รูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยม
รูปสี่เหลี่ยมต่าง ๆ หกชนิด
ขอบและจุดยอด	4
สัญลักษณ์ชเลฟลี	{4} (สำหรับจัตุรัส)
พื้นที่	คำนวณได้หลายวิธี; ดูด้านล่าง
มุมภายใน (องศา)	90° (สำหรับจัตุรัส)

ในเรขาคณิตแบบยูคลิด รูปสี่เหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน (หรือขอบ) และมุมสี่มุม (หรือจุดยอด)

รูปสี่เหลี่ยมมีทั้งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่าย (ไม่มีด้านที่ตัดกันเอง) และรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน (มีด้านที่ตัดกันเอง หรือเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมไขว้) รูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน (convex) หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า (concave) อย่างใดอย่างหนึ่ง

มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายรวมกันได้ 360 องศา ส่วนรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน เนื่องจากมุมภายในที่ด้านตรงข้ามเป็นมุมกลับ ทำให้รวมกันได้ 720 องศา

รูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถปูเต็มปริภูมิโดยการหมุนรอบจุดกึ่งกลางที่ด้านของมัน

การจำแนกชั้น

การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยม รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า

การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ตามแผนภาพทางขวามือ รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า คำว่า trapezium ในภาพเป็นชื่อแบบบริเตน (ชื่อแบบอเมริกันคือ trapezoid) คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั่วไป และ kite นอกจากจะหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวแล้ว ยังหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศรด้วย

รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่ เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามมีความยาวเท่ากัน หรือมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย
• รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกันและมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากันและมุมทั้งสี่ไม่เป็นมุมฉาก มีความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
• รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก นั่นคือมุมเท่ากันทุกมุม เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปสี่เหลี่ยมปรกติ หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากันและมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกัน และเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน และด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมจะถือว่าเป็นจัตุรัสก็ต่อเมื่อถูกจัดว่าเป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
• รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน นั่นคือไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ

• รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ เป็นนัยว่าถ้าลากเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวออกเป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายสองรูป จะได้ว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามเส้นทแยงมุมมีขนาดเท่ากัน และเส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน (สมบัติเหล่านี้อาจหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร ในบริบทของเทสเซลเลชัน แต่ในแนวคิดทั่วไปหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมนูนอย่างเดียว)
• รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน หมายรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว และรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร
• รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่
• รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัยนี่รรร้อเดะะี้ร้ดพำหกเ่ขนาดเท่ากัน เป็นนัยว่าด้านอื่นอีกสองด้านยาวเท่ากัน และเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน คำนิยามอื่นคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีแกนสมมาตรแบ่งครึ่งด้านคู่ขนานหนึ่งคู่
• รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนรูปวงกลมแนบนอก รูปสี่เหลี่ยมจะเป็นวงกลมล้อมก็ต่อเมื่อมุมตรงข้ามรวมกันได้ 180 องศา
• รูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่ด้านทั้งสี่สัมผัสกับรูปวงกลมแนบใน
• รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส
• รูปสี่เหลี่ยมด้านไม่ขนาน หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือรูปสี่เหลี่ยมไม่ปรกติ คือรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มีด้านใดขนานกันเลย แต่บางกรณีบางด้านและบางมุมอาจมีขนาดเท่ากันก็ได้

รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ

• รูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร คือรูปสี่เหลี่ยมเว้าซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ สมบัติเหมือนรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว แต่มีมุมภายในมุมหนึ่งเป็นมุมกลับ
• รูปสี่เหลี่ยมไขว้ หรือรูปสี่เหลี่ยมผีเสื้อ หรือรูปสี่เหลี่ยมหูกระต่าย คือรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อนซึ่งมีด้านที่ตัดกันเอง
• รูปสี่เหลี่ยมเบ้ คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดไม่อยู่บนระนาบสองมิติ สูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างหน้าบนขอบ และมุมระหว่างขอบที่อยู่ติดกัน ได้รับทอดมาจากการศึกษาสมบัติของโมเลกุลเช่นไซโคลบิวเทน ซึ่งมีวงแหวนที่ประกอบด้วยอะตอมสี่ตัวร่นเข้าหากัน

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

$Area = \frac{1}{2} |{AC}\times{BD}|$

ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น $(x_1, y_1)$ และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น $(x_2, y_2)$ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ

$Area = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น

$Area = \frac{1}{2} pq \cdot \sin \theta$

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น $\tfrac{1}{2} pq$ เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°

สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้

$\begin{align} Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{2} abcd \; [ 1 + \cos (\gamma + \lambda) ]} \\ &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \left[ \cos^2 \left( \tfrac{\gamma + \lambda}{2} \right) \right]} \\ s &= \frac{1}{2} (a+b+c+d) \\ \end{align}$

เมื่อ a, b, c, d คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°

อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)

$Area = \frac{1}{2}bc \cdot \sin \gamma + \frac{1}{2}ad \cdot \sin \lambda$

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น

$Area = \frac{1}{2}(bc+ad)\sin \gamma$

และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง $ab \cdot \sin \gamma$

สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม

$\begin{align} Area &= \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)} \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{4p^{2}q^{2}- \left( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \right) ^{2}} \\ \end{align}$

เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ $pq=ac+bd$

นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90°

$Area = \frac{|\tan \theta|}{4} \cdot \left| a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \right|$

ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น

$Area = \frac{|\tan \theta|}{2} \cdot \left| a^2 - b^2 \right|$

สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ

• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมไขว้หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า ไม่ตัดกันภายในรูปสี่เหลี่ยม
• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งมุมภายในพอดี
• กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ F กับ G เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน DA กับ BC ตามลำดับซึ่งทำให้ FEG ขนานกับด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; จะได้ว่า FG คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ AB กับ DC นั่นคือ

  $\frac{1}{FG}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{AB}+ \frac{1}{DC} \right)$

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
• รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า $pq = ac + bd$
• รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ มีด้าน a=AB, b=BC, c=CD, d=DA และมีเส้นทแยงมุม p=AC, q=BD จะมีสมบัติว่า

  $\frac {p}{q}= \frac{ad+cb}{ab+cd}$

  $p^{2}= \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$

  $q^{2}= \frac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}$

• รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป s ; รัศมีของรูปวงกลมแนบนอกคำนวณได้จาก

  $\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับโดยที่ d=b, c=a และมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า

  $p^{2}+q^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

• กำหนดให้ P เป็นจุดใด ๆ ที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า

  $(AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}$

• เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่เสมอ
• รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉากที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า $a^{2}+c^{2} = b^{2}+d^{2}$
• ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเลขคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ
• ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเรขาคณิตและมีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ

สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ

• ความยาวของเส้นทแยงมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน a และ b ที่อยู่ติดกันและทำมุม θ คือ $\sqrt{ a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta }$ ซึ่งกลายมาจากกฎของโคไซน์
• เมื่อเชื่อมจุดกึ่งกลางบนแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เข้าด้วยกัน จะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก และเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในก็ยาวเท่ากับผลบวกของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก
• สมมติให้รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่ง มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบอยู่บนด้านทั้งสี่ ซึ่งมีขนาดเท่ากับแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ตรงข้าม จะยาวเท่ากันและตั้งฉากซึ่งกันและกัน
• ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ และส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม รวมทั้งสามเส้นจะตัดกันที่จุดเดียว และแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงนั้น ๆ ด้วย
• ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่
• เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เมื่อประกอบกันจะทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Quadrilateral" จากแมธเวิลด์.
• Compendium Geometry Analytic Geometry of Quadrilaterals
• Quadrilaterals Formed by Perpendicular Bisectors, Projective Collinearity and Interactive Classification of Quadrilaterals from cut-the-knot
• Definitions and examples of quadrilaterals and Definition and properties of tetragons from Mathopenref
• Venn Diagram of Quadrilaterals
• An extended classification of quadrilaterals at Dynamic Math Learning Homepage
• The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals by Michael de Villiers