การก้าวหน้าเรขาคณิต

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric progression) หรือ ลำดับเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนทั่วไป (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนทั่วไปเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีอัตราส่วนทั่วไป r ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

a_n = a_1r^{n-1}\,\!

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

a_n = a_mr^{n-m}\,\!

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

a_n = ra_{n-1}\,\!

สมบัติเบื้องต้น[แก้]

การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนทั่วไปอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นการก้าวหน้าเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนทั่วไปเท่ากับ −3

พฤติกรรมของจำนวนในการก้าวหน้าเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนทั่วไป

  • ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
  • ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
  • ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะเพิ่มแบบชี้กำลัง (exponential growth) ไปยังอนันต์
  • ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
  • ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะลดแบบชี้กำลัง (exponential decay) ไปยังศูนย์
  • ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
  • ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่างๆ จะเพิ่มแบบชี้กำลังไปยังอนันต์

จะเห็นว่าการก้าวหน้าเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของการก้าวหน้าเลขคณิต แต่การก้าวหน้าทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเลขคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็จะได้การก้าวหน้าเลขคณิต

ผลรวม[แก้]

ดูบทความหลักที่: อนุกรมเรขาคณิต

ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต (อังกฤษ: geometric series)

\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n\,\!

เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย (1-r) แล้วเราจะได้

(1-r) \sum_{k=0}^{n} ar^k = a-ar^{n+1}\,\!

ซึ่งพจน์อื่นๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1

\sum_{k=0}^{n} ar^k = \frac{a(r^{n+1}-1)}{r-1}

ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ

\sum_{k=m}^n ar^k=\frac{a(r^{n+1}-r^m)}{r-1}

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย (1-r^2)

(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = a-ar^{2n+2}

จะได้สูตร

\sum_{k=0}^{n} ar^{2k} = \frac{a(1-r^{2n+2})}{1-r^2}

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่

(1-r^2) \sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = ar-ar^{2n+3}

จะได้สูตร

\sum_{k=0}^{n} ar^{2k+1} = \frac{ar(1-r^{2n+2})}{1-r^2}

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด[แก้]

อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนทั่วไปมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง (|r| < 1) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \lim_{n\to\infty}\frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}}

ซึ่ง r^k จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ |r| < 1 ดังนั้น

\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร

\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร

\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ |r| < 1 เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

ผลคูณ[แก้]

ผลคูณของการก้าวหน้าเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้

\prod_{i=0}^{n} ar^i = \left( \sqrt{a_1 \cdot a_{n+1}}\right)^{n+1} เมื่อ a, r > 0
พิสูจน์

กำหนดให้ผลคูณของการก้าวหน้าเลขคณิตแทนด้วย P

P=a \cdot ar \cdot ar^2 \cdots ar^{n-1} \cdot ar^{n}

รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้

P=a^{n+1} r^{1+2+3+ \cdots +(n-1)+n}

นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ r

P=a^{n+1} r^{\frac{n(n+1)}{2}}
P=(ar^{\frac{n}{2}})^{n+1}

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

P^2=(a^2 r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^n)^{n+1}

และในที่สุดก็จะได้

P^2=(a_1 \cdot a_{n+1})^{n+1}
P=(a_1 \cdot a_{n+1})^{\frac{n+1}{2}}

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]