไปตามอุณหภูมิและความดันอย่างไร หรือพัฒนามาจากข้อมูล

(\frac{\partial H}{\partial T})_P
(\frac{\partial S}{\partial T})_P
(\frac{\partial S}{\partial T})_T
(\frac{\partial S}{\partial P})_T นั้นเอง
ค่า(\frac{\partial H}{\partial T})_P นั้นหาได้จากนิยามของ CP
(\frac{\partial H}{\partial T})_P = C_P
หรืออาจหาได้จากการหารสมการที่ 8 ด้วย dTแล้วกำจัดให้ความดันคงที่ ซึ่งจะได้
(\frac{\partial H}{\partial T})_P = T(\frac{\partial S}{\partial T})_P
เมื่อรวมสมการข้างต้นทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้
(\frac{\partial S}{\partial T})_P = C_P T(17)
สำหรับค่าดิฟเฟอเรนเชียลของเอนโทรปีเทียบกับความดันนั้น สามารถหาได้โดยตรงจากสมการแมกซ์เวลล์ (สมการที่ 16)
(\frac{\partial S}{\partial P})_T = - (\frac{\partial V}{\partial T})_P (18)
และจากสมการที่ 8 เมื่อหารด้วย dP ที่อุณหภูมิคงที่ จะได้
(\frac{\partial H}{\partial P})_T = T (\frac{\partial S}{\partial P})_T + V
เมื่อรวมกับสมการที่ 18 จะได้ค่าดิฟเฟอเนเชียลของเอนทัลปีเทียบกับความดันที่เป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้ทั้งหมด
(\frac{\partial H}{\partial P})_T = V - T (\frac{\partial V}{\partial T})_P (19)

เมื่อเรากำหนดให้ Hกับ S เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิและความดัน (สำหรับระบบที่เป็นสารบริสุทธิ์ในวัฏภาคเดียว ซึ่งมีค่า degree of freedom เท่ากับ 2 นั้น เราสามารถคำนวณสมบัติต่างๆ ของระบบได้จากตัวแปร 2 ตัว ซึ่งในที่นี้จะเลือกใช้อุณหภูมิและความดัน) ดังนี้

H=H(T,P) และ
S=S(T,P)
เราสามารถเขียนให้อยู่ในรูปดิฟเฟอเรนเชียว ได้โดยตรงจากสมการแมกซ์เวลล์ (สมการที่ 16)
dH = (\frac{\partial H}{\partial T})_P dT + (\frac{\partial H}{\partial P})_T dP
และ
dS = (\frac{\partial S}{\partial T})_P dT + (\frac{\partial S}{\partial P})_T
เมื่อแทนสมการที่ 17 และ 19 ลงในสมการข้างต้น จะได้
dH = C_P dT + dT ((V - T (\frac{\partial V}{\partial T})_P)dP(20)
และ
dS = C_P (\frac{\partial dT}{\partial T}) -  (\frac{\partial V}{\partial T})_P)dP(21)

สมการข้างต้นนี้คือสมการแสดงความสัมพันธ์ของเอลทัลปีและเอนโทรปีในรูปของอุณหภูมิและความดันความสัมพันธ์เหล่านี้มีประโยชน์ต่อการวิเคราะห์ทางอุณหพลศาสตร์ของกระบวนการต่างๆ ทั้งนี้การประยุกต์ใช้สำหรับกระบวนการไหลอย่างต่อเนื่องและคงตัวจะได้อธิบายได้อย่างละเอียดในบทต่อไป

พลังงานภายในในรูปฟังก์ชันของความดัน[แก้]

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการ

U=H-PV จะได้
(\frac{\partial U}{\partial P})_T  =  (\frac{\partial H}{\partial P})_T-P(\frac{\partial V}{\partial P})_T - V

และจากสมการที่ 19 สามารถเขียนสมการข้างต้นให้อยู่ในรูปสมการความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในกับความดัน ดังนี้

(\frac{\partial U}{\partial P})_T  = -T (\frac{\partial V}{\partial T})_P - P(\frac{\partial V}{\partial P})_T(22)

เอนทัลปีและเอนโทรปีที่สภาวะอุดมคติ[แก้]

ค่าสัมประสิทธิ์ของ dT และ dP ในสมการที่ 20 และสมการที่ 21 นั้น หาได้จากค่า CP และจากข้อมูล PVT ซึ่งในกรณีของแก๊สอุดมคติความสัมพันธ์ของ PVT เป็นดังนี้

PV^{ig} = RT
(\frac{\partial V^{ig}}{\partial T})_P  = \frac{R}{ P}
เมื่อแทนค่าสมการเหล่านี้ลงในสมการที่ 20 และสมการที่ 21 จะได้
PH^{ig}  =C_P^{ig}dT (23)
ds^{ig} = C_P^{ig}\frac{dT}{ T -R }\frac{dP}{ P} (24)
โดนสัญลักษณ์ ig หมายถึงค่าสำหรับแก๊สในอุดมคติ

เอนทัลปีและเอนโทรปีสำหรับของเหลว[แก้]

จากสมการที่ 18-20 เมื่อเปลี่ยนพจน์

(\frac{\partial V}{\partial T})_P
ให้อยู่ในรูปของ volume expansivity (β) และเปลี่ยน
(\frac{\partial V}{\partial T})_T
ให้อยู่ในรูปของ isothermal compressibility (K) ตามนิยามในสมการ จะได้
(\frac{\partial S}{\partial P})_T = -\beta V\, (25)
(\frac{\partial H}{\partial P})_T = (1-\beta T\,V (26)
(\frac{\partial U}{\partial P})_T = (KP-\beta T\,V (27)

และเมื่อแทนพจน์(∂V⁄∂T)P ในสมการที่ 20 กับสมการที่ 21 ให้อยู่ในรูปของ volume expansivity จะได้

dH =C_P dT + (1-\beta T\,VdP (28)
dS =C_P dT\frac{ dT}{T} - \beta VdP\, (29)
เนื่องจากค่า β และ κ ไม่ขึ้นกับความดันของของเหลวมากนัก การอินทิเกรตสมการที่ 28 และ 29 จึงสมารถสมมุติให้ค่าเหล่านี้เป็นค่าคงที่ได้ โดยนิยมใช้ค่าเฉลี่ยตลอดช่วงความดันมาใช้ในการคำนวณ

พลังงานภายในและเอนโทรปีในรูปของฟังก์ชันอุณหภูมิและปริมาตร[แก้]

พลังงานภายในและเอนโทรปีอาจเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันอุณหภูมิและปริมาตรได้ เมื่อทราบค่า

(\frac{\partial U}{\partial T})_V
(\frac{\partial U}{\partial V})_T
(\frac{\partial S}{\partial T})_T และ
(\frac{\partial S}{\partial V})_T

สำหรับพจน์

(\frac{\partial U}{\partial T})_V และ
(\frac{\partial U}{\partial V})_T นั้นสามารถหามาได้จากสมการ 7
(\frac{\partial U}{\partial T})_V = T(\frac{\partial S}{\partial T})_PV และ
(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial S}{\partial V})_T - P
จากนิยามของความจุความร้อนเมื่อปริมาตรคงที่ตามสมการที่ 2 จะสามารถเขียนสาการแรกได้เป็น
(\frac{\partial S}{\partial T})_V = C_\frac{V}{T}) (30)
และจากสมาการที่ 15 จะเขียนสาการที่สองได้เป็น
(\frac{\partial U}{\partial V})_T = T(\frac{\partial P}{\partial T})_V - P (31)
ถ้าเขียนพลังงานภายในและเอนโทรปีในรูปฟังก์ชันของอุณหภูมิกับปริมาตร หรือ U = U(T,V) และ S =S(T,V) และทำการดิฟเฟอเรนชิเอทจะได้
dU = (\frac{\partial U}{\partial T})_V dT + (\frac{\partial S}{\partial T})_V dV และ
dS = (\frac{\partial S}{\partial T})_V dT + (\frac{\partial S}{\partial V})_T dV
เมื่อทราบพจน์ partial derivative ในสมการข้างต้นด้วยค่าจากสมการที่ 2 ,30,31 และ 15 จะได้
dU = C_V dT + ((\frac{\partial P}{\partial T})_V - P) dV (32)
ds = C_V (\frac{dT}{T}) + (\frac{\partial P}{\partial T})_V dV (33)
ซึ่งสมการทั้งสองสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในและเอนโทรปีกับอุณหภูมิและปริมาตรของของไหล

จากสมการที่ 3 ในกรณีที่การเปลี่ยนแปลงสภาวะเกิดขึ้นที่ปริมาตรคงที่จะเขียนได้ว่า

(\frac{\partial P}{\partial T})_V =\frac{\beta\,}{T}) (34)
ดังนั้นจึงสามรถเขียนสมการที่ 32 และ 33 ไดเป็นอีกรูปแบบหนึ่งคือ
dU = C_V dT + (\frac{\beta\,}{k}T - P)dV (35)
dU = C_V dT + (\frac{\beta\,}{k})dV (36)

การใช้พลังงานกิบส์เป็นเจนเนอเรตติ้งฟังก์ชัน (Generating Function)[แก้]

ความสัมพันธ์ของสมบัติพื้นฐานดังแสดงด้วยสมการที่ 7-10 นั้นใช้ได้สำหรับของไหลเนื้อเดียวที่มีองค์ประกอบคงที่ ซึ่งจากสมการเหล่านี้จะเห็นว่าสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ เช่น U,H,A และ G มีความสัมพันธ์กับตัวแปร 2 ตัวแปรที่วัดค่าได้ เช่น กรณีของสมการที่ 10 ต่อไปนี้

dG = V dP - SdT ((10)
จากสมการนี้จะเห็นว่า พลังงานกิบส์เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิกับความดัน G = G(P,T) และเนื่องจากอุณหภูมิและความดันเป็นตัวแปรที่สามารถวัดค่าได้โดยง่าย ดังนั้นพลังงานกิบส์จึงเป็นคุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์ที่น่าจะมีประโยชน์ต่อการนำไปใช้งานต่อไป

:นอกจากสมการที่ 10 แล้ว สมการพื้นฐานของพลังงานกิบส์อาจพัฒนาได้จากคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ (ตามนิยามของดิฟเฟอเรนเชียลผลหาร) ดังนี้

d(\frac{G}{RT}) =  \frac{1}{RT}dG -  \frac{G}{RT}^2 dT
เมื่อแทนค่า dG จากสมการที่ 10 และค่า G จากสมการที่ 3 แล้วจัดรูปสมการาใหม่ จะได้สมการดังต่อไปนี้
d(\frac{G}{RT}) =  \frac{V}{RT}dP -  \frac{H}{RT}^2 dT (37)
ซึ่งจะพบว่าทุกพจน์ของสมการข้างต้นเป็นปริมาณที่ไม่มีหน่วยนอกจากนี้ สมการข้างต้นยังต่างกับสมการที่10 ตรงที่ปริมาณทางด้านขวามือของสมการเป็นค่าเอนทัลปี แทนที่จะเป็นเอนโทรปี ซึ่งทำให้สมการนี้ใช้งานได้ง่ายขึ้น
(\frac{V}{RT}) =   (\partial (\frac{G/RT}{\partial T}))_T (38) และ
(\frac{H}{RT}) =  T (\partial (\frac{G/RT}{\partial T}))_P (39)
ซึ่งจะเห็นว่า เมื่อทราบค่าของ G/RT ในรูปของฟังก์ชันของ T และ P จะทำให้คำนวณหาค่า V/RT และ H/RT

เช่นเดียวกันกับสมบัติอื่นๆ เช่น

(\frac{S}{R}) = \frac{H}{RT} - \frac{G}{RT} และ
(\frac{U}{RT}) = \frac{H}{RT} - \frac{PV}{RT}
กล่าวโดยสรุปได้ว่า เมื่อเราทราบสมการ G/RT=g(T,P)แล้ว จะทำให้สามารถหาสมบัติทางอุณหพลศาสตร์อื่นๆ ได้จากการคำนวณอย่างง่าย ดังนั้นจึงเรียกพลังงานกิบส์ว่าเป็น เจนเนอเรตติ้งฟังก์ชัน (Generating Function)

[15]


สมบัติรีซิดวล (Residual Properties)[แก้]

แม้ว่าจะสามารถหาสมบัติต่างๆ ได้จากข้อมูลเกี่ยวกับพลังงานกิบส์ แต่การหาค่า G หรือ G/RT อาจไม่สามารถทำได้โดยง่ายจากการทดลอง ดังนั้นในการหาสมบัติต่างๆ อาจทำได้โดยการนิยามสมบัติขึ้นมาอีกชนิดหนึ่ง ได้แก่พลังงานกิบส์รีซิดวล (Residual Gibb Energy) ซึ่งมีนิยามดังนี้

G^R \equiv\, G - G^{ig}
โดยที่ G และ Gig คือค่าพลังงานกิบส์จริงๆ ของระบบ และค่าพลังงานกิบส์ของแก๊สอุดมคติที่อุณหภูมิและความดันเดียวกัน

ในทำนองเดียวกัน สามารถนิยามปริมาตรรีซิดวลได้ด้วยสมการต่อไปนี้

V^R \equiv\, V - V^{ig}

ดังนั้น จะได้

V^R = V - \frac{RT}{P}
เมื่อแทน
V = \frac{ZRT}{P}
ในสมการข้างต้น จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรรีซิดวล กับ Compressibility factor ดังนี้
V^R =\frac{RT}{P} (Z -1) (40)
สมบัติรีซิดวลนั้นมีนิยามในรูปทั่วไป ดังนี้
M^R \equiv\, M - M^{ig} (41)
โดยที่ M คือสมบัติเชิงมวลทางอุณหพลศาสตร์ เช่น V,U,H,S หรือ G
จากสมการที่ 37 ถ้าเขียนสำหรับกรณีของแก๊สอุดมคติ จะได้
d(\frac{G^{ig}}{RT}) = \frac{ V^{ig} }{RT}dP - \frac{ H^{ig} }{RT^2} dT
เมื่อลบสมการนี้ออกจากสมการที่ 37 จะได้
d(\frac{G^R}{RT}) = \frac{ V^R} {RT}dP - \frac{ H^R}{RT^2} dT(42)

ซึ่งสมการข้างต้นนี้ก็คือ สมการความสัมพันธ์พื้นฐานของสมบัติรีซิดวลของของไหลที่มีองค์ประกอบคงที่ และจากสมการนี้ จะได้ว่า

\frac{V^R}{RT} =  (\partial( \frac{G^R}{RT}))_T(43) และ
\frac{H^R}{RT} =  T(\partial( \frac{G^R/RT}{\partial T}))_P (44)
และจากสมการนิยามของพลังงานกิบส์ G≡ H-TS ในกรณีพิเศษของแก๊สอุดมคติ จะได้
G^{ig}=  H^{ig} - TS^{ig}
ซึ่งผลต่างระหว่างสองสมการข้างต้น ก็คือ
G^R=  H^R - TS^R
และจากสมการข้างต้น จะได้เอนโทรปีรีซิดวลดังนี้
\frac{S^R}{R}= \frac{ H^R} {RT} - \frac{G^R} {RT}
จะเห็นว่าพลังงานกิบส์รีซิดวลเปรียบเสมือนเป็น Generating function สำหรับค่าสมบัติรีซิดวลอื่นๆ โดยค่าพลังงานกิบส์รีซิดวลนี้สามารถหาได้จากข้อมูลการทดลอง และเมื่อพิจารณาสมการที่ 43 เราอาจเขียนสมการนี้ใหม่ได้เป็น
d(\frac{G^R}{RT}) = \frac{ V^R} {RT}dP
ถ้าทำการอินทิเกรตสมการข้างต้นจากค่าความดันเท่ากับ 0 ไปจนถึงความดัน P ใดๆ จะได้
\frac{G^R}{RT} = \frac{ G^R} {RT}_{P = 0} + \int_{0}^{P}\frac{V^R}{RT} (อุณหภูมิคงที่)

เพื่อความสะดวก จะนิยาม

(\frac{G^R}{RT})_{P = 0}  \equiv\, J
ซึ่ง J เป็นค่าคงที่ และไม่ขึ้นกับอุณหภูมิ ดังจะได้อธิบายต่อไป และเมื่อแทนค่า VR ตามสมการที่ 40 ลงไปในสมการข้างต้นจะได้ว่า
\frac{G^R}{RT}_{P = 0} = J + \int_{0}^{P} (Z - 1)\frac{dP}{P} (45)

เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 45 เทียบกับอุณหภูมิแล้วแทนค่าลงไปในสมการที่ 44 จะได้

\frac{H^R}{RT} = -T \int_{0}^{P}\frac{\partial Z}{\partial T}_P \frac{dP}{P} (46)

จากสมการนิยามของพลังงานกิบส์

G= H-TS
สามารถเขียนได้สำหรับกรณีของแก๊สอุดมคติได้เป็น
G^{ig}= H^{ig} - (TS)^{ig}
ซึ่งผลต่างของสมการทั้งสองคือ
G^R= H^R - (TS)^R
หรือตามที่กล่าวไปแล่วข้างต้นเราสามรถเขียนเอนโทรปีรีซิดวลได้เป็น
\frac{S^R}{R}= \frac{H^R}{RT} - \frac{G^R}{RT}

และเมื่อนำค่าจากสมการที่ 6.45 และ 6.46 มาแทนลงในสมการนี้จะได้

\frac{S^R}{R} =\int_{0}^{P} \frac{\partial  Z}{\partial T}_P \frac{dP}{P} - J -\int_{0}^{P}  (Z - 1)\frac{dP}{P}  (48)
เนื่องจาก
Z= frac{PV }{RT}
ดังนั้นค่าของ Z และค่าของ
\frac{\partial Z}{\partial T}_P
จึงสามารถคำนวณได้จากค่าข้อมูล PVT จากการทดลอง ทั้งค่าอินทิกรัลในสมการที่ 6.45 – 6.48 สามารถคำนวณได้โดยวิธีนิวเมอริคอล (numerical method) หรือวิธีกราฟิคอล (graphical method) หรืออาจสามารถอินทิเกรตโดนตรงจาก Equation of state ที่อยู่ในรูปของ Z จะได้ Z ก็ได้ ดังนั้นถ้าทราบข้อมูล PVT หรือรูปสมการ Equation of state ก็จะสามารถคำนวณหาค่า HR กับ SR และค่าสมบัติรีซิดวลอื่นๆได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จากสมการที่ 6.41 เมื่อเขียนสำหรับเอลทัลปี และ เอนโทรปี จะได้
H= H^{ig} - H^Rและ
S= S^{ig} - S^R
ดังนั้นค่า H และ S จึงสามารถหาได้จากสมการแก๊สอุดมคติและสมบัติรีซิดวลโดยสมการของ Hig และ Sig

นั้นหาได้จากการอินทิเกรตสมการที่ 23 และ 24

H^{ig}=H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig}dT  และ
S^{ig}=S_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig} \frac{dT}{T}-R \ln{\frac{P}{P_0}} (49)

โดยอินทิเกรตจากสภาวะแก๊สอุดมคติที่สภาวะอ้างอิง (reference condition,T0 และ P0) ไปถึงสภาวะแก๊สอุดมคติที่ T และ P ใดๆ และเมื่อแทนค่าลงไปในสมการข้างต้นจะได้

H=H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig}dT + H^R  (50) และ
S=S_0^{ig} + \int_{T_0}^{T} C_P^{ig} \frac{dT}{T}-R \ln{\frac{P}{P_0}} +S^R (51)
สมการข้างต้นสามารถเขียนในรูปที่ง่ายขึ้นโดยใช้ค่าความจุความร้อนเฉลี่ย (และสมมุติให้ค่าความจุความร้อนเฉลี่ยเป็นค่าคงที่) จะได้
H=H_0^{ig} +(C_P^{ig})_H (T -T_0) + H^R (52) และ
S=S_0^{ig} +(C_P^{ig})_S\ln{\frac{T}{T_0}} - R \ln{\frac{P}{P_0}}+ S^R (53)
โดยที่ HR และ SR ในสมการที่ 50-53 นั้นสามารถคำนวณได้จากสมการที่ 46 และ 48 ทั้งนี้ถึงแม้ว่าสมการทั้งสองนี้จะใช้สำหรับแก๊สเพียงเท่านั้น แต่สมบัตรีซิดวลนั้นสามารถใช้ได้กับทั้งแก๊สและของเหลวอย่างไรก็ตามสมบัติรีซิดวลจะมีประโยชน์มากกว่าในกรณีที่ใช้กับแก๊ส เนื่องจากพจน์รีซิดวล HRและ SR ซึ่งเป็นพจน์ที่รวมการคำนวณซับซ้อนเอาไว้ จะมีค่าร้อยเมื่อเทียบกับพจน์ Hig และ Sig แต่สำหรับของเหลวแล้วค่านี้จะมีค่ามากกว่าในกรณีของแก๊สมาก เนื่องจากจะต้องรวมค่าการเปลี่ยนแปลงเอนทัลปีและเอนโทรปีของการกลายเป็นไอไว้ด้วย ดังนั้นสำหรับในกรณีของของเหลว จึงนิยมใช้สมการที่ 28 และสมการที่ 29 ในการคำนวณค่าการเปลี่ยนแปลงของสมบัติ

[16]


การหาสมบัติรีซิดวลโดยใช้ Equation of state[แก้]

ทางเลือกอีกทางหนึ่งในการหาค่าอินทิกรัลในสมการที่ 45-48 ก็คือ การหาจาก equation of state ซึ่งแสดงว่าค่า Z (หรือ V) ในรูปฟังก์ชันของ P และ T โดยเนื้อหาในส่วนนี้จะกล่าวถึงวิธีการคำนวณหาค่าสมบัติของแก็สและไอ โดยใช้สมการไวเรียลและสมการ cubic equation of state ดังต่อไปนี้

การหาสมบัติรีซิดวลจาก Equation of State ในรูปสมการไวเรียล[แก้]

ถ้าพิจารณากรณีของแก๊สหรือไอ ณ สภาวะที่ความดันไม่สูงนัก (ต่ำกว่า 5 bar) เราสามารถเขียนค่า compressibility factor ในรูปสมการไวเรียลที่ประกอบไปด้วยสองพจน์ได้ ดังนี้
Z - 1= \frac{BP}{RT}
เมื่อแทนค่านี้ลงไปในสมการที่ 45 (โดยกำหนดให้ J=0) จะได้
\frac{G^R }{RT} = \frac{BP }{RT} (54)
ดังนั้น สมการที่ 44 จะกลายเป็น
\frac{H^R}{RT} =T (\frac{G^R RT}{\partial T})_{P,x} = -T (\frac{P}{R})(\frac{1}{R} \frac{dB}{dT} - \frac{B}{T^2})

หรือ

\frac{H^R }{RT} = \frac{P }{R}(\frac{B }{T} - \frac{dB }{dT}) (55)
เมื่อแทบสมการที่ 54 และ 55 ไปในสมการที่ 47 จะได้
\frac{S^R }{R} = -\frac{P }{R}\frac{dB }{dT} (56)
จะเห็นได้จากสมการที่ 55 และ 56 ว่าถ้ามีข้อมูลเพียงพอที่จะหาค่า B และ dB/dT จะทำให้สามารถหาค่าของเอลทัลปีรีซิดวลและเอนโทรปีรีซิดวลได้ ณ สภาวะอุณหภูมิ ความดัน และองค์ประกอบที่กำหนดใดๆ
จะเห็นได้ว่าเราไม่สามารถใช้ equation of state ที่อยู่ในรูปฟังก์ชันของปริมาตรในการแก้สมการที่ 45-48 ได้โดยตรง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเปลี่ยนรูปสมการที่ 45- 48 ให้มีปริมาตรเป็นตัวแปรสำหรับการอินทิเกรดเสียก่อน อย่างไรก็ตาม สมการที่สะดวกต่อการใช้งงานมากกว่าสมการในรูปปริมาตรก็คือ สมการในรูปของความหนาแน่น ในกรณีเช่นนี้สมการ PV=ZRT จึงจะเขียนได้เป็น
PV =ZRT (57)
เมื่อดิฟเฟอเรนซิเอทสมการข้างต้นที่อุณหภูมิคงที่ จะได้
dP = RT(Zd\rho\,+\rho\,dZ) (T คงที่)
ซึ่งเมื่อรวมกับสมการที่ 56 จะได้
\frac{dP}{P} = \frac{dP }{p} + \frac{dz }{(Z)} (T คงที่)
เมื่อแทนค่า dP/P ที่ได้นี้ลงไปในสมการที่ 6.45 จะได้
\frac{G^R}{RT} = \int_0^\rho\, (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,} + Z - 1 - \ln {Z}  (58)
โดยการประเมินค่าพจน์อินทิกรัลของสมการข้างต้นจะทำที่สภาวะอุณหภูมิคงที่เท่ากับ T นอกจากนี้ ควรสังเกตว่า เมื่อ P→0 จะได้ว่า ρ→0 เช่นกัน
สำหรับ H^R สามารถหาได้จากการรวมสมการที่ 42 และ 40 เข้าด้วยกัน ได้เป็น
\frac{H^R}{RT}^2 dT = (Z - 1) \frac{dP}{P - d} - \frac{G^R}{RT}
เมื่อหารด้วย dT โดยกำหนดให้ความหนาแน่นคงที่ จะได้
\frac{H^R}{RT}^2 =  \frac{ (Z - 1)}{P }(\frac{\partial P}{\partial  T})_\rho\, - (\partial(\frac{G^R/RT}{\partial T}))_\rho\,
ค่าอนุพันธ์ในพจน์แรกทางด้านขวามือของสมการข้างต้นนั้น คำนวณได้จากการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 57 ส่วนค่าอนุพันธ์ในพจน์ที่สองนั้นหาได้จากการดิฟเฟอเรนชิเอทสมการที่ 58 และเมื่อแทนค่าทั้งสองลงไปในสมการข้างต้น จะได้
\frac{H^R}{RT}^2 dT = -T\int_0^\rho\, (\frac{\partial P}{\partial  T})_\rho\,\frac{d\rho\,}{\rho\,} + Z - 1  (59)
สำหรับค่าเอนโทปีรีซิดวล สามารถหาได้จากสมการที่ 47
\frac{S^R}{R} = \ln{Z - T} \int_0^\rho\, (\frac{\partial Z}{\partial })_\rho\,\frac{d\rho\,}{\rho\,} - \int_0^\rho\, (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,}  (60)
ถ้าใช้สการไวเรียลที่มีสามพจน์ในการพัฒนาความสัมพันธ์ของสมบัติรีซิดวล นั่นคือ ใช้สมการ
Z -1 = B\rho\, + C\rho\,^2
เมื่อแทนในสมการที่ 58-60 จะได้
\frac{G^R}{RT} = 2B\rho\, + \frac{3}{2} C\rho\,^2 - \ln{Z} (61)
\frac{H^R}{RT} = T(( \frac{B}{T} -  \frac{dB}{dT})\rho\, + ( \frac{C}{T} -  \frac{1}{2}  \frac{dC}{2cT})\rho\,^2) (62)
\frac{S^R}{R} = \ln{Z - T} ((\frac{B}{T} + \frac{dB}{dT})\rho\, + \frac{1}{2} (\frac{C}{T} + \frac{dC}{dT}\rho\,^2 (63)
สมการข้างต้นนี้ใช้สำหรับแก๊สที่มีความดันปานกลาง โดยจำเป็นต้องทราบข้อมูลสัมประสิทธิ์ตัวที่สองและสามของสมการไวเรียล

การหาสมบัติรีซิดวลจาก Cubit Equatoin of State[แก้]

ค่าสมบัติอาจหาได้โดยใช้สมการสภาวะกำลังสาม (cubit equation of state) ในรูปทั่วไปดังนี้
\frac{G^R}{RT} = 2B\rho\, + \frac{3}{2} C\rho\,^2 - \ln{Z}
P= \frac{RT}{(V - b)} - \frac{a(T)}{(V+\epsilon\,b)(V +\sigma\,b) }(53)
สมการนี้ใช้งานได้สะดวกมากขึ้นถ้าเขียนในรูปของ Z โดยมีความหนาแน่น ρ เป็นตัวแปรอิสระ ดังนั้นเมื่อหารสมการข้างต้นด้วย ρRT และแทนค่า V=1⁄ρ จะได้สมการดังต่อไปนี้
Z= \frac{1}{1\rho\,b} -q \frac{\rho\,b}{(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }
โดยนิยมค่า q ดังนี้
q \equiv\, \frac{a(T)}{bRT}
ปริมาณที่ต้องใช้ในการหาค่าอินทิกรัลในสมการที่ 58-60 คือ Z-1 และ (∂Z⁄∂T)_ρ ซึ่งสามารถหาได้จากสมการข้างต้น ดังต่อไปนี้
Z= \frac{1}{1\rho\,b} -q \frac{\rho\,b}{(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }(64)
\ (\frac{\partial Z}{\partial  T})_\rho\, = - (\frac{dg}{dT})\frac{\rho\,b}{(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }
จากค่าทั้งสองนี้ ทำให้คำนวณค่าอินทิกรัลในสมการที่ 58 และ 60 ได้ดังนี้
 \int_0^\rho\,  (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,} =  \int_0^\rho\, (\frac{\rho\,b}{(1-\rho\,b)}) \frac{d\rho\,b}{\rho\,b} - q\int_0^\rho\, \frac{d(\rho\,b)} {(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }
 \int_0^\rho\,   (\frac{\partial Z}{\partial T})_\rho\,\frac{\rho\,d}{\rho\,}  =  -\frac{dg}{dT}\int_0^\rho\,  \frac{d\rho\,b}{\rho\,b}\frac{d(\rho\,b)} {(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) }
ซึ่งสมการทั้งสองนี้สามารถเขียนในรุปที่ง่ายขึ้นได้เป็น
 \int_0^\rho\,  (Z - 1) \frac{d\rho\,}{\rho\,} =  \int_0^\rho\, (\frac{\rho\,b}{(1-\rho\,b)}) - gI และ
 \int_0^\rho\,   (\frac{\partial Z}{\partial T})_\rho\,\frac{\rho\,d}{\rho\,}  =  -\frac{dg}{dT} I
โดยนิยมให้ I มีค่า
I =\int_0^\rho\,\frac{d(\rho\,b)} {(1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b) } (T คงที่)
ทั้งนี้การคำนวณหาค่าอินทิกรัทอาจแบ่งได้แป็นสองกรณีคือ
กรณีที่ 1 เมื่อ ϵ≠σ
I =\frac{1} {(\epsilon\,-\sigma\,) }\ln{((1+\epsilon\,\rho\,b)(1 +\sigma\,\rho\,b)) } (65a)
สมการนี้จะใช้ง่ายขึ้นเมื่อกำจัด ρ ออกไปโดยทำให้อยู่ในรูปของ Z โดยใช้สมการที่ 3 และจากนิยามของ:
\beta\, \equiv\,  \frac{bP} {RT}
Z \equiv\,  \frac{P} {\rho\,RT}
จึงได้
\frac{\beta\,} {\rho\,b}
ดังนั้นจะได้
I =\frac{I} {(\epsilon\,-\sigma\,) }\ln{\frac{Z +\sigma\,\beta\, } {(Z + \epsilon\,\beta\,) }}(65b)
กรณีที่ 2 เมื่อ ϵ=σ
I =\frac{\rho\,b} {(1 + \epsilon\,\rho\,b) } = \frac{\beta\,}{Z +\epsilon\, \beta\, }
ตัวอย่างของกรณีนี้ได้แก่ สมการแวนเดอร์วาลล์ ซึ่งจะได้ว่า I= β/Z
เมื่อหาค่าอินทิกรัล ลัวแทนลงในสมการที่ 58 จะได้
\frac{G^R}{RT} = Z - 1 - \ln({(1-\rho\,b)Z-gI}) (66a)
หรือ
\frac{G^R}{RT} = Z - 1 - \ln({(Z-\beta\,)-gI}) (66b)
\frac{H^R}{RT} = Z - 1 +T \frac{dg}{dT} I
และจากสมการที่ 60 จะได้
\frac{S^R}{RT} = \ln({(Z-\beta\,) + q + T_r \frac{dq}{dT}} I
และค่า
T_r (\frac{dq}{dT}_rนั้นสามารถหาได้จากสมการที่
T_r \frac{dq}{dT}_r =(\frac{ d\ln{a(T_r)}}{d \ln{(T_r)}}-1)_q
เมื่อแทนค่าไปในสมการข้างต้นจะได้
\frac{H^R}{RT} = Z - 1 +(\frac{ d\ln{a(T_r)}}{d \ln{(T_r)}}-1)-1(67)
\frac{S^R}{R} = \ln({(Z-\beta\,)} + (\frac{ d\ln{a(T_r)}}{d \ln{(T_r)}}gI(68)
ซึ่งการใช้สมการเหล่านี้จะต้องคำนวณหาค่า Z จากสมการที่ 3.62 สำหรับสถานะไอ และสมการที่ 3.66 สำหรับสมการสถานะของเหลวก่อน

[17]

ระบบที่ประกอบไปด้วยสองวัฏภาค (Two-Phase Systems)[แก้]

แผนภาพ P-T ในรูปที่ 3.2 ของบทที่ 3 นั้นได้แสดงเส้นแบ่งขอบเขตของสถานะของสารบริสุทธิ์กระบวนการใดๆ ที่ดำเนินผ่านเส้นแบ่งขอบเขตนี้จะมีการเปลี่ยนแปลงของสถานะเกิดขึ้น พร้อมกันนั้นจะเกิดการเปลี่ยนแปลงสมบัติทางอุณหพลศาสตร์เกิดขึ้นอย่างฉับพลัน นั่นคือที่อุณหภูมิและความดันเดียวกันปริมาตรต่อมวลของของเหลวอิ่มตัวจะแตกต่างจากปริมาตรต่อมวลของแก๊สอิ่มตัวมาก และในทำนองเดียวกัน ค่าพลังงานภายในเอนทัลปีและเอนโทรปีของสารในต่างสถานะก็จะแตกต่างกันมากเช่นกัน อย่างไรก็ตาม สมบัติชนิดหนึ่งที่ถือเป็นข้อยกเว้น คือ ค่าของพลังงานกิบส์ ซึ่งจะมีค่าเท่ากันในทั้งสองสถานะ (ในขณะที่ทั้งสองสถานะอยู่ในสภาวะสมดุลต่อกัน) กล่าวอีกนัยหนึ่งได้ว่า การเปลี่ยนสถานะจะไม่ส่งผลไห้ค่าพลังงานกิบส์มีการเปลี่ยนแปลง ไม่ว่าจะเป็นการระเหิด การหลอมเหลว หรือการกลายเป็นไอ ทั้งนี้เมื่อได้พิจารณาของเหลวบริสุทธิ์ซึ่งอยู่ในสภาวะสมดุลกับแก๊สในกระสูบที่อุณหภูมิ Tsat และความดัน Psat ถ้ามีของเหลวในปริมาณน้อยๆ ที่ถูกเปลี่ยนกลายเป็นไอภายใต้สภาวะอุณหภูมิและความดันคงที่ จากสมการที่ 6.6 จะได้ว่า d(nG)=0 โดยกระบวนการที่เกิดขึ้นในระบบปิดนี้ ค่า n จะเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจะได้ dG=0 ซึ่งหมายความว่า ค่าพลังงานกิบส์ของแก๊สจะต้องมีค่าเท่ากับพลังงานกิบส์ของของเหลว กล่าวคือ
G^\ alpha\, = G^\beta\,(69)
โดยที่ G^αและ G^β คือพลังงานกิบส์ของแต่ละสถานะ
สมการข้างต้นสามารถใช้พัฒนาสมการแคลปิรอน (Clapeyron equation) ซึ่งได้กล่าวถึงในบทเรียนที่ผ่านมา โดยทราบว่าในระบบที่อยู่ในสภาวะสมดุลระหว่างสถานะ ถ้าอุณหภูมิของระบบเปลี่ยนไป ความดันก็จะเปลี่ยนตามไปด้วยตามความสัมพันธ์ระหว่างความดันไอและอุณหภูมิโดยจะเป็นไปตามสมการที่ 6.69
dG^ \alpha\,=d G^\beta\,
แทนค่าสำหรับ dG^α และ dG^β โดยใช้สมการที่ 6.10 จะได้
V^a (dP)^\alpha\,= G^\beta\,
V^a (dP)^{sat} - S^\alpha\, dT= V^\beta\,(dP)^{sat} - S^\beta\, dt
ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปี ∆S^αβ และการเปลี่ยนแปลงของปริมาตร ∆V^αβ คือการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นเมื่อปริมาตรหนึ่งหน่วยของสารบริสุทธิ์เกิดการถ่ายโอนจากสถานะ α ไปเป็น β เช่นนี้ จะได้ ค่าความร้อนแฝงอันเนื่องมาจากการเปลี่ยนสถานะ
\Delta\,H^{\alpha\,\beta\,}=(T\Delta\,S^{\alpha\,\beta\,}(70)
ซึ่งหลังจากจัดรูปแล้วจะได้สมการดังต่อไปนี้
 \frac{(dP)^{sat}}{dT}=\frac{( S^\beta\,- S^\alpha\,)}{( V^\beta\,- V^\alpha\,)} เท่ากับ
\frac{(\Delta\, S^{\alpha\,\beta\,}}{\Delta\,V^{\alpha\,\beta\,}}
ดังนั้น
\frac{(\Delta\, S^{\alpha\,\beta\,}} = (\Delta\,H)^\alpha\,\beta\,/T
และเมื่อแทนค่านี้ลงไปในสมการข้างต้นสำหรับ
 \frac{(dP)^{sat}}{dT}จะได้
 \frac{(dP)^{sat}}{dT} =\frac{(\Delta\,H)^{\alpha\,\beta\,}}{T\Delta\,V^{\alpha\,\beta\,}} (71)
ซึ่งก็คือสมการ แคลปิรอน (Clapeyron equation) นั่นเอง
สำหรับกรณีการเปลี่ยนแปลงสถานะจากของเหลวเป็นแก๊ส สมการข้างต้นจะเขียนได้เป็น
 \frac{(dP)^{sat}}{dT} =\frac{(\Delta\,H)^{lv}}{T\Delta\,V^{lv}}(72)แต่
 \Delta\,V^{lv} =\frac{RT}{P^{sat}}\Delta\,Z^{lv}
โดยที่
\Delta\,Z^{lv} คือค่าการเปลี่ยนแปลงของ compressibility factor จากการกลายเป็นไอ เมื่อรวมสมการสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน จะได้
 \frac{d\ln{P}^{sat}}{dT} =\frac{(\Delta\,H)^{lv}}{(RT^2\Delta\,Z^{lv})}(73)
หรือ
 \frac{d\ln{P}^{sat}}{(d(1/T)} =\frac{(\Delta\,H)^{lv}}{(R\Delta\,Z^{lv})}(74)

สมการ Corresponding-States สำหรับการหาค่าความดันไอ[แก้]

สมการ Corresponding-States หลายสมการสามารถใช้ในการหาค่าความดันไอสำหรับของเหลวไม่มีขั้วและของเหลวประเภท non-associating โดยสมการที่ง่ายที่สุดได้แก่สมการ Lee/Kesler ซึ่งเป็นสมการในประเภท Pitzer ที่มีรูปสมการดังนี้

\ln{P_r^{sat} }(T_r) = \ln{(P_r^0)} (T_r) +\omega\,\ln{P_r^1}(T_r) (75)

โดยที่

\ln{P_r^{0} }(T_r) = \frac{5.92714-6.09648}{T_r} - 1.28862\ln{T_r} + 0.169347T_r^6  (76)
\ln{P_r^{0} }(T_r) = \frac{5.92714-6.09648}{T_r} - 1.28862\ln{T_r} + 0.43577T_r^6  (77)
Lee และ KesLer

แนะนำว่าค่า ω นั้น สามารถหาโดยอาศัยสมการข้างต้นที่สภาวะจุดเดือดปกติ โดยแทนค่า Tr ด้วยอุณหภูมิขิงจุดเดือดที่ความดัน 1 บรรยากาศ หรือนั่นคือ ω สำหรับสารใดๆ จะคำนวญได้จาก

\omega\, = \frac{\ln{P_{r_n}^{sat} - \ln{P_r^0}T_{r_n}}}{\ln{P_r^1 T_{r_n}}}  (78)
โดยที่
T_{r_n} คือ อุณหภูมิลดของจุดเดือดที่ความดัน 1 บรรยากาศ และ
P_{r_n}^{sat} คือ ความดันไอลด ที่สอดคล้องกับความดัน 1 บรรยากาศมาตรฐาน (1.01325 bar)

[18]


สมการรูปทั่วไปของความสัมพันธ์อุณหพลศาสตร์ของแก๊ส[แก้]

ดังที่ได้บรรยายมาข้างต้น จะเห็นว่าในการประมาณค่าสมบัติทางอุณหพลศาสตร์นั้นจำเป็นต้องทราบข้อมูลอันได้แก่ ค่าความร้อนและข้อมูล PVT ของสารในระบบ สำหรับข้อมูล PVT นั้นในบางครั้งอาจมีข้อมูลที่ไม่ครบหรือไม่สมบูรณ์ จึงจำเป็นต้องมีการพัฒนาความสัมพันธ์รูปทั่วไปเพื่อเป็นทางเลือกในการคำนวณหาสมบัติจากข้อมูลที่จำกัดนี้ ความสัมพันธ์ในรูปทั่วไปนี้จะเริ่มจากการจัดรูปสมการที่n 46 และสมการที่ 48 โดยการแทนค่าด้วยสมการต่อไปนี้

P=P_c P_r
T=T_c T_r
dP = P_c dP_r
dT = T_c dT_r

จะได้

\frac{H^R}{RT_c} = -T_r^2 \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z}{\partial T_r }) \frac{dP_r}{P_r} (79)

และ

\frac{S^R}{R} = -T_r \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r} \frac{dP_r}{P_r} - \int_{0}^{P_r} (Z - 1) \frac{dP_r}{P_r} (80)
ค่าทางขวามือของสมการจะขึ้นอยู่กับความดันลด P_r และค่าอุณหภูมิลด T_r เท่านั้น ดังนั้น H^R/R และ S^R/R จึงสามารถหาได้โดยการคำนวณจากข้อมูล P_r และT_rหรือจากข้อมูล compressibility factor
จากสมการรูปทั่วไปที่แสดงค่า compressibility factor Z
Z = Z^0 + \omega\, Z^1
เมื่อดิฟเฟอเรนชิเอทสมการนี้ จะได้
(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r} = (\frac{\partial T^0}{\partial T_r })_{P_r} + \omega\,(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r}
เมื่อแทนค่า Z และ
(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r}
ในสมการที่ 82 และสมการที่ 83 จะได้
\frac{H^R}{RT_c} = -T_0^2 \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z^0}{\partial T_r })_{P_r} \frac{dP_r}{P_r} - \omega\,T_0^2  \int_{0}^{P_r} (\frac{\partial Z^1}{\partial T_r})_{P_r} \frac{dP_r}{P_r}

และ

\frac{H^R}{RT_c} = - \int_{0}^{P_r} (T_r(\frac{\partial Z^0}{\partial T_r })_{P_r} +Z^0 -1)  \frac{dP_r}{P_r} - \omega\,\int_{0}^{P_r} (T_r(\frac{\partial Z^1}{\partial T_r})_{P_r} + Z^1) \frac{dP_r}{P_r}
พจน์อินทิกรัลพจน์แรกทางด้านขวามือของสมการข้างต้นสามารถหาได้ด้วยวิธีนิวเมอริเคิลหรือวิธีกราฟิคอลโดยใช้ข้อมูลของZ0 จากตาราง E.1 และตาราง E.3 ในภาคผนวก ส่วนอินทิกรัลที่อยู่หลังค่า ω ในต่ละสมการนั้นก็หาได้ในทำนองเดียวกันจากข้อมูล Z1ในตาราง E.2 และตารางE.4 เมื่อแทนพจน์แรกทางขวามือของสมการข้างต้นด้วย
\frac{(H^R)^0}{RT_c} และ
\frac{(S^R)^0}{R} และแทนพจน์หลังด้วย
H^R\frac{1}{RT_c}

และ

S^R\frac{1}{R} จะสามารถเขียนสมการข้างต้นได้เป็น
\frac{H^R}{RT_c} =  frac{(H^R)^0}{RT_c} + frac{(H^R)^1}{RT_c} (81)

และ

\frac{S^R}{R} =  frac{(S^R)^0}{R} +\omega\,\frac{(S^R)^1}{1/R} (82)

ค่า

\frac{(H^R)^0}{RT_c} , \frac{(S^R)^0}{R} , \frac{(H^R)^0}{1/RT}และ\frac{(S^R)^1}{R}
นั้นสรุปไว้ในตาราง E.5 ถึง E.12 ฉะนั้นเมื่อทราบค่าเหล่านี้แล้ว จะสามารถประมาณค่าเอนทัลปีรีชิดวลและเอนโทรปีรีชิดวลได้จากสมการ ที่6.84 และสมการที่ 6.85 โดยเรียกสมการข้างต้นว่าหลักการสภาวะสอดคล้อง (correaponding state principle) และสมการนี้มีจำนวนพารามิเตอร์ทั้งหมด 3 ตัว

การประมาณค่าสมบัติใบบางกรณีนั้น อาจสามารถใช้สมการที่มีพารามิเตอร์เพียงแค่สองตัว ซึ่งก็เพียงพอที่จะให้ผลที่ใกล้เคียงความเป็นจริง โดยใช้ข้อมูลในตาราง E.5และตาราง E.6 เท่านั้น

Lee/Kesler correlation สำหรับ (H^R)^0/RT_{c} ในรูปของฟังก์ชันของ TrและPr

โดยปกติแล้ว ฟังก์ชันของ

\frac{(H^R)^0}{RT_c} , \frac{(S^R)^0}{R} , \frac{(H^R)^0}{1/RT}และ\frac{(S^R)^1}{R}

จะเป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนและไม่สามารถแสดงค่าเหล่านี้ด้วยสมการง่ายๆได้ อย่างไรก็ตาม ที่สภาวะความดันต่ำๆ เราอาจใช้สมการไวเรียลสำหรับคำนวณค่า Z เพื่อที่จะหาค่าสมบัติรีชิดวลต่อไปได้ สมการไวเรียลแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง Z กับB^0 และ B^1 ดังแสดงในบทที่ 3.6 ดังนี้

Z =  1 + B^0  \frac{P_r}{T_r} +\omega\,B^1\frac{(P_r)^1}{T_r}

จากสมการนี้ จะได้

(\frac{\partial Z}{\partial T_r })_{P_r} = P_r (\frac{(dB^0/dT_r)}{T_r } - (\frac{ B^0 }{T_r^2 })+\omega\,P_r (\frac{(dB^1/dT_r)}{T_r } - (\frac{ B^1 }{T_r^2 }) (83)

เมื่อแทนค่าจากสมการที่ 86 ไปในสมการที่ 82 และสมการที่ 83 จะได้

\frac{(H^R)^0}{RT_c} = -T_r \int_{0}^{P_r} ((\frac{dB^0}{dT_r }) - \frac{B^0}{T_r}  +  \omega\,(\frac{dB^1}{dT}) - \frac{B^1}{T_r}) dP_r

และ

\frac{S^R}{R} = - \int_{0}^{P_r} ((\frac{dB^0}{dT_r }) - \omega\,(\frac{dB^1}{dT_r})dP_r)

เนื่องจากค่า B^0และB^1เป็นฟังก์ชันของอุณหภูมิเท่านั้น การอินทิเกรตสมการข้างต้น ณ อุณหภูมิคงที่จะได้

\frac{(H^R)^0}{RT_c} = P_r( \int_{0}^{P_r} ((\frac{dB^0}{dT_r }) - \frac{B^0}{T_r}  +  \omega\,(\frac{dB^1}{dT}) - \frac{B^1}{T_r}) dP_r (84)

และ

\frac{S^R}{R} = -P_r ((\frac{dB^0}{dT_r })+  \omega\,(\frac{dB^1}{dT_r})(85)

เนื่องจากB0และB1เป็นฟังก์ชันของอุรหภูมิเท่านั้น จึงสามารถหาค่าดิฟเฟอเรนเชียล

\frac{dB^0}{dT_r} และ \frac{dB^1}{dT_r}

ในสมการข้างต้นนี้ได้ คังนั้นโดยสรุปแล้ว สมการอีก 4 สมการที่จะต้องใช้ในการหาค่าสมบัติรีชิดวลจากสมการที่ 87 และสมการที่ 88 คือ จากสมการที่ 3.73

B^0 = 0.083 - \frac{0.422}{T_r^1.6}
\frac{dB^0}{dT_r}  = \frac{0.675}{T_r^2.6}(86)

จากสมการที่ 3.74

B^1 =\frac{0.139-0.172 }{T_r^4.2}
\frac{dB^1}{dT_r}  = \frac{0.722}{T_r^5.2}(87)

เมื่อทราบสมการรูปทั่วไป (generalized correlation) สำหรับ H^RและS^Rและความจุความร้อนของแก๊สอุดมคติ (ideal gas heat capacity)แล้ว จะทำให้สามารถคำนวณหาเอนทัลปีและเอนโทรปีสำหรับแก๊สที่อุณหภูมิและความดันต่างๆได้โดยใช้สมการที่ 50 และสมการที่ 51 สำหรับการเปลี่ยนแปลงจากสภาวะที่ 1 ไปยังสภาวะที่ 2 นั้น สามารถเขียนสมการที่ 50 สำหรับสภาวะทั้งสองได้ดังนี้

H_2 =H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T_2} (C_P^{ig} dT + H_2^R) และ H_1 =H_0^{ig} + \int_{T_0}^{T_1} (C_P^{ig} dT + H_1^R)

ดังนั้น ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนทัลปีของกระบวนการนี้ คือ

\Delta\,H = \int_{T_2}^{T_1} (C_P^{ig} dT + H_2^R -H_1^R) (88)

และในทำนองเดียวกัน ค่าการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีจะมีค่าเท่ากับ

\Delta\,H = \int_{T_2}^{T_1} (C_P^{ig}\frac{dT}{T} -R \ln{\frac{P_2}{P_1}} + S_2^R - S_1^R) (89)

ทั้งนี้ เราสามารถเขียนสมกรทั้งสองนี้ในอีกรูปหนึ่งได้ดังนี้

\Delta\,H = (C_P^{ig})_H (T_2 - T_1) + H_2^R - H_1^R(90)

และ

\Delta\,H = (C_P^{ig})_S \ln{\frac{T_2}{T_1}} - R\ln{\frac{P_2}{P_1}} + S_2^R - S_1^R(91)
รูปที่ 3 เส้นทางที่ใช้ในการคำนวณ ∆Hและ∆S
พจน์ทางขวามือของสมกรที่ 91-94 นั้นไม่มีความเกี่ยวโยงกับขั้นตอนของเส้นทางที่ใช้ในการคำนวณ (calculational path) จากสภาวะเริ่มต้นไปสู่สภาวะสุดท้ายของระบบ ดังนั้น เส้นทางของกระบวนการที่เกิดขึ้นจริงจากสภาวะที่ 1 ไปยังสภาวะที่ 2 (เส้นประ)จึงสามารถแทนได้ด้วยขั้นตอนย่อย 3 ขั้นตอน ดังแสดงในรูปที่ 3 โดยขั้นตอนแรก คือ 1→ligซึ่งแทนกระบวนการสมมติที่เปลี่ยนจากแก๊สจริงไปแก๊สอุดมคติที่ TlและPl โดยค่าการเปลี่ยนแปลงเอนทัลปีและเอนโทรปีสำหรับกระบวนการนี้คือ
H_l^{ig} - H_l = -H_l^Rและ S_l^{ig} - S_l = -S_l^R

สำหรับขั้นตอนที่สอง (lig→2ig )เป็นการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นในสภาวะแก๊สอุดมคติ (T1,P1 )ไปยัง(T2, P2 ) โดยสำหรับกระบวนการนี้

\Delta\,H^{ig} = H_2^{ig}-H_1^{ig} =\int_{T_1}^{T_2} C_P^{ig} dT(92)

และ

\Delta\,S^{ig} = S_2^{ig}-S_1^{ig} =\int_{T_1}^{T_2} C_P^{ig} dT\frac{dT}{T} - R\ln {\frac{P^2}{P_1}}  (93)

การคำนวณสำหรับของผสมสำหรับของแก๊ส (Gas Mixtures)[แก้]

แม้ว่าจะไม่มีพื้นฐานทางทฤษฎีใดๆ ที่ใช้สำหรับสมการทั่วไปของของผสม แต่เราอาจประมาณได้จากการคำนวณโดยใช้พารามิเตอร์ชนิด pseudocritical ซึ่งได้จากกฎเชิงเส้นของการผสม (linear mixing rule) ตามนิยามต่อไปนี้

\omega\, \equiv\, sum_i (y_i \omega\,_i)(94)
T_{pc}\equiv\, sum_i y_i T_{ci}) (95)
P_{pc}\equiv\, sum_i (y_i P_{ci}) (96)

ค่าที่ได้จะเป็น ω, อุณหภูมิ pseudocritical Tpc และความดัน pseudocritical Ppc สำหรับของผสม ซึ่งจะใช้ แทนค่า TcและPcในการคำนวณหาพารามิเตอร์ในรูปสภาวะลดดังนี้

T_{pr} =\frac{T}{T_{pc}}  (97)
T_{pr} =\frac{P}{P_{pc}}  (98)

เราจะใช้ค่าเหล่านี้แทน TrและPrในการอ่านค่าต่างๆ จากตารางในภาคผนวก E เพื่อคำนวณหา Z โดยใช้สมการที่ 3.67 จากนั้นจึงคำนวณค่า

\frac{H^R}{RT_{pc}}

จากสมการที่ 85 และคำนวณค่า \frac{S^R}{R}จากสมการที่ 86

[19]

อ้างอิง[แก้]

  1. ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน fluid dynamics
  2. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,โมเดลของของไหลในอุดมคติ ,หน้า.445,2552
  3. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,สมการต่อเนื่อง Equation of continuity,หน้า.446.448,2552
  4. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,สมการเบอร์นูลี Bernoulli’s Equation,หน้า.448.451,2552
  5. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,การบินและแรงยก Flight and Lift,หน้า.451.452,2552
  6. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic),หน้า.205,2551
  7. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic),หน้า.206.207,2551
  8. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic),หน้า.207,2551
  9. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),กลศาสตร์ของของไหล (Fluid mechanic),หน้า.208,2551
  10. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),ความดันของเหลวขึ้นอยู่กับความลึกของของเหลว,หน้า.210.211,2551
  11. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),หลักการและเครื่องมือวัดความดัน ,หน้า.211.213,2551
  12. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),หลักการของปาสคาล ( Pascal’principle),หน้า.214.215,2551
  13. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic), แรงลอยตัวและหลักของอาร์คิมิดิส(Buoyant force and Archimedes’ principle),หน้า.219.220,2551
  14. จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),การหาความดันภายในฟองสบู่หรือหยดของเหลวจากความตึงผิวของของเหลว,หน้า.222.226,2551
  15. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,สมบัติทางอุณหพลศาสตร์ของของไหล,พลศาสตร์ของไหลหน้า.163.172,2552
  16. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,สมบัติรีซิดวล (Residual Properties),พลศาสตร์ของไหล,หน้า.172.175,2552
  17. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,การหาสมบัติรีซิดวลโดยใช้ Equation of state ,พลศาสตร์ของไหลหน้า.177.181,2552
  18. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,ระบบที่ประกอบไปด้วยสองวัฏภาค (Two-Phase Systems) ,พลศาสตร์ของไหลหน้า.182.185,2552
  19. ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โมไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”, สมการรูปทั่วไปของความสัมพันธ์อุณหพลศาสตร์ของแก๊ส ,พลศาสตร์ของไหลหน้า.186.193,2552
  • ผศ.ดร.วรงค์ ปวราจารย์,ผศ.ดร.อาทิวรรณ โชติพฤกษ์. “หนังสือหลักเทอร์โทไดนามิกส์ สำหรับวิศวกรรมเคมี (Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics)”,หน้า.163.193,2552
  • จุติพร ช่วยบำรุง คณะวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีอุตสาหกรรม มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร์ วิทยาเขตสุราษฎร์ธานี. “ฟิสิกส์ทั่วไป 1 ภาคกลศาสตร์ สำหรับนักศึกษาเทคโนโลยีอุตสาหกรรม”,กลศาสตร์ของไหล (Fluid mechanic),หน้า.206.225,2551

ดูเพิ่ม[แก้]