โมเมนตัม

กลศาสตร์ดั้งเดิม

$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \vec{v})$ กฎข้อที่สองของนิวตัน

ประวัติ แนวคิดมูลฐาน ช่องว่าง · เวลา · มวล · แรง พลังงาน · โมเมนตัม สมการ กลศาสตร์ดั้งเดิม กลศาสตร์แบบลากรางจ์ กลศาสตร์แบบแฮมิลโตเนียน สาขา สถิตยศาสตร์ พลศาสตร์(ไร้มวล) พลศาสตร์ กลศาสตร์ประยุกต์ กลศาสตร์ท้องฟ้า กลศาสตร์ต่อเนื่อง สถิตยกลศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ นิวตัน · ออยเลอร์ · ดาเลมเบิร์ต · Clairaut ลากรานจ์ · ลาปลาส · แฮมิลตัน · Poisson

โมเมนตัม หมายถึง ความสามารถในการเคลื่อนที่ของวัตถุ ซึ่งมีค่าเท่ากับผลคูณระหว่างมวลและความเร็วของวัตถุ มวลเป็นปริมาณสเกลาร์ แต่ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ เมื่อนำปริมาณทั้งสองเข้าคูณด้วยกัน ถือว่าปริมาณใหม่เป็นปริมาณเวกเตอร์เสมอ ฉะนั้นโมเมนตัมจึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือมีทั้งขนาดและทิศทาง

โมเมนตัมในกลศาสตร์ดั้งเดิม

ถ้าวัตถุเคลื่อนที่อยู่ในกรอบอ้างอิงใด ๆ ก็ตาม วัตถุนั้นจะมีโมเมนตัมอยู่ในกรอบอ้างอิงนั้น ๆ ค่าของโมเมนตัมของวัตถุจะขึ้นอยู่กับสองตัวแปร คือมวลกับความเร็วดังที่ได้กล่าวมาแล้ว ความสัมพันธ์ของตัวแปรทั้งสองเขียนได้เป็น:

โมเมนตัม = มวล × ความเร็ว

ในวิชาฟิสิกส์ สัญลักษณ์ของโมเมนตัมคือตัวอักษร p ดังนั้นอาจเขียนสมการข้างบนใหม่ได้เป็น:

$\mathbf{p}= m \mathbf{v}$

โดยที่ m แทนมวล และ v แทนความเร็ว หน่วยเอสไอของโมเมนตัม คือ กิโลกรัม เมตรต่อวินาที (kg m/s) ความเร็วของวัตถุจะให้ทั้งขนาด (อัตราเร็ว) และทิศทาง โมเมนตัมของวัตถุขึ้นอยู่กับความเร็ว จึงทำให้เป็นปริมาณเวกเตอร์

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ เราเรียกว่า การดล ซึ่งหาได้จาก มวล × การเปลี่ยนแปลงความเร็ว หรือ แรงที่กระทำต่อวัตถุ × เวลาที่แรงนั้นกระทำ

$m \Delta \mathbf{v}= \mathbf{F} \Delta t$

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และการชน

โมเมนตัมมีสมบัติพิเศษนั่นก็คือจะถูกอนุรักษ์อยู่เสมอ (ไม่เพิ่มขึ้น และในขณะเดียวกันก็ไม่ลดหายไป) แม้แต่ในการชน พลังงานจลน์นั้นจะไม่ถูกอนุรักษ์ในการชน ถ้าการชนนั้นเป็นการชนแบบไม่ยืดหยุ่น เนื่องจากการคงตัวของโมเมนตัมที่กล่าวมาแล้ว จึงทำให้สามารถนำไปคำนวณความเร็วที่ไม่ทราบค่าภายหลังการชนได้

ปัญหาในวิชาฟิสิกส์ที่จะต้องใช้ความจริงที่กล่าวมานี้ ก็คือการชนกันของสองอนุภาค โดยผลรวมของโมเมนตัมก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของโมเมนตัมหลังการชนเสมอ

$m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} \,$

โดยที่ตัวห้อย i แสดงถึงก่อนการชน และตัวห้อย f แสดงถึงหลังการชน

โดยปกติ เราจะทราบเพียงความเร็วก่อนการชน หรือหลังการชน ไม่อย่างใดก็อย่างหนึ่ง และต้องการที่จะทราบความเร็วอีกตัวหนึ่ง การแก้ไขปัญหานี้อย่างถูกต้องจะทำให้เราทราบว่าการชนนั้นเป็นอย่างไร การชนนั้นมีสองประเภท ดังต่อไปนี้

• การชนแบบยืดหยุ่น เป็นการชนที่อนุรักษ์พลังงาน
• การชนแบบไม่ยืดหยุ่นเป็นการชนที่ไม่อนุรักษ์พลังงาน

การชนทั้งสองประเภทที่ได้กล่าวมานี้ เป็นการชนที่อนุรักษ์โมเมนตัมทั้งหมด

การชนแบบยืดหยุ่น

การชนกันของลูกสนุ้กเกอร์สองลูก เป็นตัวอย่างหนึ่งของการชนแบบยืดหยุ่น นอกเหนือจากที่โมเมนตัมรวมกันก่อนชนต้องเท่ากับโมเมนตัมรวมกันหลังชนแล้ว ผลรวมของพลังงานจลน์ก่อนการชนจะต้องเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์หลังการชนด้วย

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,i}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,i}^2 = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,f}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,$

เนื่องจากตัวประกอบ 1/2 มีอยู่แล้วทุก ๆ พจน์ จึงสามารถนำออกไปได้

การชนแบบพุ่งตรง (การชนในหนึ่งมิติ)

ในกรณีที่วัตถุพุ่งเข้าชนกันแบบเต็ม ๆ เป็นทางตรง เราสามารถหาความเร็วปลายได้เป็น

$v_{1,f} = \left ( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left ( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,$

$v_{2,f} = \left ( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left ( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{2,i} \,$

การชนแบบไม่ยืดหยุ่น

ตัวอย่างที่พบเห็นได้ของการชนแบบไม่ยืดหยุ่น คือการที่วัตถุชนแล้วติดกัน (ไถลไปด้วยกัน) สมการต่อไปนี้จะแสดงการอนุรักษ์โมเมนตัม

$m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = \left ( m_1 + m_2 \right) \mathbf v_f \,$

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

ในกลศาสตร์ดั้งเดิม การดลจะเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของวัตถุ โดยการดลมีหน่วยและมิติเหมือนโมเมนตัมทุกประการ หน่วยเอสไอของการดลนั้นเหมือนกับหน่วยของโมเมนตัม (กิโลกรัม เมตร/วินาที) การดลสามารถคำนวณได้จากปริพันธ์ของแรงกับเวลา

$\mathbf{I} = \int \mathbf{F}\, dt$

โดยที่

I แทนการดล หน่วยเป็นกิโลกรัม เมตรต่อวินาที

F แทนแรง หน่วยเป็นนิวตัน

t เป็นเวลา หน่วยเป็นวินาที

หากมีแรงคงตัว การดลมักจะเขียนเป็น

$\mathbf{I} = \mathbf{F}\Delta t$

โดยที่

$\Delta t$ เป็นเวลาที่แรง F กระทำ

จากนิยามของแรง

$\mathbf{I} = \int \frac{d\mathbf{p}}{dt}\, dt$

$\mathbf{I} = \int d\mathbf{p}$

$\mathbf{I} = \Delta \mathbf{p}$

ทำให้ได้ว่าการดลคือการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัม

ดูเพิ่ม

• โมเมนตัมเชิงมุม
• กฎการอนุรักษ์
• ความเร็ว

อ้างอิง

• Halliday, David; Robert Resnick (1960-2007). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons. Chapter 9. 
• Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Physics for Scientists and Engineers (6 ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
• Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. Chpt. 12 in particular.
• Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6
• Hand, Louis N.; Finch, Janet D. Analytical Mechanics. Cambridge University Press. Chapter 4. 

แหล่งข้อมูลอื่น

วิกิพจนานุกรม มีความหมายของคำว่า:
momentum

• Conservation of momentum - A chapter from an online textbook