เศษส่วนต่อเนื่อง

ในคณิตศาสตร์ เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป

$x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}}$

เมื่อ $a_0$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ และเลข $a_i$ ตัวอื่นๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย

สัญลักษณ์

เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป

$x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}}$

ด้วยสัญลักษณ์

$x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;$

หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์

$x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3}$

หรือ

$x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +}$

(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ

$x = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle \;$

โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้

นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ (infinite continued fraction]] เป็นลิมิต

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}].$

โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม $a_1$, $a_2$, $a_3$, ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง $r$ ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ $r$ แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก $r$ การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ $r$ เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ $r$

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245
$3\,$	$3.245 - 3\,$	$= 0.245\,$	$1 / 0.245\,$	$= 4.082\,$
$4\,$	$4.082 - 4\,$	$= 0.082\,$	$1 / 0.082\,$	$= 12.250\,$
$12\,$	$12.250 - 12\,$	$= 0.250\,$	$1 / 0.250\,$	$= 4.000\,$
$4\,$	$4.000 - 4\,$	$= 0.000\,$	หยุด
เศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245 คือ [3; 4, 12, 4]
$3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}}$

นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย

ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด

สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ

$[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1]. \;$

ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น

$[2; 3, 1] = [2; 4] = 9/4 = 2.25. \;$

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น

การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า คอนเวอร์เจนท์ ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ

คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง $[a_0;a_1,a_2,\ldots]$ (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่

$\frac{a_0}{1},\qquad \frac{a_0a_1+1}{a_1},\qquad \frac{ a_2(a_0a_1+1) +a_0}{a_2a_1+1},\qquad \frac{a_3(a_2(a_0a_1+1) +a_0) +(a_0a_1+1) }{a_3(a_2a_1+1) +a_1}.$

สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ $a_3$) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ $h_0,h_1, h2,\ldots$ และส่วนคือ $k_0,k_1, k_2,\ldots$ เราจะได้ว่า $h_0 = a_0$, $k_0 = 1$, $h_1 = a_0 a_1 + 1$, และ $k_1 = a_1$ เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่นๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้

$h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2}.$

ดังนั้น

$\frac{h_n}{k_n}= \frac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}}.$

ทฤษฎีบทที่สำคัญ

ทฤษฎีบท 1

สำหรับจำนวนจริงบวก $x$ ใดๆ

$\left[a_0, a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]= \frac{x h_{n-1}+h_{n-2}} {x k_{n-1}+k_{n-2}}.$

ทฤษฎีบท 2

คอนเวอร์เจนท์ของ [a₀, a₁, a₂, ...] อยู่ในรูป

$\left[a_0, a_1, \,\dots, a_n\right]= \frac{h_n} {k_n}.$

ทฤษฎีบท 3

ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ $n$ ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ $h_n/k_n$ แล้ว

$k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1) ^n.$

บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ $h_n$ และ $k_n$ จะต้องหาร $k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n$ ลงตัว)

บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1

$\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|= \left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|= \frac{1}{k_nk_{n-1}}.$

บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้

$a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1) ^{n}}{k_{n+1}k_{n}}.$

บทเสริม 4: แมทริกซ์

$\begin{bmatrix} h_n & h_{n-1} \\ k_n & k_{n-1} \end{bmatrix}$

มีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ $S^*L(2,\mathbb{Z})$

ทฤษฎีบท 4

คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่งๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ $x$ เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง $[a_0; a_1, a_2, \ldots]$ และให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ $r > s$

$\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_r]-x\right|> \left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_s]-x\right|$

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน $x$

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า $x$

ทฤษฎีบท 5

$\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n) }< \left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|< \frac{1}{k_nk_{n+1}}.$

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใดๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน

แหล่งข้อมูลอื่น

• โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง (อังกฤษ)
• เศษส่วนต่อเนื่องบนต้นไม้ สเติร์น-โบรคอท (อังกฤษ)
• cfc - โปรแกรมคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง สำหรับ POSIX และ Cygwin (อังกฤษ)
• เศษส่วนต่อเนื่องและทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (อังกฤษ)
• เศษส่วนต่อเนื่องพื้นฐาน (อังกฤษ)

อ้างอิง

• A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
• Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
• Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992.