เส้นรอบวง

เส้นรอบวง = π × เส้นผ่านศูนย์กลาง

เส้นรอบวง หมายถึงระยะทางหรือความยาวรอบเส้นโค้งปิด โดยปกติจะหมายถึงรูปวงกลมหรือรูปวงรี เส้นรอบวงเป็นเส้นรอบรูปชนิดหนึ่ง

รูปวงกลม

เส้นรอบวง c ของรูปวงกลม สามารถคำนวณได้จากเส้นผ่านศูนย์กลาง d โดยใช้สูตรต่อไปนี้

$c = \pi d \,\!$

หรือคำนวณจากรัศมี r ของรูปวงกลม

$c = 2 \pi r \,\!$

เมื่อ π คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งมีค่าประมาณ 3.141 592 653 589 793...

สูตรการหาความยาวของเส้นรอบวง สามารถสร้างขึ้นโดยใช้ความรู้ทางแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ และไม่ใช้การอ้างถึงค่า π ดังที่จะแสดงต่อไปนี้

ครึ่งหนึ่งด้านบนของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คือกราฟของฟังก์ชัน

$f (x) = \sqrt{r^2 - x^2}$

ซึ่ง x สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ −r ถึง +r เส้นรอบวงของรูปวงกลมทั้งหมดจึงสามารถแทนได้ด้วยผลรวมสองเท่าของความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ ที่ประกอบกันเป็นครึ่งวงกลม ความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ นั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากเป็น $dx$ และ $f' (x) dx$ เราจะได้ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น

$\sqrt{(dx) ^2+ (f' (x) dx) ^2} = \left ( \sqrt{1+f' (x) ^2} \right) dx$

ดังนั้น ความยาวของเส้นรอบวงจึงคำนวณได้จาก

$\begin{align} c &= 2 \int_{-r}^r \sqrt{1+f' (x) ^2}dx = 2 \int_{-r}^r \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx = 2 \int_{-r}^r \sqrt{\frac{1}{1-\frac{x}{r}^2}}dx = 2r \int_{-1}^1 \sqrt{\frac{1}{1-x^2}}dx \\ &= 2r \big[ \arcsin{(1)} - \arcsin{(-1)} \big] = 2r ( \tfrac{\pi}{2} - (-\tfrac{\pi}{2}) ) = 2 \pi r \end{align}$

รูปวงรี

การคำนวณเส้นรอบวงของวงรี ซับซ้อนกว่าวงกลม และเป็นอนุกรมอนันต์ (infinite series) อาจประมาณได้จากสูตรของ รามานุจัน (นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย)

$c \approx \pi (3 (a+b) - \sqrt{ (3a+b) (a+3b) })$

เมื่อ $a$ และ $b$ คือ กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท ตามลำดับ สองค่านี้มีความสัมพันธ์กันกับความเยื้องศูนย์กลางของวงรี ดังต่อไปนี้

$b = a \sqrt{1-e^2}$

ซึ่งแสดงว่าสามารถเขียนสูตรคำนวณเส้นรอบวงของวงรีได้ดังนี้

$c \approx \pi a (3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{ (3+ \sqrt{1-e^2}) (1+3 \sqrt{1-e^2}) }) = \pi a (3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{3 (2-e^2) +10 \sqrt{1-e^2}})$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Numericana - Circumference of an ellipse