ฟังก์ชันซีตาของรีมัน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ฟังก์ชันซีตาของรีมันสำหรับจำนวนจริง s > 1

ในทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชันซีตาของรีมัน (อังกฤษ: Riemann zeta function) เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย

ซึ่งตั้งตามชื่อของแบร์นฮาร์ท รีมัน นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ฟังก์ชันนี้มีความสำคัญในด้านทฤษฎีจำนวนเนื่องจากว่ามันสามารถบ่งบอกถึงการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะได้ และยังสามารถประยุกต์ใช้ในทางฟิสิกส์ ความน่าจะเป็น และสถิติได้

สูตรผลคูณของอ็อยเลอร์[แก้]

ในปี ค.ศ. 1737 อ็อยเลอร์ค้นพบความเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันซีตาของรีมันและจำนวนเฉพาะ ซึ่งพิสูจน์เอกลักษณ์ดังกล่าว

การพิสูจน์เอกลักษณ์นี้ ใช้เพียงสูตรสำหรับอนุกรมเรขาคณิต และ ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตเท่านั้น เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิกเมื่อ s = 1 , เป็นอนุกรมลู่ออก

สูตรผลคูณของออยเลอร์สามารถใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นที่จำนวนเต็มใดๆ หารด้วยจำนวนเฉพาะ (หรือจำนวนเต็ม) p ลงตัว คือ 1/p ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ตัวเลขจำนวน s ตัวหารด้วยจำนวนเฉพาะนี้ลงตัวคือ 1/ps และความน่าจะเป็นที่จะหารไม่ลงตัว คือ 1 − 1/ps สำหรับจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความน่าจะเป็นจะได้มาจากผลคูณของลำดับของจำนวนเฉพาะทั้งหมด นั่นคือ

ดูเพิ่ม[แก้]