กฎของโคไซน์

กฎของโคไซน์ (อังกฤษ: Law of Cosines)

$c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos \gamma$

การพิสูจน์

ลากเส้นตรง $AD\,$ ให้ตั้งฉากกับ $BC\,$

สมมติให้ $DC\,$ ยาว $x\,$ หน่วย

จาก $\cos\gamma = \frac{x}{b}$ ดังนั้น $x=b\,\cos\gamma$

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

$c^2-(a-x)^2 = b^2- x^2\,$

$c^2-a^2+2a x-x^2 = b^2-x^2\,$

$c^2=a^2+b^2-2ax\,$

$\therefore c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos\gamma$

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

$a^2=b^2+c^2-2bc\,\cos\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\,\cos\beta$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน