กฎของโคไซน์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

กฎของโคไซน์ (อังกฤษ: Law of Cosines)

Triangle.Labels.svg

c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos \gamma

การพิสูจน์[แก้]

ลากเส้นตรง AD\, ให้ตั้งฉากกับ BC\,

สมมติให้ DC\, ยาว x\, หน่วย


จาก \cos\gamma = \frac{x}{b} ดังนั้น x=b\,\cos\gamma

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

 c^2-(a-x)^2 = b^2- x^2\,

c^2-a^2+2a x-x^2 = b^2-x^2\,

 c^2=a^2+b^2-2ax\,

เนื่องจาก x=b\,\cos\gamma

\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos\gamma

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

a^2=b^2+c^2-2bc\,\cos\alpha

b^2=a^2+c^2-2ac\,\cos\beta

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน