โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟ

โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟ (อังกฤษ: Hagenbach-Bischoff quota) เรียกอีกอย่างว่า โควตานิวแลนด์-บริตตัน (Newland-Britton quota) หรือโควตาดรูปแบบตรงตัว (exact Droop quota) ซึ่งต่างกับโควตาดรูปแบบปกติซึ่งจะมีการปัดเศษ โดยโควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟเป็นสูตรคำนวณที่ใช้ในระบบการลงคะแนนบางระบบที่มีพื้นฐานมาจากระบบสัดส่วน โดยใช้ในการเลือกตั้งแบบบัญชีรายชื่อที่ใช้การคำนวณวิธีเหลือเศษสูงสุด เช่นเดียวกับอีกวิธีหนึ่งซึ่งเป็นแบบย่อยของวิธีโดนต์ เรียกว่า ระบบฮาเกินบัค-บิชช็อฟ (Hagenbach-Bischoff system) โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟได้รับการตั้งชื่อตามเอดูอาร์ท ฮาเกินบัค-บิชช็อฟ (ค.ศ. 1833–1910) ผู้คิดค้นซึ่งเป็นศาสตราจารย์ด้านฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ชาวสวิส

สูตรคำนวณ

โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟมีสูตรคำนวณดังนี้

${\frac {\text{total votes}}{{\text{total seats}}+1}}$

โดยที่:

• Total votes = จำนวนคะแนนเสียง (คะแนนดี) ทั้งหมดที่ได้ในการเลือกตั้ง
• Total seats = จำนวนคะแนนที่นั่งทั้งหมดที่เลือกตั้ง

ตัวอย่างการใช้งานในระบบถ่ายโอนคะแนนเสียง

การใช้โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟในการคำนวณที่นั่งจากการเลือกตั้งแบบถ่ายโอนคะแนนเสียง (STV) โดยในตัวอย่างให้สมมติว่ามีที่นั่งทั้งหมด 2 ที่นั่ง โดยมีผู้สมัครรับเลือกตั้งจำนวน 3 คน ได้แก่ แอนเดรีย คาร์เตอร์ และแบรด โดยจำนวนผู้ลงคะแนน 100 คน ออกเสียงลงคะแนนดังนี้

ผู้ลงคะแนน 45 คน แอนเดรีย คาร์เตอร์

ผู้ลงคะแนน 25 คน คาร์เตอร์

ผู้ลงคะแนน 30 คน แบรด

เนื่องจากมีคะแนนเสียงทั้งหมด 100 คะแนนเต็ม โดยมีผู้แทน 2 ที่นั่ง จึงใส่สูตรคำนวณได้ดังนี้

${\frac {100}{2+1}}=33+{\frac {1}{3}}$

เมื่อเริ่มการนับคะแนนความชอบในลำดับแรกของแต่ละผู้สมัครจะได้คะแนนดังนี้

• แอนเดรีย: 45
• คาร์เตอร์: 25
• แบรด: 30

เนื่องจากแอนเดรียได้คะแนนรวมมากกว่า 33⅓ คะแนน ดังนั้นจึงผ่านโควตาและได้รับเลือกตั้งไปคนแรก โดยเหลือคะแนนส่วนเกินจากโควตาจำนวน 11⅔ คะแนน จึงสามารถถ่ายโอนไปให้กับคาร์เตอร์ จึงทำให้การนับคะแนนรอบสองได้ผลดังนี้

• คาร์เตอร์: 36⅔
• แบรด: 30

ในรอบที่สองคาร์เตอร์ได้รับคะแนนเกินโควตาจึงได้รับเลือกเป็นลำดับถัดไป ดังนั้นผู้ชนะการเลือกตั้งคือ แอนเดรีย และแบรด

ข้อดีเมื่อเปรียบเทียบกับโควตาดรูป

ในการเลือกตั้งแบบถ่ายโอนคะแนนเสียงซึ่งใช้โควตาดรูปอาจมีผลทำให้กลุ่มผู้สมัครที่รับคะแนนเสียงข้างมากจากผู้ลงคะแนนได้ที่นั่งเป็นส่วนน้อยได้ ผลลัพธ์เช่นนี้จะมีโอกาสเกิดมากหากใช้การคำนวณตามโควตาแฮร์ โดยการใช้โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟจะกำจัดปัญหานี้ได้ไปทั้งหมด ดังตัวอย่างต่อไปนี้

สถานการณ์สมมติ

สมมติให้การเลือกตั้งหนึ่งมีที่นั่งทั้งหมด 7 ที่นั่ง โดยมีผู้สมัครจำนวน 8 คน โดยแบ่งเป็นสองกลุ่มพรรคการเมือง โดย แอนเดรีย คาร์เตอร์ แบรด และดีไลลา เป็นสมาชิกของพรรคอัลฟา ในขณะที่สกอตต์ เจนนิเฟอร์ แม็ตต์ และซูซาน เป็นสมาชิกของพรรคบีตา โดยมีผู้ลงคะแนนทั้งหมด 104 คน จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

พรรคอัลฟา				พรรคบีตา
ผู้ลงคะแนน 14 คน แอนเดรีย คาร์เตอร์ แบรด ดีไลลา	ผู้ลงคะแนน 14 คน คาร์เตอร์ แอนเดรีย แบรด ดีไลลา	ผู้ลงคะแนน 14 คน แบรด แอนเดรีย คาร์เตอร์ ดีไลลา	ผู้ลงคะแนน 11 คน ดีไลลา แอนเดรีย คาร์เตอร์ แบรด	ผู้ลงคะแนน 13 คน สกอตต์ เจนนิเฟอร์ แม็ตต์ ซูซาน	ผู้ลงคะแนน 13 คน เจนนิเฟอร์ สกอตต์ แม็ตต์ ซูซาน	ผู้ลงคะแนน 13 คน แม็ตต์ สกอตต์ เจนนิเฟอร์ ซูซาน	ผู้ลงคะแนน 12 คน ซูซาน สกอตต์ เจนนิเฟอร์ แม็ตต์

จากตารางนั้นจะเห็นว่าผู้สนับสนุนพรรคอัลฟานั้นจัดลำดับผู้สมัครจากพรรคอัลฟาสูงกว่าผู้สมัครจากพรรคบีตา (ลำดับอีกสี่ลำดับหลังของผู้ลงคะแนนไม่ได้แสดงเนื่องจากไม่มีผลต่อการเลือกตั้ง) เช่นเดียวกันกับกลุ่มผู้สนับสนุนพรรคบีตาซึ่งจะจัดลำดับผู้สมัครจากพรรคบีตาก่อน โดยรวมแล้วพรรคอัลฟาจะได้รับคะแนน 53 คะแนนจากทั้งหมด 104 คะแนน พรรคอัลฟาจึงถือว่าได้คะแนนเสียงข้างมาก ในขณะที่พรรคบีตาเป็นเสียงข้างน้อย

จากผลการเลือกตั้งด้านบนสามารถนำมาคำนวณผ่านโควตาดรูปและโควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟ โดยจะเห็นได้ว่าโควตาดรูปนั้นถึงแม้จะได้คะแนนเสียงข้างมากจากผู้ลงคะแนน พรรคอัลฟาได้จำนวนที่น้อยกว่ากึ่งหนึ่ง ในขณะที่การคำนวณโดยใช้โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟ พรรคอัลฟาซึ่งได้คะแนนเสียงข้างมากนั้นได้ที่นั่งมากกว่าครึ่งหนึ่งด้วยเช่นกัน

ผลการจัดสรรที่นั่งโดยใช้โควตาดรูป

โควตาดรูปคำนวณได้ผลลัพธ์คือ 14 โดยเมื่อนับคะแนนจากลำดับแรกนั้น แอนเดรีย คาร์เตอร์ และแบรด (ทั้งหมดจากพรรคอัลฟา) ได้คะแนนเสียงถึงโควตาจึงได้รับการเลือกตั้ง อย่างไรก็ดีไม่มีรายใดเลยที่มีคะแนนเกินโควตา คะแนนส่วนที่เหลือของแต่ละผู้สมัครรายอื่นๆ เป็นดังนี้

• ดีไลลา (พรรคอัลฟา): 11
• สกอตต์ (พรรคบีตา): 13
• เจนนิเฟอร์ (พรรคบีตา): 13
• แม็ตต์ (พรรคบีตา): 13
• ซูซาน (พรรคบีตา): 12

เนื่องจากไม่มีผู้สมัครรายใดได้คะแนนถึงโควตา จึงทำให้ดีไลลาซึ่งได้คะแนนน้อยที่สุดตกรอบไป และเนื่องจากเหลือเพียง 4 ที่นั่งที่จะต้องหาผู้สมัครที่ชนะได้เพียง 4 คนเท่านั้น ดังนั้นทั้งหมดจึงได้รับเลือกไปโดยปริยาย ผู้สมัครที่ชนะการเลือกตั้งครั้งนี้ได้แก่ แอนเดรีย คาร์เตอร์ และแบรด (จากพรรคอัลฟา) และสกอตต์ เจนนิเฟอร์ แม็ตต์ และซูซาน (จากพรรคบีตา)

ผลการจัดสรรที่นั่งโดยใช้โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟ

โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟคำนวณได้ผลลัพธ์คือ 13 โดยเมื่อนับคะแนนจากลำดับแรกนั้น แอนเดรีย คาร์เตอร์ และแบรด (จากพรรคอัลฟา) และสกอตต์ เจนนิเฟอร์ และแม็ตต์ (จากพรรคบีตา) ได้คะแนนถึงโควตาจึงทำให้ทุกคนได้รับเลือกตั้ง อย่างก็ตามในครั้งนี้ผู้สมัครทั้งสามรายจากพรรคอัลฟามีคะแนนเหลือจากการนับคะแนนในรอบแรกรายละ 1 คะแนน โดยคะแนนที่เกินมานี้จะถูกโอนไปให้ดีไลลา ดังนั้นคะแนนรวมในรอบถัดไปของผู้สมัครรายอื่นๆ เป็นดังนี้

• ดีไลลา (พรรคอัลฟา): 14
• ซูซาน (พรรคบีตา): 12

เนื่องจากดีไลลาได้คะแนนเกินโควตาจึงได้รับเลือกเป็นคนสุดท้าย ผู้สมัครที่ชนะการเลือกตั้งครั้งนี้ได้แก่ แอนเดรีย คาร์เตอร์ แบรด และ ดีไลลา (ทั้งหมดจากพรรคอัลฟา) และ สกอตต์ เจนนิเฟอร์ และแม็ตต์ (จากพรรคบีตา)

ข้อเสียของโควตาโควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟ

ในระบบลงคะแนนประเภทถ่ายโอนคะแนนเสียงที่ใช้โควตาขนาดใหญ่ (อาทิเช่น โควตาดรูป หรือโควตาแฮร์) กฎพื้นฐานคือผู้สมัครจะได้รับเลือกเมื่อคะแนนเสียงที่ได้รับมีจำนวนมากกว่าหรือเท่ากับโควตา หากใช้กฎนี้ในกับโควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟ จะมีผลทำให้มีผู้สมัครเป็นจำนวนมากกว่าที่นั่งที่มี ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือการเลือกตั้งที่ต้องการผู้ชนะเพียงคนเดียวแต่มีสองพรรคการเมืองที่ได้คะแนนเสียงจำนวนเท่ากัน สมมติว่าในการเลือกตั้งมีผู้สมัคร 3 คน เพื่อชิง 2 ที่นั่ง โดยมีคะแนนเสียงรวม 300 คะแนน

50 คะแนน แอนเดรีย แบรด

150 คะแนน แอนเดรีย คาร์เตอร์

75 คะแนน แบรด คาร์เตอร์

25 คะแนน คาร์เตอร์ แบรด

โควตาฮาเกินบัค-บิชช็อฟคำนวณได้ 300÷(2+1) = 100 ในรอบแรกแอนเดรียได้รับเลือกไปด้วย 200 คะแนน ในขณะที่แบรด 75 คะแนน และคาร์เตอร์ 25 คะแนน จึงทำให้คะแนนส่วนเกินของแอนเดรียจำนวน 100 คะแนนจะถ่ายโอนไปยังแบรด 25 คะแนน และคาร์เตอร์ 75 คะแนน ซึ่งจะทำให้ทั้งสองคนมีคะแนนเท่ากันที่คนละ 100 คะแนน ดังนั้นทั้งสามคนจึงได้คะแนนผ่านโควตาและควรจะได้รับเลือกทั้งหมดถึงแม้ว่าจะมีเพียงสองที่นั่งเท่านั้น

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้อย่างง่ายตามที่เสนอโดยเออร์วิน แมนน์ ใน ค.ศ. 1973 โดยปรับกฎเกณฑ์ให้เพียงแค่ผู้สมัครจะได้รับเลือกเมื่อจำนวนคะแนนเสียงนั้น เกิน จำนวนโควต้าอย่างเคร่งครัด หรืออีกหนึ่งวิธีเสนอโดย บี. แอล. มีก ให้แก้ผลลัพธ์เป็น n+1 โดยจะกำจัดผู้สมัครหนึ่งคนโดยวิธีสุ่ม ในขณะที่อีกวิธีหนึ่งคือการตัดสินจากผู้สมัครสองคนสุดท้ายในรอบรันออฟ