ทรงกรวย

ทรงกรวย
ทรงกรวยกลมตั้งฉากที่มีรัศมีของฐาน r, ความสูงตรง h, ความสูงเอียง c และมุม θ
ชนิด	รูปทรงตัน
ลักษณะออยเลอร์	2
หน้า	หน้าวงกลม 1 หน้า และผิวกรวย 1 หน้า
กรุปสมมาตร	O(2) (กรุปเชิงตั้งฉาก)
พื้นที่ผิว	πr2 + πrℓ
ปริมาตร	(πr2h)/3

กรวย (อังกฤษ: cone) คือรูปทรงสามมิติที่มีลักษณะเรียวแหลมจากฐานราบ (ซึ่งโดยทั่วไปมักเป็นรูปวงกลม) ไปยังจุดยอด (apex หรือ vertex) ซึ่งจุดนั้นไม่อยู่ในระนาบเดียวกันกับฐาน

ทรงกรวยเกิดขึ้นจากส่วนของเส้นตรง รังสี หรือเส้นตรง ที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดทั้งหมดบนฐาน ในกรณีของส่วนของเส้นตรง ทรงกรวยจะไม่ขยายเลยฐาน แต่ในกรณีของรังสี ทรงกรวยจะขยายออกไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด และในกรณีของเส้นตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดทั้งสองทิศทาง ทรงกรวยจะขยายออกไปได้อย่างไม่สิ้นสุดทั้งสองด้านจากจุดยอด ซึ่งในกรณีนี้บางครั้งเรียกว่า ทรงกรวยสองด้าน (double cone) โดยแต่ละด้านของทรงกรวยที่แบ่งกันที่จุดยอดจะเรียกว่า แนปป์ (nappe)

ฐานของทรงกรวยอาจถูกจำกัดนิยามให้เป็นเพียงเฉพาะรูปวงกลม หรือรูปร่างหนึ่งมิติของสมการกำลังสองใด ๆ ในระนาบ หรือรูปร่างหนึ่งมิติที่ปิดสนิท หรืออย่างใดอย่างหนึ่งข้างต้นพร้อมกับจุดภายในทั้งหมดที่ถูกล้อมรอบไว้ ซึ่งขึ้นอยู่กับผู้เขียน หากฐานรวมถึงจุดภายในทั้งหมด ทรงกรวยจะเป็นวัตถุทึบ แต่ถ้าไม่รวมจุดภายในจะเป็นพื้นผิวเปิด ซึ่งเป็นวัตถุสองมิติในปริภูมิสามมิติ ในกรณีของวัตถุทึบ ขอบเขตที่เกิดจากเส้นหรือเส้นบางส่วนเหล่านี้ เรียกว่า พื้นผิวข้าง (lateral surface) หากพื้นผิวข้างนี้ไม่มีขอบเขต จะเรียกว่า พื้นผิวกรวย (conical surface)

แกนของทรงกรวย คือเส้นตรงที่ผ่านจุดยอดซึ่งทรงกรวยมีสมมาตรแบบวงกลมรอบแกนนี้ โดยทั่วไปในเรขาคณิตขั้นต้น ทรงกรวยจะถูกกำหนดให้เป็นทรวงกรวยวงกลมตั้งฉาก (right circular) คือมีฐานเป็นรูปวงกลมที่ตั้งฉากกับแกน หากเป็นทรวงกรวยวงกลมตั้งฉาก การตัดกันระหว่างระนาบกับพื้นผิวข้างจะได้ภาคตัดกรวย (conic section) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปฐานอาจมีรูปร่างใดก็ได้ และจุดยอดอาจอยู่ตำแหน่งใดก็ได้ (แม้โดยปกติจะถือว่าฐานมีขอบเขตและมีพื้นที่จำกัด และจุดยอดอยู่ภายนอกระนาบฐาน) ต่างจากทรงกรวยตั้งฉากคือทรงกรวยเอียง (oblique cone) ซึ่งแกนจะผ่านศูนย์กลางของฐานโดยไม่ตั้งฉาก

ทรงกรวยวงกลมตั้งฉาก (ทรงกรวยตรง) และทรวงวงกลมเอียง (ทรงกรวยเอียง)

ทรงกรวยสองด้าน ที่ขยายออกไปได้อย่างไม่สิ้นสุด

การวัดและสมการ

ปริมาตร

การพิสูจน์แบบเห็นภาพแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกรวยคือหนึ่งในสามของทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางและความสูงเท่ากัน

1.	ทรงกรวยและทรงกระบอกมีรัศมี r และความสูง h
2.	อัตราส่วนของปริมาตรทรงกรวยกับทรงกระบอกจะยังคงที่เมื่อเปลี่ยนความสูงเป็น h' = r √π
3.	แบ่งรูปทรงออกเป็นชิ้นบาง ๆ
4.	ใช้หลักการของคาวาลิเอรี (Cavalieri's principle) โดยเปลี่ยนรูปร่างชิ้นบาง ๆ แต่ละชิ้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่าเดิม
5.	สร้างพีระมิดซ้ำเพิ่มขึ้นมาอีกสองรูป
6.	เมื่อประกอบรูปทรงทั้งสามเข้าด้วยกันเป็นลูกบาศก์ อัตราส่วนปริมาตรคือ 1:3

ปริมาตร $V$ ของทรงกรวยใด ๆ มีค่าเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของพื้นที่ฐาน $A_{B}$ กับความสูง $h$

$V={\frac {1}{3}}A_{B}h.$

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ สูตรนี้สามารถคำนวณได้ง่าย ๆ โดยใช้แคลคูลัส ซึ่งเป็นปริพันธ์

$\int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}$

ทรงกรวยวงกลมตั้งฉาก

ปริมาตร

สำหรับทรงกรวยวงกลมที่มีรัศมี $r$ และความสูง $h$ ฐานจะเป็นรูปวงกลมที่มีพื้นที่ $\pi r^{2}$ ดังนั้นสูตรคำนวณปริมาตรคือ

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวข้าง (lateral surface area หรือย่อว่า LSA) ของทรงกรวยวงกลมตั้งฉากคือ $LSA=\pi r\ell$ โดยที่ $r$ คือรัศมีของรูปวงกลมที่ฐานกรวย และ $\ell$ คือความสูงเอียงของกรวย พื้นที่ผิวของรูปวงกลมของฐานกรวยจะเท่ากับพื้นที่ผิวของวงกลมใด ๆ $\pi r^{2}$ ดังนั้น พื้นที่ผิวรวมของกรวยวงกลมตั้งฉากสามารถแสดงได้ดังนี้

• เมื่อกำหนดค่ารัศมีและความสูงตรงมาให้

$\pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

(พื้นที่ฐานบวกพื้นที่ผิวข้าง ซึ่งพจน์ ${\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ คือความสูงเอียง)

$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)$

โดยที่ $r$ คือรัศมี และ $h$ คือความสูงตรง

พื้นที่ผิวรวมของทรงกรวยวงกลมตั้งฉาก กำหนดให้มีรัศมี 𝑟 และความสูงเอียง ℓ

• เมื่อกำหนดค่ารัศมีและความสูงเอียงมาให้

$\pi r^{2}+\pi r\ell$

$\pi r(r+\ell )$

โดยที่ $r$ คือรัศมี และ $\ell$ คือความสูงเอียง

• เมื่อกำหนดค่าเส้นรอบวงและความสูงเอียงมาให้

${\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}$

$\left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)$

โดยที่ $c$ คือค่าเส้นรอบวง และ $\ell$ คือความสูงเอียง

• เมื่อกำหนดค่ามุมที่จุดยอดและความสูงตรงมาให้

$\pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)$

$-{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}$

โดยที่ $\theta$ คือมุมที่จุดยอด และ $h$ คือความสูงตรง

ดูเพิ่ม

• กรวย (อุปกรณ์)