เศษส่วนต่อเนื่อง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในคณิตศาสตร์ เศษส่วนต่อเนื่อง (continued fraction) คือนิพจน์ที่อยู่ในรูป

x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}}

เมื่อ a_0 เป็นจำนวนเต็มใดๆ และเลข a_i ตัวอื่นๆ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าเศษของเศษส่วนต่อเนื่องแต่ละชั้นสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่หนึ่งได้ เราจะเรียกนิพจน์เหล่านั้นว่าเศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป (generalized continued fraction) เพื่อป้องกันความสับสน เราอาจเรียกเศษส่วนต่อเนื่องธรรมดา (ที่ "ไม่ใช่" เศษส่วนต่อเนื่องรูปทั่วไป) ว่า เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่าย

สัญลักษณ์[แก้]

เราสามารถเขียนย่อเศษส่วนต่อเนื่องในรูป

x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3}}}

ด้วยสัญลักษณ์

x = [a_0; a_1, a_2, a_3] \;

หรือด้วยสัญลักษณ์ของพริงส์ไฮม์

x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3}

หรือ

x = a_0 + {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +}

(สัญลักษณ์ข้างบนนี้ไม่ค่อยเป็นที่นิยมใช้เท่าใดนัก) หรือ

x = \left \langle a_0; a_1, a_2, a_3 \right \rangle \;

โดยอาจใช้จุลภาคแทนเซมิโคลอนก็ได้

นอกจากนี้เรายังสามารถนิยม เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ (infinite continued fraction]] เป็นลิมิต

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \,\ldots, a_{n}].

โดยลิมิตนี้สามารถหาค่าได้เสมอไม่ว่าจำนวนเต็ม a_1, a_2, a_3, ... จะมีค่าเท่าไหร่ก็ตาม

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง[แก้]

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของจำนวนจริง r ทำได้ดังต่อไปนี้ เริ่มต้นจากเขียนภาคจำนวนเต็มของ r แล้วลบภาคจำนวนเต็มออกจาก r การหาเศษส่วนต่อเนื่องจะเสร็จสิ้นเมื่อผลลัพธ์ที่ได้เป็นศูนย์ หากไม่เป็นศูนย์ ให้หาส่วนกลับของผลลัพธ์แล้วทำซ้ำจนกระทั่งผลลัพธ์เป็นศูนย์ (อย่างไรก็ดี ขั้นตอนวิธีนี้จะเสร็จสิ้นก็ต่อเมื่อ r เป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น) เสร็จแล้วให้นำภาคจำนวนเต็มทั้งหมดมาเขียนเรียงกันจากตัวแรกถึงตัวสุดท้าย ก็จะได้เศษส่วนต่อเนื่องของ r

การหาเศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245
3\, 3.245 - 3\, = 0.245\, 1 / 0.245\, = 4.082\,
4\, 4.082 - 4\, = 0.082\, 1 / 0.082\, = 12.250\,
12\, 12.250 - 12\, = 0.250\, 1 / 0.250\, = 4.000\,
4\, 4.000 - 4\, = 0.000\, หยุด
เศษส่วนต่อเนื่องของ 3.245 คือ [3; 4, 12, 4]
3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}}

นอกจากนี้ 3.245 ยังสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่อง [3; 4, 12, 3, 1] อีกด้วย

ขั้นตอนวิธีข้างต้นนี้สามารถใช้ได้กับจำนวนจริงทุกจำนวน อย่างไรก็ดี เวลานำไปเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ พึงระวังว่าการใช้จำนวนทศนิยมเลื่อน (floating point number) แทนจำนวนเต็มจะทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องได้ แต่เนื่องจำนวนทศนิยมเลื่อนทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ เราจึงสามารถดัดแปลงขั้นตอนวิธีแบบยูคลิดมาใช้หาเศษส่วนต่อเนื่องได้

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัด[แก้]

สำหรับเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ

[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]=[a_{0}; a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots, a_{n} + 1]. \;

ดังนั้น เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดใดๆ จะมีเศษส่วนต่อเนื่องจำกัดอีกตัวหนึ่งที่มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากัน ตัวอย่างเช่น

 [2; 3, 1] = [2; 4] = 9/4 = 2.25. \;

เศษส่วนต่อเนื่องจำกัดทุกตัวเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนด้วยเศษส่วนต่อเนื่องได้สองแบบเท่านั้น ในแบบหนึ่ง เลขตัวสุดท้ายคือ 1 ในอีกแบบหนึ่งเลขตัวสุดท้ายจะมีค่ามากกว่า 1 เว้นแต่ว่าจำนวนตรรกยะที่กล่าวถึงคือ 1

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์[แก้]

เศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ทุกตัวเป็นจำนวนอตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนต่อเนื่องเพียงหนึ่งแบบเท่านั้น

การเขียนแทนจำนวนตรรกยะด้วยเศษส่วนต่อเนื่องมีประโยชน์มาก เนื่องจากส่วนต้นของเศษส่วนต่อเนื่องจะให้จำนวนตรรกยะที่เป็นค่าประมาณที่ดีของจำนวนอตรรกยะนั้น จำนวนตรรกยะเหล่านี้ เรียกว่า คอนเวอร์เจนท์ ของเศษส่วนต่อเนื่อง คอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 2, 4, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิม และคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 1, 3, 5, ... จะมีค่าน้อยกว่าจำนวนอตรรกยะเดิมเสมอ

คอนเวอร์เจนท์สี่ตัวแรกของเศษส่วนต่อเนื่อง [a_0;a_1,a_2,\ldots] (ตัวที่ 0 ถึงตัวที่ 3) ได้แก่


\frac{a_0}{1},\qquad
\frac{a_0a_1+1}{a_1},\qquad
\frac{    a_2(a_0a_1+1) +a_0}{a_2a_1+1},\qquad
\frac{a_3(a_2(a_0a_1+1) +a_0) +(a_0a_1+1) }{a_3(a_2a_1+1) +a_1}.

สังเกตว่า เศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามเกิดจากการคูณเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สองด้วยภาคจำนวนเต็ม (จากอัลกอริทึมข้างบน ในที่นี้คือ a_3) ตัวที่สาม แล้วบวกด้วยเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สอง ส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่สามก็สร้างขึ้นในทำนองเดียวกัน

หากเศษของคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ 0, 1, 2, ... คือ h_0,h_1, h2,\ldots และส่วนคือ k_0,k_1, k_2,\ldots เราจะได้ว่า h_0 = a_0, k_0 = 1, h_1 = a_0 a_1 + 1, และ k_1 = a_1 เศษและส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวอื่นๆ สามารถหาได้โดยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดต่อไปนี้


h_n=a_nh_{n-1}+h_{n-2},\qquad
k_n=a_nk_{n-1}+k_{n-2}.

ดังนั้น


\frac{h_n}{k_n}=
\frac{a_nh_{n-1}+h_{n-2}}{a_nk_{n-1}+k_{n-2}}.

ทฤษฎีบทที่สำคัญ[แก้]

ทฤษฎีบท 1[แก้]

สำหรับจำนวนจริงบวก x ใดๆ


\left[a_0, a_1, \,\dots, a_{n-1}, x \right]=
\frac{x h_{n-1}+h_{n-2}}
     {x k_{n-1}+k_{n-2}}.

ทฤษฎีบท 2[แก้]

คอนเวอร์เจนท์ของ [a0, a1, a2, ...] อยู่ในรูป


\left[a_0, a_1, \,\dots, a_n\right]=
\frac{h_n}
     {k_n}.

ทฤษฎีบท 3[แก้]

ถ้าคอนเวอร์เจนท์ตัวที่ n ของเศษส่วนต่อเนื่องตัวหนึ่งคือ h_n/k_n แล้ว


k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n=(-1) ^n.

บทเสริมที่ 1: คอนเวอร์เจนท์ทุกตัวเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (เนื่องจากตัวประกอบร่วมของ h_n และ k_n จะต้องหาร k_nh_{n-1}-k_{n-1}h_n ลงตัว)

บทเสริม 2: ผลต่างของคอนเวอร์เจนท์สองตัวที่ติดกันเป็นเศษส่วนที่ค่าสัมบูรณ์ของเศษคือ 1


\left|\frac{h_n}{k_n}-\frac{h_{n-1}}{k_{n-1}} \right|=
\left|\frac{h_nk_{n-1}-k_nh_{n-1}}{k_nk_{n-1}}\right|=
\frac{1}{k_nk_{n-1}}.

บทเสริม 3: ลำดับของคอนเวอร์เจนท์สมมูลกับอนุกรมต่อไปนี้


a_0 + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1) ^{n}}{k_{n+1}k_{n}}.

บทเสริม 4: แมทริกซ์

\begin{bmatrix}
h_n & h_{n-1} \\
k_n & k_{n-1}
\end{bmatrix}

มีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ 1 หรือ -1 ดังนั้นจึงเป็นสมาชิกของกรุปของแมทริกซ์ยูนิมอดูลาร์ S^*L(2,\mathbb{Z})

ทฤษฎีบท 4[แก้]

คอนเวอร์เจนท์ตัวหนึ่งๆ จะมีค่าใกล้กลับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องมากกว่าคอนเวอร์เจนท์ที่มาก่อนมันเสมอ โดยเราสามารถเขียนข้อความนี้เป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ดังต่อไปนี้ ให้ x เป็นค่าของเศษส่วนต่อเนื่อง [a_0; a_1, a_2, \ldots] และให้ r และ s เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆ โดยที่ r > s


\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_r]-x\right|>
\left|[a_0; a_1, a_2, \ldots a_s]-x\right|

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคู่จะมีค่าเพิ่มขึ้นเสมอ แต่ไม่มีทางเกิน x

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ตัวที่มีหมายเลขเป็นเลขคี่จะมีค่าลดลงเสมอ แต่ไม่มีทางต่ำกว่า x

ทฤษฎีบท 5[แก้]


\frac{1}{k_n(k_{n+1}+k_n) }<
\left|x-\frac{h_n}{k_n}\right|<
\frac{1}{k_nk_{n+1}}.

บทเสริม 1: คอนเวอร์เจนท์ใดๆ จะมีค่าใกล้กับค่าของเศษส่วนต่อเนื่องกว่าจำนวนตรรกยะใดๆ ที่มีส่วนไม่เกินส่วนของคอนเวอร์เจนท์ตัวนั้น

บทเสริม 2: คอนเวอร์เจนท์ที่นำหน้าภาคจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่จะเป็นค่าประมาณที่ดีของค่าของเศษส่วนเชิงซ้อน

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

อ้างอิง[แก้]

  • A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935, English translation University of Chicago Press, 1961 ISBN 0-486-69630-8
  • Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, NY 1950.
  • Andrew M. Rockett and Peter Szusz, Continued Fractions, World Scientific Press, 1992.