สเตอเรเดียน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
มุมในทรงตันขนาด 1 สเตอเรเดียน

สเตอเรเดียน (อังกฤษ: steradian) คือหน่วยวัดมุมในวัตถุทรงตันชนิดหนึ่ง ใช้อธิบายขนาดของการกวาดมุมแบบสองมิติ บนปริภูมิสามมิติ ในแนวความคิดเดียวกับการวัดมุมบนระนาบสองมิติของเรเดียน ชื่อของ สเตอเรเดียน มาจากภาษากรีก stereos แปลว่า ตัน สเตอเรเดียนยังเป็นหน่วยอนุพันธ์เอสไอ และใช้สัญลักษณ์ "sr"

สเตอเรเดียนนั้นเป็นหน่วยที่ไร้มิติ เช่น 1 sr = m2·m-2 = 1 แต่ก็ควรใส่หน่วย "sr" ไว้เพื่อให้มีความแตกต่างจากหน่วยอนุพันธ์ที่ไร้มิติอื่นๆ หรือไม่มีเลย

นิยาม[แก้]

หนึ่งสเตอเรเดียน คือ ขนาดของมุมในทรงตันที่วัดจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีรัศมียาว r ที่กวาดไปบนพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้น เป็นพื้นที่เท่ากับ r2

ภาพตัดตามยาวของกรวยและหมวกของทรงกลม บนพื้นที่ผิว A

ถ้าสมมติให้ A มีพื้นที่เท่ากับ r2 ที่อยู่บนหมวกของทรงกลมซึ่งมีพื้นที่ผิวเท่ากับ 2πrh
เราจะได้ความสัมพันธ์คือ h/r = 1/ ดังนั้นมุมในทรงตันของกรวยที่อยู่ภายในจะกวาดมุมออกไปเท่ากับ θ ดังนี้


\begin{align}
\theta & = \cos^{-1} \left( \frac{r-h}{r} \right)=\\
       & = \cos^{-1} \left( 1 - \frac{h}{r} \right)=\\
       & = \cos^{-1} \left( 1 - \frac{1}{2\pi} \right) \approx 0.572 \,rad \mbox{ or } 32.77^\circ
\end{align}

ซึ่งค่ามุมนี้แสดงให้เห็นว่าจุดยอดของกรวยนั้นกางออก 2θ ≈ 1.144 rad หรือ 65.54° เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้นมีค่า 4πr2 ดังนั้นมุมในทรงตันของทรงกลมจึงมีค่า 4π ≈ 12.56637 สเตอเรเดียน และมุมในทรงตันที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ก็คือ 4π สเตอเรเดียนนั่นเอง สเตอเรเดียนสามารถเรียกอีกอย่างหนึ่งได้ว่า ตารางเรเดียน

หนึ่งสเตอเรเดียนยังมีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมที่มีมุมเกิน 1 เรเดียน หรือเท่ากับพื้นที่ 1/ ของพื้นที่ผิวทรงกลม หรือเท่ากับ (180/π)2 ≈ 3282.80635 ตารางองศา

สูตรของมุมตัน (ในหน่วยสเตอเรเดียน) ที่เกิดจากภาคตัดขวางของรูปทรงกรวย ที่รองรับมุมเรเดียน θ คือ

\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta).\quad

ความคล้ายคลึงกับหน่วยเรเดียน[แก้]

ในสองมิติ มุมเรเดียนมีความสัมพันธ์กับส่วนของเส้นโค้งที่รองรับดังนี้

\theta = \frac{l}{r} \,
เมื่อ
l แทนส่วนของเส้นโค้ง
r แทนรัศมีของวงกลม

ในสามมิติ มุมตันในหน่วยสเตอเรเดียนมีความสัมพันธ์กับพื้นที่ที่รองรับดังนี้

\Omega = \frac{S}{r^2} \,
เมื่อ
S แทนพื้นที่ผิว
r แทนรัศมีของทรงกลม

พหุคูณของเอสไอ[แก้]

มุมสเตอเรเดียนมีค่าสูงสุดเพียงแค่ 4π ≈ 12.56637 ดังนั้นหน่วยสเตอเรเดียนจึงไม่ต้องอาศัยตัวคูณให้มากขึ้น แต่สำหรับตัวหารแล้ว เราสามารถเปรียบเทียบขนาดของพหุคูณเอสไอของสเตอเรเดียนได้ดังนี้

พหุคูณ ชื่อ สัญลักษณ์ ขนาดเมื่อเทียบกับโลก
101 เดคาสเตอเรเดียน dasr ใหญ่กว่าพื้นน้ำทั้งหมดบนโลกเล็กน้อย
100 สเตอเรเดียน sr ประมาณทวีปเอเชีย
10−1 เดซิสเตอเรเดียน dsr พื้นที่ของอาร์เจนตินารวมกับเปรู
10−2 เซนติสเตอเรเดียน csr พื้นที่ของโคลัมเบีย
10−3 มิลลิสเตอเรเดียน msr พื้นที่ของสวิตเซอร์แลนด์
10−6 ไมโครสเตอเรเดียน µsr พื้นที่ของแซนตามอนิกา (รัฐแคลิฟอร์เนีย)
10−9 นาโนสเตอเรเดียน nsr พื้นที่ของสนามอเมริกันฟุตบอล 8 สนาม
10−12 พิโคสเตอเรเดียน psr พื้นที่ของอพาร์ตเมนต์ขนาดเล็ก
10−15 เฟมโตสเตอเรเดียน fsr พื้นที่ของกระดาษ A5
10−18 อัตโตสเตอเรเดียน asr พื้นที่ขนาด ¼ ตารางนิ้ว
10−21 เซปโตสเตอเรเดียน zsr พื้นที่หน้าตัดของสายไฟเบอร์ 32
10−24 ยอกโตสเตอเรเดียน ysr พื้นที่ผิวของเซลล์เม็ดเลือดแดง