ฟังก์ชันแกมมา

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สำหรับความหมายอื่น ดูที่ แกมมา (แก้ความกำกวม)
กราฟของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนจริง

ฟังก์ชันแกมมา (อังกฤษ: Gamma function, G ตัวใหญ่) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่เป็นส่วนขยายของฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเชิงซ้อน หรือสามารถกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นการเติมเต็มฟังก์ชันแฟกทอเรียลของค่า n ที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งส่วนจริงเป็นค่าบวก ได้นิยามไว้ว่า

 \Gamma (z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t

นิยามดังกล่าวทำให้ผลลัพธ์สามารถขยายไปได้ถึงระนาบจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อส่วนจริงเป็นจำนวนเต็มลบ สำหรับกรณีถ้า z มีค่าเป็นจำนวนเต็มบวก จะได้

\Gamma (z) = (z-1) !\,

ซึ่งแสดงให้เห็นว่ามีความเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันแฟกทอเรียล

ฟังก์ชันแกมมาเป็นองค์ประกอบหนึ่งในฟังก์ชันที่เกี่ยวกับการกระจายและความน่าจะเป็นหลากหลายฟังก์ชัน นั่นหมายความว่าฟังก์ชันนี้นำไปใช้ได้ในเรื่องของความน่าจะเป็นและสถิติ

นิยาม[แก้]

นิยามหลัก[แก้]

ส่วนขยายของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน

สัญกรณ์ Γ (z) กำหนดขึ้นโดยอาเดรียง-มารี เลอช็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) ซึ่งใช้อักษรกรีก แกมมา ตัวใหญ่ (Γ) แทนชื่อฟังก์ชัน โดยนิยามไว้ว่า ถ้าส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน z เป็นค่าบวก (ℜ{z} > 0) ดังนั้นปริพันธ์นี้

\Gamma (z) = \int_0^\infty  t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t \,\!

จะลู่เข้าสัมบูรณ์ โดยการหาปริพันธ์เป็นส่วนจะสามารถแสดงได้ว่า

\Gamma (z+1) =z \, \Gamma (z) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \,\!

สมการเชิงฟังก์ชันนี้เป็นข้อสรุปทั่วไปสำหรับความสัมพันธ์ n! = n (n − 1) ! ของฟังก์ชันแฟกทอเรียล เราสามารถวิเคราะห์การประเมินค่าของ Γ (1) ได้ว่า

\Gamma (1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} -e^{-t} |_0^k = -0 - (-1) = 1

โดยการรวมความสัมพันธ์ข้างต้นสองประการ แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลเป็นกรณีพิเศษอันหนึ่งของฟังก์ชันแกมมา ดังนี้

\Gamma (n+1) = n \, \Gamma (n) = \cdots = n! \, \Gamma (1) = n!\,

สำหรับทุกค่า n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น Γ (5) = 4! เป็นต้น

ค่าสัมบูรณ์ของฟังก์ชันแกมมาบนระนาบจำนวนเชิงซ้อน

ความสัมพันธ์ดังกล่าวสามารถจัดเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนค่า x โดยมี "โพล" อยู่บน x = −n (เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, ...) และมี "ส่วนตกค้าง" อยู่ที่ \textstyle\frac{(-1) ^n}{n!}[1] ดังนั้นเราจะสามารถขยาย Γ (z) ไปเป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิกโดยนิยามให้มีค่าสำหรับทุกๆ ค่า z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน ยกเว้นเมื่อ z = 0, −1, −2, −3, ... ตามการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ซึ่งส่วนขยายดังกล่าวมักเป็นการอ้างถึงฟังก์ชันแกมมาโดยปกติ

นิยามแบบอื่น[แก้]

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และคาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Karl Weierstrass) ได้นิยามฟังก์ชันแกมมาโดยใช้ผลคูณอนันต์ ตามลำดับดังนี้


\begin{align}
\Gamma (z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \cdots (z+n)} \\
\Gamma (z) &= \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left (1 + \frac{z}{n}\right) ^{-1} e^{z/n} \\
\end{align}

เมื่อ γ คือค่าคงที่ออยเลอร์-แมสเชโรนี ซึ่งสามารถใช้ได้กับทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน z ที่ไม่เท่ากับจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

เราสามารถแสดงให้เห็นอย่างตรงไปตรงมาว่า นิยามของออยเลอร์สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน (1) ด้านบน เมื่อ z ไม่เท่ากับ 0, −1, −2, ...


\begin{align}
\Gamma (z+1) &= \lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^{z+1}}{(z+1) \; (z+2) \cdots (z+1+n)} \\
&= \lim_{n \to \infty} \left ( z \; \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1) \; (z+2) \cdots (z+n)} \; \frac{n}{(z+1+n)}\right) \\
&= z \; \Gamma (z) \; \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(z+1+n)} \\
&= z \; \Gamma (z) \\
\end{align}

คุณสมบัติ[แก้]

คุณสมบัติทั่วไป[แก้]

สมการเชิงฟังก์ชันอื่นสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่สำคัญคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)

\Gamma (1-z) \; \Gamma (z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!

และ สูตรการทำซ้ำ (duplication formula)

\Gamma (z) \; \Gamma\left (z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma (2z) \,\!

ซึ่งสูตรการทำซ้ำเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของทฤษฎีบทการคูณ (multiplication theorem) ที่ว่า


\Gamma (z) \; \Gamma\left (z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left (z + \frac{2}{m}\right) \cdots
\Gamma\left (z + \frac{m-1}{m}\right) =
(2 \pi) ^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma (mz) \,\!

อนึ่ง ค่าของฟังก์ชันแกมมา ซึ่งตัวแปรต้นไม่ได้เป็นจำนวนเต็ม ที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ

\Gamma\left (\frac{1}{2}\right) =\sqrt{\pi} \,\!

สามารถหาได้จากการแทนค่า z = 1/2 ลงในสูตรการสะท้อนด้านบน หรือจากฟังก์ชันบีตาโดยผ่านค่า (1/2, 1/2) ลงไป ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ π โดยทั่วไปแล้ว หากเราให้ n เป็นจำนวนคี่ เราจะได้คุณสมบัติอีกอย่างหนึ่งคือ

\Gamma\left (\frac{n}{2}+1\right) = \sqrt{\pi}\, \frac{n!!}{2^{(n+1)/2}}

เมื่อ n!! หมายถึงดับเบิลแฟกทอเรียล

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแกมมา สามารถอธิบายได้ในนิพจน์ของฟังก์ชันโพลีแกมมา ดังตัวอย่าง

\Gamma' (z) =\Gamma (z) \psi_0 (z) \,\!

ฟังก์ชันแกมมามีโพล (pole) อันดับ 1 อยู่ที่ z = −n สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนธรรมชาติ และส่วนตกค้าง (residue) มีค่าเท่ากับ

\operatorname{Res} (\Gamma,-n) =\frac{(-1) ^n}{n!} \,\!

ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ในบรรดาฟังก์ชันทั้งหมดที่ขยายมาจากฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนจริงบวก มีเพียงฟังก์ชันแกมมาเท่านั้นที่เป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์แบบลอการิทึม (logarithmically convex function) ซึ่งหมายความว่า ลอการิทึมธรรมชาติของฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์ (convex function)

ฟังก์ชันพาย[แก้]

สัญกรณ์อีกรูปแบบหนึ่งซึ่งนำเสนอโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ คือ ฟังก์ชันพาย (Pi function, P ตัวใหญ่) ใช้อธิบายนิพจน์ของฟังก์ชันแกมมาว่า

\Pi (z) = \Gamma (z+1) = z \; \Gamma (z) \,\!

ดังนั้น

\Pi (n) = n! \,\!

โดยการใช้ฟังก์ชันพาย เราจึงสามารถเขียนสูตรการสะท้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

\Pi (z) \; \Pi (-z) = \frac{\pi z}{\sin ( \pi z)} = \frac{1}{\operatorname{sinc} (z)} \,\!

เมื่อ "sinc" หมายถึงฟังก์ชันไซน์คาร์ดินัลแบบบรรทัดฐาน (normalized sinc function) ในขณะที่ทฤษฎีบทการคูณก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของฟังก์ชันพายได้เช่นกัน


\Pi\left (\frac{z}{m}\right) \, \Pi\left (\frac{z-1}{m}\right) \cdots \Pi\left (\frac{z-m+1}{m}\right)
= \left (\frac{(2 \pi) ^m}{2 \pi m}\right) ^{1/2} \, m^{-z} \, \Pi (z) \,\!

เรายังสามารถหาค่าของ

\pi (z) = \frac{1}{\Pi (z)} \,\!

ซึ่งเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function) นิยามบนทุกค่าของจำนวนเชิงซ้อน และเนื่องจาก π (z) เป็นฟังก์ชันทั่ว นั่นคือฟังก์ชันดังกล่าวไม่มีโพล ดังนั้นผลลัพธ์ของ Γ (z) จึงไม่มีทางเป็นศูนย์

ความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น[แก้]

  • ในตัวนิยามของฟังก์ชันแกมมาที่เป็นปริพันธ์ (สูตรแรกสุด) ขอบเขตของการหาปริพันธ์ได้ถูกกำหนดตายตัวไว้ ดังนั้นจึงมีการสร้างฟังก์ชันแกมมาไม่สมบูรณ์ (incomplete Gamma function) ในรูปแบบ Γ (a, x) ขึ้นมาเพื่อให้สามารถหาปริพันธ์ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของค่า x ใดๆ ก็ได้ที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง ∞
  • ฟังก์ชันแกมมามีความสัมพันธ์กับฟังก์ชันบีตาด้วยสูตรนี้
\Beta (x,y) =\frac{\Gamma (x) \; \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)} \,\!
\pi^{-z/2} \; \Gamma\left (\frac{z}{2}\right) \zeta (z) = \pi^{-\frac{1-z}{2}} \; \Gamma\left (\frac{1-z}{2}\right) \; \zeta (1-z) \,\!

และในอีกสูตรหนึ่งที่ดูเรียบง่ายคือ

\zeta (z) \; \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} \frac{u^{z-1}}{e^u - 1} \; \mathrm{d}u \,\!

แผนภาพ[แก้]

ค่าเฉพาะบางค่าที่ควรทราบ[แก้]


\begin{array}{lll}
\Gamma (-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363 \\
\Gamma (-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\
\Gamma (1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\
\Gamma (1) &= 0! &= 1 \\
\Gamma (3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\
\Gamma (2) &= 1! &= 1 \\
\Gamma (5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329 \\
\Gamma (3) &= 2! &= 2 \\
\Gamma (7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323 \\
\Gamma (4) &= 3! &= 6 \\
\end{array}

อ้างอิง[แก้]

  1. George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

หนังสือตำรา[แก้]

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6)
  • G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
  • Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.)
  • W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)