เซต (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เซต (แก้ความกำกวม)
อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซต คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซตทั้งสองเซต ดังแสดงในแผนภาพเวนน์

ในทางคณิตศาสตร์ เซต (อังกฤษ: set) เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิก[1][2][3] สมาชิกในเซตอาจเป็นวัตถุในคณิตศาสตร์ใดก็ได้ เช่น จำนวน สัญลักษณ์ จุดในปริภูมิ เส้นตรง หรือแม้กระทั่งเซตอื่น ๆ[4] เราสามารถดำเนินการกับเซตได้ เช่น ยูเนียนเป็นการรวมสมาชิกของเซตสองเซตเข้าด้วยกัน อินเตอร์เซกชันเลือกเอาเฉพาะสมาชิกที่ปรากฏในเซตสองเซต และยังมีความสัมพันธ์ระหว่างเซตอื่น เช่น การเป็นสับเซต เป็นพื้นฐานสำคัญของเซตทั้งสิ้น

เซตถูกกล่าวถึงเป็นครั้งแรกในศตวรรษที่ 19 พร้อมกับทฤษฎีเซตซึ่งเป็นการศึกษาเซตโดยใช้ระบบสัจพจน์ที่รัดกุม แนวคิดเกี่ยวกับเซตนั้นมีความสามารถพอจนทำให้วัตถุในคณิตศาสตร์สามารถนิยามผ่านเซตได้แทบทั้งหมด และบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์สามารถเขียนให้อยู่ในภาษาของเซตได้อย่างรัดกุม[5] ดังนั้นเซตจึงพบได้ทั่วไปในคณิตศาสตร์ปัจจุบัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลซึ่งเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์แทบทุกสาขา[4]

ต้นกำเนิดของเซต[แก้]

ดูบทความหลักที่: ทฤษฎีเซต

แนวความคิดเกี่ยวกับเซตปรากฏเริ่มต้นในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19[6] แบร์นาร์ท บ็อลท์ซาโนใช้คำว่าเซต (Menge) ในภาษาเยอรมันเป็นคนแรกในงานชื่อ Paradoxien des Unendlichen (ปฏิทรรศน์ของอนันต์)[7][8][9]

ในส่วนเริ่มแรกของ Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre โดย เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) ผู้สร้างทฤษฎีเซตคนสำคัญ ให้นิยามของเซตเซตหนึ่งดังต่อไปนี้:[10]

โดย "เซต" เซตหนึ่ง เราหมายถึงการสะสมรวบรวมใดๆ ที่ให้ชื่อว่า M เข้าเป็นหน่วยเดียวกันทั้งหมด ของวัตถุที่ให้ชื่อว่า m ที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า "สมาชิก" ของ M) ตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา

ทฤษฎีเซตอย่างง่าย[แก้]

แนวความคิดพื้นฐานคือ เซตเป็นสิ่งที่มีสมาชิก (elements หรือ members) เซตจะเท่ากันก็ต่อเมื่อมีสมาชิกเดียวกัน หรืออีกนัยหนึ่ง เซต A และ B จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เรียกคุณสมบัติของเซตนี้ว่า extensionality[11] นอกจากนี้เราอาจกำหนดเงื่อนไขของสมาชิกที่จะอยู่ในเซตได้

แนวคิดอย่างง่ายของเซตนี้ถึงแม้จะมีประโยชน์มากในคณิตศาสตร์ แต่นำไปสู่ปฏิทรรศน์ทางตรรกศาสตร์หากไม่กำหนดขอบเขตของการระบุเงื่อนไข เช่น

ทฤษฎีเซตอย่างง่าย (naïve set theory) แก้ปัญหาด้วยการนิยามเซตให้เป็นกลุ่มหรือหมู่ของสมาชิกที่นิยามดี แต่คำว่า นิยามดี นั้นขอบเขตกว้างจนเกินไป

ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์[แก้]

เพื่อแก้ไขปฏิทรรศน์ข้างต้น จึงมีความพยายามนิยามเซตให้รัดกุมโดยใช้สัจพจน์ ในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ถือว่าเซตเป็น อนิยาม (primitive notion)[6]

การเขียนอธิบายเซต[แก้]

ในคณิตศาสตร์นิยมแทนเซตด้วยใช้อักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่แบบตัวเอียง เช่น A, B, C[12] นอกจากนี้แล้วอาจใช้คำว่า คอลเลกชัน วงศ์ หรือ แฟมิลี แทนเซตที่มีสมาชิกเป็นเซต

การเขียนระบุสมาชิก[แก้]

วิธีการระบุเซตโดยการกำหนดสมาชิกของมันโดยเจาะจง ด้วยการใช้กฎหรือการอธิบายด้วย ภาษาทางคณิตศาสตร์ เช่น:

A เป็นเซตซึ่งสมาชิกของมันเป็น เลขจำนวนเต็มบวกสี่ตัวแรก
B เป็นเซตของสีของ ธงชาติฝรั่งเศส

การแจกแจงสมาชิก[แก้]

วิธีที่สองคือโดย การแจกแจง นั่นคือ การแจกแจกสมาชิกแต่ละตัวของเซต การนิยามเซตด้วยการแจกแจง สมาชิกจะถูกเขียนแทนด้วยการแจกแจงสมาชิกของเซตภายในวงเล็บปีกกา:

C = {4, 2, 1, 3}
D = {น้ำเงิน, ขาว, แดง}

ในตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า A = C และ B = D

ลำดับที่สมาชิกของเซตถูกเรียงในการนิยามแบบแจกแจกสมาชิกไม่มีความสำคัญ เช่นเดียวกันกับจำนวนสมาชิกที่ซ้ำกันในรายการแจกแจง ตัวอย่างเช่น

{6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}

เป็นเซตที่เหมือนกันทุกประการ เพราะว่าการแจกแจงสมาชิกเซตมีความหมายเพียงว่าองค์ประกอบแต่ละตัวในรายการแจกแจงเป็นสมาชิกตัวหนึ่งของเซตนั้นแค่นั้นเอง

สำหรับเซตที่มีสมาชิกจำนวนมาก การระบุของสมาชิกสามารถเขียนอย่างย่อได้ ตัวอย่างเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มบวกหนึ่งพันตัวแรกสามารถเขียนแบบแจกแจงได้เป็น:

{1, 2, 3, ..., 1000}

ที่ซึ่ง การเว้นถ้อยคำไว้ให้เข้าใจเอาเอง (อิลิปซิส, "...") ระบุว่ารายการแจกแจงดำเนินต่อไปในทางที่เห็นได้ชัด อิลิปซิสอาจถูกใช้ในที่ซึ่งเซตมีสมาชิกไม่จำกัด ดังเช่น เซตของเลขจำนวนเต็มคู่บวก เขียนแทนได้ว่า {2, 4, 6, 8, ... }

การใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต[แก้]

เราอาจใช้สัญลักษณ์การสร้างเซต (set-builder notation) เพื่อระบุสมาชิกในเซตได้ ตัวอย่างเช่น

E = {x | x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่}

เครื่องหมายขีดคั่นหมายถึง “โดยที่” และมีเงื่อนไขเขียนด้านหลัง ดังนั้นสัญลักษณ์ข้างต้นจึงหมายถึง “เซตของ x ทั้งหมดโดยที่ x เป็นสัญลักษณ์หน้าไพ่” ดังนั้น E คือเซตซึ่งสมาชิกสี่ตัวของมันคือ ♠, ♦, ♥, และ ♣ ผู้เขียนบางคนอาจใช้สัญลักษณ์โคลอน (:) แทนเครื่องหมายขีดคั่น

เราสามารถเปลี่ยนสมการด้านหน้าเครื่องหมายขีดคั่นได้ เพื่อให้ได้เซตที่เกิดจากการดำเนินการกับสมาชิกที่กำหนดโดยเงื่อนไขที่ตามหลัง ตัวอย่างเช่น เซต F ของจำนวนที่ได้จากการยกกำลังสองแล้วลบด้วยสี่ ของจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดยี่สิบตัวแรกสามารถเขียนได้เป็น:

F = {n² - 4 : n เป็นจำนวนเต็ม และ 0 ≤ n ≤ 19}

ซึ่งมีสมาชิกเป็น -4, -3, 0, 5, …, 357

คำศัพท์และสัญลักษณ์ของเซต[แก้]

  1. เซตที่เท่ากัน เซตจะแตกต่างกันหรือไม่ขึ้นอยู่กับว่าสมาชิกต่างกันหรือไม่ โดยเซตสองเซตจะเท่ากันเมื่อมีสมาชิกเหมือนกัน
  2. เซตจำกัดและเซตอนันต์ เซตจำกัดคือเซตที่เราสามารถระบุได้ว่ามีสมาชิกกี่ตัว เซตอนันต์คือเซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด
  3. เซตว่างคือเซตที่ไม่มีสมาชิกเลย
  4. เอกภพสัมพัทธ์ คือเซตที่ใช้กำหนดขอบเขตของสิ่งที่กำลังพิจารณา แทนด้วย U
  5. เซตของจำนวนบางชนิด เช่น = เซตของจำนวนนับ, = เซตของจำนวนเต็ม, = เซตของจำนวนตรรกยะ, = เซตของจำนวนจริง, = เซตของจำนวนเชิงซ้อน
  6. สับเซต A เป็นสับเซตของ B หมายความว่าสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B
  7. เพาเวอร์เซต ของ A คือเซตที่ประกอบด้วยสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนโดย P(A)

การดำเนินการของเซต[แก้]

  1. ยูเนียน ของ A และ B คือเซตที่เกิดจากการรวบรวมสมาชิกของ A และ B เข้าไว้ด้วยกัน
  2. อินเตอร์เซกชัน ของ A และ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันของ A และ B
  3. ผลต่าง A – B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของ A ที่ไม่ใช่สมาชิกของ B
  4. คอมพลีเมนต์ ของ A เขียนแทนด้วย A' คือสับเซตของ U ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่ไม่อยู่ ใน A

การนับจำนวนสมาชิกของเซต[แก้]

  1. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เราใช้สัญลักษณ์ n(A) หรือ |A| แทนจำนวนสมาชิกของ A

สูตรการนับจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด[แก้]

สมบัติของเซตที่ควรทราบ[แก้]

ให้ A, B, C เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U สมบัติต่อไปนี้จะเป็นจริง

  1. กฎการสลับที่
  2. กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
  3. กฎการแจกแจง
  4. กฎการเอกลักษณ์

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออก[แก้]

หลักการเพิ่มเข้าและตัดออกเป็นหลักการนับที่สามารถใช้หาจำนวนสมาชิกของยูเนียนของเซตตั้งแต่สองเซตขึ้นไปได้ หากรู้จำนวนสมาชิกในอินเตอร์เซคชั่น สำหรับเซตสองเซต จะได้สมการเป็น

และสำหรับรูปแบบทั่วไปของเซตมากกว่าสามตัวจะได้ว่า

อ้างอิง[แก้]

  1. พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ. 2554
  2. Goldberg, Samuel (1986). Probability : an introduction. New York: Dover Publications. p. 2. ISBN 0-486-65252-1. OCLC 14356858.
  3. Goldrei 1996, p. 3.
  4. 4.0 4.1 Halmos 1960, p. 1.
  5. Bagaria, Joan (2021), Zalta, Edward N. (บ.ก.), "Set Theory", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 ed.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, สืบค้นเมื่อ 2022-01-03
  6. 6.0 6.1 Ferreirós Domínguez, José. (2007). Labyrinth of thought : a history of set theory and its role in modern mathematics (2nd rev. ed.). Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8350-3. OCLC 302342325.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (ลิงก์)
  7. Steve Russ (9 December 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.
  8. William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. p. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
  9. Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 April 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. p. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
  10. Quoted in Dauben, p. 170.
  11. Halmos 1960, p. 2.
  12. Halmos 1960, p. 1.

บรรณานุกรม[แก้]