ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
การทดสอบสัมพัทธภาพทั่วไปความเที่ยงสูงโดยยานอวกาศแคสซินี สัญญาณวิทยุที่ส่งระหว่างโลกและยาน (คลื่นสีเขียว) ถูกหน่วงโดยการบิดของปริภูมิ-เวลา (เส้นสีน้ำเงิน) เนื่องจากมวลของดวงอาทิตย์

สัมพัทธภาพทั่วไปหรือทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (อังกฤษ: general relativity หรือ general theory of relativity) เป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงแบบเรขาคณิตซึ่งอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์จัดพิมพ์ใน ค.ศ. 1916[1] และเป็นการพรรณนาความโน้มถ่วงปัจจุบันในวิชาฟิสิกส์สมัยใหม่ สัมพัทธภาพทั่วไปวางนัยทั่วไปสัมพัทธภาพพิเศษและกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน โดยให้การพรรณนารวมความโน้มถ่วงเป็นคุณสมบัติเรขาคณิตของปริภูมิและเวลา หรือปริภูมิ-เวลา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความโค้งของปริภูมิ-เวลาสัมพันธ์โดยตรงกับพลังงานและโมเมนตัมของสสารและรังสีที่มีอยู่ทั้งหมด ความสัมพันธ์นี้เจาะจงโดยสมการฟีลด์ไอน์สไตน์ ซึ่งเป็นระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

การทำนายของสัมพัทธภาพทั่วไปบางอย่างแตกต่างมากจากการทำนายของฟิสิกส์แบบฉบับ โดยเฉพาะที่เกี่ยวกับการผ่านของเวลา เรขาคณิตของปริภูมิ การเคลื่อนที่ของเทห์ (body) ในการตกอิสระ และการแพร่กระจายของแสง ตัวอย่างความต่างเหล่านี้มีการเปลี่ยนขนาดของเวลาเชิงโน้มถ่วง เลนส์ความโน้มถ่วง การเคลื่อนไปทางแดงเชิงโน้มถ่วงของแสง และการหน่วงของเวลาเชิงโน้มถ่วง การทำนายของสัมพัทธภาพทั่วไปได้รับการยืนยันในทุกการสังเกตและการทดลองจนปัจจุบัน แม้สัมพัทธภาพทั่วไปมิใช่เพียงทฤษฎีความโน้มถ่วงสัมพัทธนิมเท่านั้น แต่เป็นทฤษฎีง่ายที่สุดซึ่งสอดคล้องกับข้อมูลเชิงทดลองด้วย ทว่า ยังเหลือคำถามซึ่งไม่มีคำตอบและเป็นหลักมูลที่สุดว่า สัมพัทณภาพจะสามารถเข้ากับกฎฟิสิกส์ควอนตัมเพื่อส้างทฤษฎีความโน้มถ่วงควอนตัมที่สมบูรณ์และต้องกันในตัวเองได้อย่างไร

ทฤษฎีของไอน์สไตน์มีการส่อความทางดาราฟิสิกส์สำคัญ ตัวอย่างเช่น มันส่อความการมีหลุมดำ บริเวณของปริภูมิซึ่งปริภูมิและเวลาซึ่งบิดเบี้ยวจนไม่มีสิ่งใด กระทั่งแสง สามารถออกมาได้ โดยเป็นจุดจบของดาวฤกษ์ขนาดยักษ์ มีหลักฐานมากพอว่า รังสีเข้มซึ่งแผ่จากวัตถุทางดาราศาสตร์บางชนิดเนื่องจากหลุมดำ เช่น ไมโครควาซาร์ (microquasar) และนิวเคลียสดาราจักรกัมมันต์ (active galactic nucleus) ซึ่งเกิดจากการมีหลุมดำดาวฤกษ์และหลุมดำชนิดใหญ่ยักษ์กว่ามากตามลำดับ การโค้งของแสงโดยความโน้มถ่วงสามารถนำไปสู่ปรากฏการณ์เลนส์ความโน้มถ่วง ซึ่งสามารถเห็นภาพหลายภาพของวัตถุดาราศาสตร์ที่ระยะทางเท่ากันหลายภาพบนฟ้า สัมพัทธภาพทั่วไปยังทำนายการมีคลื่นความโน้มถ่วง ซึ่งมีการสังเกตโดยอ้อมนับแต่นั้น การวัดโดยตรงเป็นเป้าหมายของโครงการอย่าง LIGO และสายอากาศอวกาศอินเตอร์เฟอโรเมทรีเลเซอร์ (Laser Interferometer Space Antenna) ของนาซา/อีเอสเอ และแถวลำดับตั้งจังหวะพัลซาร์ (pulsar timing array) จำนวนมาก นอกจากนี้ สัมพัทธภาพทั่วไปยังเป็นพื้นฐานของแบบจำลองจักรวาลวิทยาเอกภาพขยายต่อเนื่องปัจจุบัน

จากกลศาสตร์แบบฉบับสู่สัมพัทธภาพทั่วไป[แก้]

สมการของไอน์สไตน์[แก้]

หลังคิดได้ผลของความโน้มถ่วงฉบับสัมพัทธนิยมและเรขาคณิตแล้ว แต่คำถามที่มาของความโน้มถ่วงยังอยู่ ในความโน้มถ่วงแบบนิวตัน ที่มานั้นคือมวล ในสัมพัทธภาพพิเศษ กลายเป็นว่ามวลเป็นส่วนหนึ่งของปริมาณทั่วไปกว่า เรียก เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม (energy–momentum tensor) ซึ่งมีทั้งความหนาแน่นของพลังงานและโมเมนตัม ตลอดจนความเครียด (คือ ความดันและความเฉือน) โดยใช้หลักการสมมูล เทนเซอร์นี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งแล้ว โดยลากต่อบนอุปมากับความโน้มถ่วงแบบนิวตันเชิงเรขาคณิต จึงเป็นธรรมชาติที่จะสันนิษฐานว่าสมการฟีลด์สำหรับความโน้มถ่วงเชื่อมเทนเซอร์นี้กับเทนเซอร์ริตชี (Ricci tensor) ซึ่งอธิบายผลขึ้นลงชั้นเฉพาะหนึ่ง คือ การเปลี่ยนแปลงปริมาตรของอนุภาคทดสอบคลาวด์ (cloud) เล็กซึ่งทีแรกเป็นขณะพัก แล้วตกอิสระ ในสัมพัทธภาพพิเศษ การอนุรักษ์พลังงาน-โมเมนตัมสมนัยกับข้อความว่าเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัมปลอดการลู่ออก เช่นเดียวกัน สูตรนี้ถูกวางนัยทั่วไปพร้อมเป็นปริภูมิ-เวลาโค้งโดยการแทนอนุพันธ์ย่อยด้วยอนุพันธ์แมนิโฟลด์ (manifold) โค้งแทน ซึ่งเป็นอนุพันธ์แปรปรวนร่วมเกี่ยวที่ศึกษาในเรขาคณิคเชิงอนุพันธ์ ด้วยเงื่อนไขที่เพิ่มขึ้นมานี้ การลู่ออกแปรปรวมร่วมเกี่ยวของเทนเซอร์พลังงาน-โมเมนตัม และอะไรก็ตามที่อยู่อีกข้างหนึ่งของสมการ เป็นศูนย์ เซตสมการง่ายที่สุดจึงเป็นสิ่งที่เรียก สมการสนามของไอน์สไตน์:

สมการสนามของไอน์สไตน์

G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu} - {\textstyle 1 \over 2}R\,g_{\mu\nu} = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu\nu}\,

ข้างซ้ายมือเป็นเทนเซอร์ไอน์สไตน์ การจัดหมู่เทนเซอร์ริตชีแบบปลอดการลู่ออกเฉพาะ R_{\mu\nu} กับเทนเซอร์เมตริก โดยที่ G_{\mu\nu} สมมาตร โดยเฉพาะ

R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}\,

เป็นสเกลาร์ความโค้ง เทนเซอร์ริตชีเองสัมพันธ์กับเทนเซอร์ความโค้งรีมันน์ (Riemann curvature tensor) ทั่วไปกว่า โดยที่

R_{\mu\nu}={R^\alpha}_{\mu\alpha\nu}\,

ข้างขวามือ T_{\mu\nu} เป็นเทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัม เทนเซอร์ทั้งหมดเขียนด้วยสัญกรณ์ดัชนีนามธรรม (abstract index notation)[2] การจับคู่การทำนายของทฤษฎีดังกล่าวกับผลการสังเกตสำหรับวงโคจรดาวเคราะห์ (หรือเทียบเท่าการประกันขีดจำกัดความโน้มถ่วงอ่อน ความเร็วต่ำเป็นกลศาสตร์แบบนิวตัน) ค่าคงตัวความได้สัดส่วน (proportionality constant) สามารถคงเป็น κ = 8πG/c4 โดยที่ G เป็นค่าคงตัวความโน้มถ่วง และ c เป็นความเร็วแสง[3] เมื่อไม่มีมวล เพื่อให้เทนเซอร์พลังงาน–โมเมนตัมหมดไป ผลคือ สมการไอน์สไตน์สุญญากาศ (vacuum Einstein equation)

R_{\mu\nu}=0\,

เหล่านี้เป็นทางเลือกของสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งสร้างบนข้อตั้งเดียวกัน ซึ่งมีกฎและ/หรือค่าคงตัวเพิ่มเติม นำไปสู่สมการฟีลด์ต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น Brans–Dicke theory, teleparallelism และ Einstein–Cartan theory[4]

บทนิยามและการประยุกต์พื้นฐาน[แก้]

สัมพัทธภาพทั่วไปเป็นทฤษฎีความโน้มถ่วงเมตริก ณ ใจกลางของมันเป็นสมการของไอน์สไตน์ ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตของแมนิโฟลด์สี่มิติ แบบรีมันน์เทียม (pseudo-Riemannian) ซึ่งเป็นตัวแทนของปริภูมิ-เวลาและพลังงาน-โมเมนตัมซึ่งอยู่ในปริภูมิ-เวลานั้น[5] ปรากฏการณ์ซึ่งในกลศาสตร์แบบฉบับให้เหตุผลว่าเป็นกิริยา (action) ของแรงโน้มถ่วง (เช่น การตกอิสระ การเคลื่อนที่แบบโคจร และแนววิถีอวกาศยาน) สอดคล้องกับการเคลื่อนที่เฉื่อยภายในเรขาคณิตโค้งของปริภูมิ-เวลาในสัมพัทธภาพทั่วไป ไม่มีแรงโน้มถ่วงเบนวัตถุจากวิถีธรรมชาติเป็นเส้นตรงของมัน แต่ความโน้มถ่วงสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของปริภูมิและเวลา ซึ่งเปลี่ยนวิถีเส้นตรงที่สุดที่เป็นไปได้ซึ่งวัตถุจะดำเนินโดยธรรมชาติเป็นลำดับ[6] ส่วนความโค้งนั้นเกิดจากพลังงาน–โมเมนตัมของสสารอีกทอดหนึ่ง ถอดความจากนักสัมพัทธนิยม จอห์น อาร์ชิบัลด์ วีเลอร์ (John Archibald Wheeler) ปริภูมิ-เวลาบอกสสารว่าจะเคลื่อนที่อย่างไร สสารบอกปริภูมิ-เวลาว่าจะโค้งอย่างไร[7]

ขณะที่สัมพัทธภาพทั่วไปแทนศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ของกลศาสตร์แบบฉบับด้วยเทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสอง (rank-two) สมมาตร แต่เทนเซอร์ค่าลำดับขั้นสองสมมาตรลดเหลือศักยะความโน้มถ่วงสเกลาร์ในบางกรณี สำหรับสนามความโน้มถ่วงอ่อนและความเร็วต่ำสัมพัทธ์กับความเร็วแสง การทำนายของทฤษฎีนี้บรรจบกับการทำนายของกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตัน[8]

เพราะสัมพัทธภาพทั่วไปสร้างโดยใช้เทนเซอร์ จึงแสดงความแปรปรวนร่วมเกี่ยวทั่วไป โดยกฎของมัน และกฎอื่นที่คิดภายในกรอบสัมพัทธนิยมทั่วไป ยึดรูปแบบเดียวกันในทุกระบบพิกัด[9] ยิ่งไปกว่านั้น ทฤษฎีนี้ไม่มีโครงสร้างพื้นหลังเรขาคณิตไม่แปรเปลี่ยนใด ๆ คือ ไม่ขึ้นกับพื้นหลัง ฉะนั้นมันสอดคล้องกับหลักการทั่วไปสัมพัทธนิยมที่เข้มงวดกว่า กล่าวคือ กฎฟิสิกส์เป็นเหมือนกับสำหรับผู้สังเกตทุกคน[10] เฉพาะที่ดังแสดงในหลักการสมมูล ปริภูมิ-เวลาเป็นแบบมินคอฟสกี และกฎฟิสิกส์แสดงความยืนยงลอเรนตซ์เฉพาะที่ (local Lorentz invariance)[11]

อ้างอิง[แก้]

  1. "Nobel Prize Biography". Nobel Prize Biography. Nobel Prize. สืบค้นเมื่อ 25 February 2011. 
  2. Ehlers 1973, pp. 19–22 for similar derivations, see sections 1 and 2 of ch. 7 in Weinberg 1972. The Einstein tensor is the only divergence-free tensor that is a function of the metric coefficients, their first and second derivatives at most, and allows the spacetime of special relativity as a solution in the absence of sources of gravity, cf. Lovelock 1972. The tensors on both side are of second rank, that is, they can each be thought of as 4×4 matrices, each of which contains ten independent terms; hence, the above represents ten coupled equations. The fact that, as a consequence of geometric relations known as Bianchi identities, the Einstein tensor satisfies a further four identities reduces these to six independent equations, e.g. Schutz 1985, sec. 8.3
  3. Kenyon 1990, sec. 7.4
  4. Brans & Dicke 1961, Weinberg 1972, sec. 3 in ch. 7, Goenner 2004, sec. 7.2, and Trautman 2006, respectively
  5. Wald 1984, ch. 4, Weinberg 1972, ch. 7 or, in fact, any other textbook on general relativity
  6. At least approximately, cf. Poisson 2004
  7. Wheeler 1990, p. xi
  8. Wald 1984, sec. 4.4
  9. Wald 1984, sec. 4.1
  10. For the (conceptual and historical) difficulties in defining a general principle of relativity and separating it from the notion of general covariance, see Giulini 2006b
  11. section 5 in ch. 12 of Weinberg 1972