กลศาสตร์แบบลากรางจ์

กลศาสตร์ดั้งเดิม

$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \vec{v})$ กฎข้อที่สองของนิวตัน

ประวัติ แนวคิดมูลฐาน ช่องว่าง · เวลา · มวล · แรง พลังงาน · โมเมนตัม สมการ กลศาสตร์ดั้งเดิม กลศาสตร์แบบลากรางจ์ กลศาสตร์แบบแฮมิลโตเนียน สาขา สถิตยศาสตร์ พลศาสตร์(ไร้มวล) พลศาสตร์ กลศาสตร์ประยุกต์ กลศาสตร์ท้องฟ้า กลศาสตร์ต่อเนื่อง สถิตยกลศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ นิวตัน · ออยเลอร์ · ดาเลมเบิร์ต · Clairaut ลากรานจ์ · ลาปลาส · แฮมิลตัน · Poisson

กลศาสตร์แบบลากรางจ์ (อังกฤษ: Lagrangian Machanics) เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของกลศาสตร์ดั้งเดิม (อังกฤษ: Classical Machanics) ซึ่งเสนอโดย โจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ (Joseph Louis Lagrange) โดยการคำนวณกลศาสตร์แบบลากรางจ์นี้ ไม่ใช้แรงในการคำนวณเหมือนกับกลศาสตร์นิวตัน (อังกฤษ: Newtonian Machanics) ทำให้กลศาสตร์แบบลากรางจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่างๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหาเพนดูลัมที่มีมวลมากกว่า 1 อัน เป็นต้น

หลักการ

สมการลากรางจ์ เกิดจากผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ภายในระบบซึ่งมีรูปแบบดังนี้

${\mathcal L}(q,\dot{q}) = T(q,\dot{q})-V(q)$
เมื่อ ${\mathcal L}$ คือ ลากรางเจียน (Lagragian) หรือ สมการลากรางจ์
$T$ คือ พลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบ
$V$ คือ พลังงานศักย์ทั้งหมดของระบบ

สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตามสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ (Euler-Lagrange Equation) ดังนี้

$0 = \frac {d}{d t} \left ( \frac {\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_j} \right ) - \frac {\partial \mathcal L}{\partial q_j}$
โดย $q_j$ คือพิกัดทั่วไป (generalized coordinate) ของระบบ