กลศาสตร์แฮมิลตัน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ฮามิลโทเนียน (Hamiltonian) หรือฟังก์ชันฮามิลตัน (Hamilton function) สำหรับระบบทางกลศาสตร์แบบฉบับ (classical mechanics) คือฟังก์ชันสเกลาร์ของพิกัดทั่วไป โมเมนตัมสังยุค และเวลา ที่สามารถใช้อธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลา (time evolution) ของระบบนั้นได้ ทั้งนี้เนื่องจากสถานะของระบบในกลศาสตร์แบบฉบับสามารถอธิบายได้โดยการบอกพิกัดและโมเมนตัมเป็นฟังก์ชันของเวลา

นิยามและการสร้างฮามิลโทเนียน[แก้]

เราสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากลากรางเจียน (Lagrangian)ของระบบ เนื่องจากฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดทั่วไป (generalized coordinates) และโมเมนตัมสังยุค (conjugate momenta, canonical momenta หรือ generalized momenta) แต่ลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและอัตราเร็วของพิกัดนั้น (อนุพันธ์ของพิกัดเทียบกับเวลา) ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องนิยามโมเมนตัมสังยุคก่อน
 p(t) \equiv \frac{\partial L \left(q,\dot{q},t\right)}{\partial \dot{q}}
โดย q(t) คือพิกัดทั่วไป \dot{q}(t) คืออัตราเร็วสำหรับพิกัดนั้น และ t คือเวลา ซึ่งเวลาจะทำหน้าที่เป็นพารามิเตอร์ในกลศาสตร์แบบฉบับ

เมื่อเรานิยามโมเมนตัมสังยุคแล้ว ถ้าเราสามารถเขียนอัตราเร็ว \dot{q}(t) ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตั้มได้ เราจะสามารถมองว่าพิกัดและโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระได้ (ต่างจากในกรณีของลากรางเจียน ซึ่งความเร็วจะเป็นแค่อนุพันธ์เทียบกับเวลาของพิกัด ไม่ใช่ตัวแปรอิสระ) ซึ่งปริภูมิของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคนี้มีชื่อคือ Phase space

ฮามิลโทเนียนของระบบนั้นจะนิยามโดยการแปลงเลอจองก์ (Legendre transform) ของลากรางเจียนคือ
H(q(t),p(t),t) = p(t) \dot{q}(q,p,t) - L(q,\dot{q}(q,p,t),t)
โดยที่เราเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัม (ทำให้ฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม ไม่ใช่พิกัดและความเร็ว)

ฮามิลโทเนียนในกรณีทั่วไป[แก้]

ในกรณีที่จำเป็นต้องใช้พิกัด N ตัว
q \equiv \left\{q_1(t), q_2(t),...,q_N(t)\right\}
เพื่ออธิบายระบบด้วยลากรางเจียน
L\left(q,\dot{q},t\right) \equiv L\left(q_1,q_2,...q_N, \dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_N, t\right)
เราจะสามารถนิยามโมเมนตัมสังยุคแต่ละตัว p_i(t) ได้โดย
p_i(t) \equiv \frac{\partial L \left(q_1,q_2,...q_N, \dot{q}_1,\dot{q}_2,...,\dot{q}_N, t\right)}{\partial \dot{q}_i} \qquad\qquad i = 1,2,...,N
ทำให้เรามีระบบสมการ N สมการ ในกรณีที่สมการนี้สามารถแก้ได้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้อยู่เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัม
\dot{q}_i = f_i \left(q_1, q_2,...,q_N,p_1, p_2,...,p_N,t \right)
เราจะสามารถสร้างฮามิลโทเนียนได้จากการการแปลงเลอจองก์
H\left(q(t),p(t),t\right) = \sum_i p_i(t) \dot{q}_i(q,p,t) - L\left(q,\dot{q}(q,p,t),t\right)

ข้อควรระวังคือในบางระบบ เราจะไม่สามารถเขียนอัตราเร็วของพิกัดทุกๆตัวให้เป็นฟังก์ชันของพิกัดและโมเมนตัมได้ ซึ่งจะทำให้โมเมนตัมทุกตัวไม่เป็นอิสระต่อกันและไม่สามารถใช้ฮามิลโทเนียนอธิบายการวิวัฒน์ไปในเวลาของระบบได้

ความสัมพันธ์ระหว่างฮามิลโทเนียนกับลากรางเจียน[แก้]

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลง (variation) ของปริมาณ  \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q,\dot{q},t) เราจะได้
 \delta\left(\sum_i \dot{q}_i p_i - L\right) = \sum_i \dot{q}_i\delta p_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\delta t + \sum_i\left(p_i - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)\delta \dot{q}_i
จะพบว่าการนิยามโมเมนตัมโดย p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} ทำให้การเปลี่ยนแปลงของ \dot{q}_i ไม่มีผลต่อการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้อัตโนมัติ (เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของพจน์ \delta q_i เป็นศูนย์) ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของปริมาณนี้จะขึ้นกับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรคือพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา เนื่องจากเราเรียกปริมาณนี้ว่าฮามิลโทเนียน
 \delta H(q,p,t) = \sum_i \dot{q}_i\delta p_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial L}{\partial t}\delta t
จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสามชนิดดังกล่าว สอดคล้องกับนิยามที่เขียนไว้ด้านบน นอกจากนั้นเราจะได้
 \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}
ซึ่งมีความสมมาตรอย่างชัดเจนกับนิยามของโมเมนตัม นั่นคือ
 \dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} \Longleftrightarrow  p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}
ความสัมพันธ์ลักษณะนี้เป็นคุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของการแปลงเลอจองก์

เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณ  \sum_i \dot{q}_i p_i - H(q,p,t) จะพบว่า
 \delta\left(\sum_i \dot{q}_i p_i - H(q,p,t)\right) = \sum_i p_i\delta\dot{q}_i - \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial H}{\partial t}\delta t + \sum_i\left(\dot{q}_i - \frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\delta p_i
และเมื่อใช้นิยามของ  \dot{q}_i = \partial H/\partial p_i จะเห็นว่าปริมาณนี้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรคือพิกัด อัตตราเร็ว และเวลา ซึ่งก็คือลากรางเจียนนั่นเอง
  \delta L(q,\dot{q},t) = \sum_i p_i\delta\dot{q}_i - \sum_i \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i - \frac{\partial H}{\partial t}\delta t
นอกจากนั้นเราพบว่า
 \frac{\partial L}{\partial q_i} = - \frac{\partial H}{\partial q_i}
และ
 \frac{\partial L}{\partial t} = - \frac{\partial H}{\partial t}
ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ที่มีลักษณะเดียวกัน เนื่องจากตัวแปร q_i และ t ไม่ได้มีการแปลงเลอจองก์

ข้อสรุปสำคัญสำหรับหัวข้อนี้คือลากรางเจียนและฮามิลโทเนียนเป็นปริมาณที่เป็นคู่กัน (dual) ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติของการแปลงเลอจองก์


ตัวอย่างการสร้างฮามิลโทเนียน[แก้]

การสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ[แก้]

ระบบการสั่นแบบฮาร์โมนิกใน 1 มิติ (1 dimensional harmonic oscillator) สามารถอธิบายโดยลากรางเจียน
L(x,\dot{x}) = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{1}{2}k x^2
โดย x(t) คือพิกัดของระบบ (เช่นตำแหน่งของอนุภาคบนสปริง) และ k คือค่าคงที่ของระบบนั้น (เช่นค่าคงที่ของสปริง) จะเห็นว่าโมเมนตัมสังยุคของพิกัด x(t) คือ
p = \frac{\partial L(x,\dot{x})}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}
ซึ่งในกรณีนี้จะสามารถแก้สมการและเขียนอัตราเร็วของพิกัด x(t) ให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมได้
\dot{x} = \frac{p}{m}
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 H (x,p) = p \dot{x}(p) - L (x,\dot{x}(p)) = p \frac{p}{m} - \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2
สังเกตว่า
 H (x,p) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}k x^2 = T(p) + V(x)
เมื่อ T(p) คือพลังงานจลน์ (kinetic energy) ซึ่งเขียนเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและ V(x) คือพลังงานศักย์ของระบบ

การเคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลาง (Central Potential)[แก้]

แรงสู่ศูนย์กลางสามารถอธิบายได้โดยศักย์ที่เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิง (origin)
 V = V(r)
ในกรณีนี้การเลือกใช้พิกัดทรงกลมให้เป็นพิกัดทั่วไปจะทำให้อธิบายระบบได้สะดวกกว่า
 q_1(t) = r(t), \qquad q_2(t) = \theta(t),\qquad q_3(t) = \phi(t)
การที่ศักย์เป็นฟังก์ชันของระยะห่างจากจุดอ้างอิงอย่างเดียวทำให้ระบบมีสมมาตรภายใต้การหมุน(รอบแกนใดๆก็ได้) ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของการหมุนรอบแกนนั้นๆไม่เปลี่ยนแปลง (conserved) ทำให้การเคลื่อนที่ของระบบอยู่ในระบาบ 2 มิติ ดังนั้นเราจำเป็นจะต้องใช้พิกัดแค่สองจากสามตัวในการบอกตำแหน่งของระบบ ลากรางเจียนของระบบนี้คือ
 L\left(r,\phi\right) = \frac{1}{2}m \left(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - V(r)
ในกรณีนี้จะมีโมเมนตัมสังยุคของพิกัดสองพิกัดคือ
 p_r = \frac{\partial L}{\partial \dot{r}} = m \dot{r}
และ
 p_\phi = \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = mr^2 \dot{\phi}
โดยเราสามารถแก้สมการเขียนอัตตราเร็วในรูปของโมเมนตัมได้คือ
 \dot{r} = \frac{p_r}{m}

 \dot{\phi} = \frac{p_\phi}{m r^2}
สังเกตว่าอัตราเร็ว \dot{\phi} เป็นฟังก์ชันของทั้งโมเมนตัมสังยุคของพิกัด \phi เองและฟังก์ชันของพิกัด r ด้วย

ในกรณีนี้จะได้
H(r,\phi,p_r,p_\phi) = \frac{p_r^2}{2 m} +\frac{p_\phi^2}{2 m r^2} + V(r)
ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์(ที่เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้เช่นกัน

อนุภาคในสนามไฟฟ้า[แก้]

สำหรับอนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ (v << c) จะได้ว่าลากรางเจียนของระบบคือ
 L\left(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}\right) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 - e\phi(r)
โดยที่ e คือประจุไฟฟ้าของอนุภาค \phi = \phi(r) คือศักย์สเกลาร์

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
 \mathbf{p}_r = m \dot\mathbf{r}
ซึ่งจะเท่ากับ kinetic momentum m \dot{r} ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 H(\mathbf{r},\mathbf{p}) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2  + e\phi(r) = \frac{\mathbf{p}_r^2}{2m} + e\phi(r)
ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมพลังงานจลน์(เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค)และพลังงานศักย์ได้

อนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก[แก้]

เมื่ออนุภาคที่มีอัตราเร็วน้อยกว่าอัตราเร็วแสงมากๆ (v << c) อยู่ในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก เราจะต้องเปลี่ยนมาใช้ลากรางเจียนซึ่งมีเทอมที่อธิบายอันตรกริยาระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก
 L\left(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}\right) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2 - e\phi(r) + \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}}
โดยที่ \mathbf{A}=\mathbf{A}(r) คือศักย์เว็คเตอร์ (vector potential) ของสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก สังเกตว่าในกรณีนี้เราไม่สามารถนิยามลากรางเจียนได้จากผลต่างของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ (เนื่องจากสนามแม่เหล็กไม่ทำงาน)

ในกรณีนี้โมเมนตัมสังยุคคือ
 \mathbf{p}_r = m \dot\mathbf{r} + \frac{e}{c}\mathbf{A}
ซึ่งจะไม่เท่ากับ kinetic momentum m \dot{r}

ฮามิลโทเนียนของระบบนี้คือ
 H(\mathbf{r},\mathbf{p}) = \frac{1}{2}m \dot{\mathbf r}^2  + e\phi(r) = \frac{1}{2m} \left(\mathbf p - \frac{e}{c}\mathbf{A}\right)^2 + e\phi(r)
ซึ่งจะเห็นว่าในกรณีนี้ ฮามิลโทเนียนของระบบจะเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคและพลังงานศักย์จากสนามไฟฟ้า แต่ไม่มีเทอม"พลังงาน"ในรูป  \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}}(\mathbf{p}_r) ซึ่งจริงๆแล้วเทอมนี้เป็นเพียงตัวกำหนดอันตรกริยา(interaction) ระหว่างอนุภาคกับสนามแม่เหล็ก

เมื่อใดที่ H = T + V[แก้]

ในกรณีที่เราทราบศักย์ V(q) ของระบบแล้วต้องการที่จะสร้างฮามิลโทเนียนของระบบนั้น การจะเขียน  H = T + V เมื่อ T คือพลังงานจลน์ของระบบที่เป็นฟังก็ชันของโมเมนตัมสังยุคและ V คือฟังก์ชันของพลังงานศักย์ จะต้องทำด้วยความระมัดระวัง เช่นในตัวอย่างข้างบนสำหรับอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็ก

กรณีทั่วไป[แก้]

[1]เมื่ออัตรเร็วที่ปรากฏในลากรางเจียนของระบบใดๆอยู่ในรูปยกกำลังสองเท่านั้น เราจะสามารถเขียนลากรางเจียนจะอยู่ในรูปผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์
 L(q,p) = T(\dot{q}^2) - V(q)
และสามารถเขียนพจน์ของ"พลังงานจลน์"ได้เป็น
T(\dot{q}) = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k
โดยที่ a_{ik}=a_{ik}(q) อาจจะเป็นฟังชันก์ของพิกัดได้ เราจะพบว่าโมเมนตัมสังยุคคือ
 p_i(q,p) = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} = \sum_{k}a_{ik}\dot{q}_k
ในกรณีที่สามารถแก้สมการนี้เพื่อเขียนอัตราเร็วให้เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุคได้
 q_i(q,p) = f_i(q,p,t)
เมื่อ f_i(q,p) คือฟังก์ชันที่เหมาะสม เราจะพบว่า
\sum_{i} \dot{q}_i p_i = \sum_{i,k}\dot{q}_i a_{ik}\dot{q}_k = 2 T
ดังนั้นฮามิลโทเนียนของระบบนี้จะเป็น
 H(q,p) = \sum_{i} \dot{q}_i p_i - L = 2T - (T-V) = T(p) + V(q)
โดยที่พลังงานจลน์เป็นฟังก์ชันของโมเมนตัมสังยุค นั่นคือเราจะสามารถเขียนฮามิลโทเนียนให้เป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วกำลังสอง(และเป็นฟังก์ชันของพิกัด)

สำหรับลากรางเจียนที่เขียนอยู่ในรูป
 L(q,\dot{q},t) = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i\dot{q}_k + \sum_i b_i \dot{q}_i - V(q)
โดยที่ a_{ik} และ b_i อาจจะเป็นฟังก์ชันของพิกัด จะเห็นว่า
 p_i = \sum_{k} a_{ik}\dot{q}_k + b_i
ดังนั้น
 H(q,p,t)= \sum{p_i \dot{q}_i} - L = 2T + \sum_i b_i\dot{q}_i - L = \frac{1}{2}\sum_{i,k}a_{ik}\dot{q}_i(q,p,t)\dot{q}_k(q,p,t) + V(q)
สังเกตว่าเทอมที่เป็นเชิงเส้น(linear)ของอัตราเร็วในลากรางเจียนจะไม่ปรากฏในฮามิลโทเนียน ดังนั้นเราจึงจำเป็นจะต้องระมัดระวังในการนิยามส่วนที่จะเรียกว่าพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ในลากรางเจียน ซึ่งอาจจะทำให้ได้ฮามิลโทเนียนที่ไม่ถูกต้องได้ถ้าใช้"วิธีลัด" H=T+V

ตัวอย่าง[แก้]

ลากรางเจียนของอนุภาคที่เคลื่อนที่ด้วยแรงสู่ศูนย์กลางจากตัวอย่างข้างบน
 L\left(r,\phi\right) = \frac{1}{2}m \left(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\phi}^2 \right) - V(r)
เป็นฟังก์ชันของ  \dot{r}^2, \dot{\phi}^2, r โดย  a_{rr} = m และ  a_{\phi\phi} = m r^2 ในกรณีนี้จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนสามารถเขียนเป็นนผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้

ส่วนในกรณีของอนุภาคในสนามไฟฟ้า-แม่เหล็กจะเห็นว่าลากรางเจียนมีเทอมที่เป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วยกกำลังหนึ่งอยู่ คือเทอม \frac{e}{c}\mathbf{A}\cdot\dot{\mathbf{r}} ซึ่งทำให้ไม่สามารถเขียนฮามิลโทเนียนเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ได้ถ้าเรามองว่าเทอมดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานศักย์

เมื่อใดที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์[แก้]

สิ่งสำคัญในการสร้างฮามิลโทเนียนคือระบบสมการที่ใช้นิยามโมเมนตัมสังยุคจะต้องสามารถแก้ได้เพื่อจะเขียนอัตราเร็วเป็นฟังก์ชันของพิกัด โมเมนตัมสังยุค และเวลา

ตัวอย่าง[แก้]

เมื่อลากรางเจียนเป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอดีกรีหนึ่งของอัตราเร็ว (Homogeneous function)
 L(q,\lambda \dot{q}) = \lambda L(q,\dot{q})
เมื่อใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์ (Euler) สำหรับฟังก์สม่ำเสมอ เราจะพบว่า
 p\dot{q} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} = L
ดังนั้น
 H(q,p) = p \dot{q}-L(q,p) = L - L = 0

อนุภาค relativistic[แก้]

[2] ตัวอย่างของลากรางเจียนที่มีคุณสมบัตินี้คือลากรางเจียนของอนุภาค relativistic ซึ่งเราสามารถให้เวลา t เป็นตัวแปรพลวัติ (dynamical variable) ได้ถ้าเราใช้พารามิเตอร์  \tau ใดๆในการอธิบายการเคลื่อนที่โดยที่ กล่าวคือ
 x^\mu = x^\mu(\tau) = \left(t(\tau),\mathbf{x}(\tau)\right)\qquad\qquad \mu=0,1,2,3
สังเกตว่าเพื่อความสะดวก เราจะใช้หน่วยธรรมชาติ (natural units) คือหน่วยที่เลือกให้อัตราเร็วแสงและค่าคงที่ของพลังค์ (Planck constant) มีค่าเป็นหนึ่ง

ในกรณีที่เราเลือก \tau ที่ทำให้
 \sum_\mu \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu} \equiv \sum_{\mu}\frac{d x^\mu}{d \tau}\frac{d x_\mu}{d \tau} = 1
เราจะสามารถใช้ \tau เป็นเวลาที่วัดบนกรอบอ้างอิงที่เป็นกรอบอ้างอิงเดียวกับนาฬิกาได้ (proper time) โดยเพื่อความสะดวกในการเขียนสมการในตัวอย่างนี้ เราจะใช้การเติมจุดข้างบนตัวแปร  \dot{x}^\mu = \frac{d x^\mu}{d \tau}

ลากรางเจียนที่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคได้คือ
 L(\dot{x}) = m\sqrt{ \sum_\mu  \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu}}
เราจะพบว่าลากรางเจียนนี้เป็นฟังก์ชันสม่ำเสมอของอัตราเร็ว
 L(\lambda\dot{x}) = m\sqrt{ \sum_\mu  \lambda\dot{x}^\mu \lambda\dot{x}_{\mu}  }  = \lambda m\sqrt{ \sum_\mu  \dot{x}^\mu \dot{x}_{\mu}} = \lambda L(\dot{x})
โมเมนตัมสังยุคของอัตราเร็วใน spacetime (\dot{x}^\mu) คือ
 p_\mu(\tau) = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu} = \frac{m \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}}
เมื่อใช้วิธีจากตัวอย่างข้างบน (ทฤษฎีบทของออยเลอร์) จะเห็นว่าฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์
 H(x,p) = \sum_\mu \frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu} \dot{x}^\mu - L = L-L = 0


สาเหตุที่ฮามิลโทเนียนเป็นศูนย์คือ โมเมนตัมสังยุคมีคุณสมบัติ
 p_\mu(\lambda \dot{x}) = \frac{m \lambda \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \lambda^2\dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} = p_\mu(\dot{x})
ซึ่งแสดงว่าเส้นใดๆในปริภูมิ (space) ของ \dot{x}^\mu ที่ลากระหว่างจุด \dot{x}^\mu ใดๆกับจุด \lambda\dot{x}^\mu จะถูกแม๊ป (map) ไปยังจุดๆเดียวในปริภูมิของโมเมนตัม ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าปริภูมิของอัตราเร็วจะถูกแม๊ปไปยังพื้นผิวหนึ่ง (surface) ในปริภูมิของโมเมนตัม ซึ่งพื้นผิวนี้จะถูกนิยามโดยโมเมนตัมสังยุค
 p^2 \equiv \sum_\mu p_\mu p^\mu = \frac{m \dot{x}_\mu} {\sqrt{\sum_\nu \dot{x}^\nu\dot{x}_\nu}} \frac{m \dot{x}^\mu} {\sqrt{\sum_\sigma \dot{x}^\sigma\dot{x}_\sigma}} = m^2
ทำให้ไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ นอกจากนั้น สังเกตว่า
 p^2 = E^2 - \mathbf{p}^2 = m^2
ก็คือความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัม มวล และพลังงานของอนุภาคที่ได้จากทฤษฎัสัมพัธภาพนั่นเอง ดังนั้นพื้นผิวดังกล่าวจึงเรียกว่า mass-shell constraint surface

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าการที่สมการความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนตัมสังยุคและอัตตราเร็ว (นิยามของโมเมนตัมสังยุค)ไม่สามารถถูกแก้เพื่อเขียนอัตราเร็วทุกตัวในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ โมเมนตัมของระบบจะไม่เป็นปริมาณอิสระต่อกัน ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน

วิธีตรวจสอบว่าใช้ฮามิลโทเนียนได้หรือไม่[แก้]

ในกรณีที่ใช้ตัวแปรหลายตัวในการอธิบายระบบ เมื่อต้องการทราบว่าโมเมนตัมสังยุคเป็นตัวแปรอิสระต่อกันหรือไม่ เราจะพิจารณาดีเทอร์มิแนนท์ (determinant) ของแมตริกซ์ที่สร้างจากอนุพันธ์อันดับสองของนิยามของโมเมนตัม ซึ่งทางคณิตศาสตร์มักจะเรียกแมตริกซ์นี้ว่าเฮซเซียน (Hessian matrix) โดยแมตริกซ์นี้มีสมาชิกตัวแถวที่ i และหลักที่ j คือ
 \frac{\partial{p_i}}{\partial\dot{q}_j} = \frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i} \qquad\qquad i,j = 1,2,3,...N
โดยเราจะสามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนท์ของแมตริกซ์นี้ไม่เป็นศูนย์ นั่นคือเราจะได้
 \dot{q}_i = \dot{q}_i(q,p,t) \qquad\qquad i=1,2,...,N
ก็ต่อเมื่อ
 \text{det}\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i}\right) \neq 0

ส่วนในกรณีที่
 \text{det}\left(\frac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}_j \partial \dot{q}_i}\right) = 0
เราจะไม่สามารถแก้สมการเขียนอัตราเร็วในรูปของโมเมนตัมสังยุคได้ ทำให้ไม่สามารถอธิบายระบบด้วยฮามิลโทเนียน ซึ่งในกรณีนี้เราจะต้องใช้วิธีสร้างฮามิลโทเนียนสำหรับระบบที่มี constraint ซึ่งผู้อ่านสามารถศึกษาเพิ่มเติมได้จากแหล่งข้อมูลอ้างอิงด้านล่าง [3][4]

อ้างอิง[แก้]

  1. Lanczos, Cornelius (1986), The Variational Principles of Mechanics, Dover, ISBN 978-0486650678 
  2. [Elias] Check |authorlink= value (help) (2007), String Theory in a Nutshell, Princeton University Press, ISBN 978-0691122304 
  3. Dirac, Paul A.M. (2001), Lectures on Quantum Mechanics, Dover, ISBN 978-0486417134 
  4. Henneaux, Marc; Claudio Teitelboim (1994), Quantization of Gauge Systems, Princeton University Press, ISBN 978-0691037691