การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
วิถีการเคลื่อนที่ของน้ำแบบพาราโบลา
ส่วนประกอบของความเร็วต้นของการโยนแบบพาราโบลา

การเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ (อังกฤษ: Projectile motion)

วิถีของโพรเจกไทล์ที่ลอยขึ้นไปในอากาศในความเร็วต้นที่แตกต่างกัน

ความเร็วเริ่มต้น[แก้]

เมื่อปล่อยให้โปรเจกไทล์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเริ่มต้น ซึ่งสามารถแยกเป็นองค์ประกอบของเวกเตอร์ความเร็วได้ดังต่อไปนี้

องค์ประกอบ และ สามารถหาได้เมื่อทราบมุมเริ่มต้น ดังนี้

และ

ปริมาณจลนพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์[แก้]

ในปี ค.ศ. 1638 กาลิเลโอ กล่าวในหนังสือ Two New Sciences ว่าสำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์นั้น การเคลื่อนที่ทั้งในแนวดิ่งและแนวราบจะเป็นอิสระต่อกัน[1]

ความเร่ง[แก้]

สำหรับการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จะเกิดความเร่งเฉพาะการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งเท่านั้น ส่วนแนวราบความเร็วจะคงตัวมีค่าเท่ากับ การเคลื่อนที่ในแนวดิ่งของวัตถุจะเะป็นการเคลื่อนที่แบบตกอิสระ โดยมีความเร่งคงตัว [2] องค์ประกอบของความเร่งคือ

และ

ความเร็ว[แก้]

องค์ประกอบของความเร็วในแนวราบของวัตถุจะไม่เปลี่ยนแปลงตลอดการเคลื่อนที่ และองค์ประกอบของความเร็วในแนวตั้งจะเพิ่มขึ้นแบบเชิงเส้นเพราะมีความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วงที่มีค่าคงที่ องค์ประกอบของความเร็วทั้งในทิศทาง x และ y สามารถรวมกันเพื่อแก้ปัญหาองค์ประกอบของความเร็ว ณ เวลา ได้ดังนี้

และ

ขนาดของความเร็ว (ภายใต้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

การกระจัด[แก้]

การกระจัดและพิกัดของการโยนแบบพาราโพลา

ณ เวลา ใด ๆ การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ในแนวราบและแนวดิ่งคือ

และ

ขนาดของการกระจัดคือ

พิจารณาสมการ

และ

ถ้า ถูกกำจัดออกระหว่างทั้งสองสมการ จะได้

เมื่อ และ เป็นค่าคงที่ สมการข้างต้นจะอยู่ในรูป

ซึ่ง และ เป็นค่าคงที่ สมการนี้เป็นสมการพาราโบลา ดังนั้นเส้นทางการเคลื่อนที่ของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์จึงเป็นรูปพาราโบลา ถ้าทราบตำแหน่ง (x,y) ของโพรเจกไทล์ และมุมยิง ( หรือ ) ความเร็วเริ่มตั้น สามารถหาได้จากการแก้สมการพาราโบลาข้างต้น ได้เป็น

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่[แก้]

เวลาทั้งหมดที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศหาได้จากสมการ

หลังจากที่วัตถุถูกยิงออกไปและตกกลับลงมาบนพื้นอีกครั้ง (แกน x) ดังนั้น

ในที่นี้จะไม่สนใจแรงต้านของอากาศที่กระทำต่อวัตถุ

ถ้าจุดเริ่มต้นอยู่ที่ตำแหน่ง เมื่อเทียบกับจุดตก เวลาที่วัตถุลอยอยู่ในอากาศ คือ

สมการข้างต้นสามารถลดรูปเป็น

ถ้า = 0 และ = 0

ระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่[แก้]

ความสูงที่สูงที่สุดของโพรเจกไทล์

จุดที่วัตถุเคลื่อนที่ขึ้นไปได้เป็นระยะสูงที่สุดก่อนที่จะตกกลับลงมา เรียกว่า จุดสูงสุดของการเคลื่อนที่ของวัตถุ ณ จุดนี้ องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่ง นั้นคือ

เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ไปถึงจุดสูงสุด

จากการกระจัดที่สูงที่สุดของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์

ความสัมพันธ์ระหว่างระยะไกลสุดกับระยะสูงสุด[แก้]

ความสัมพันธืระหว่างระยะไกลสุดบนแนวราบ กับระยะสูงสุด ที่ เป็น

พิสูจน์[แก้]

×

.

พิสัยของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์[แก้]

ระยะทางที่ไกลที่สูงของโพรเจกไทล์

ในการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์มวลของวัตถุจะไม่ส่งผลต่อระยะไกลสุดตามแนวราบและระยะสูงสุดของการเคลื่อนที่ เมื่อขว้างวัตถุออกไปด้วยความเร็วและทิศทางเดียวกัน ระยะไกลสุดตามแนวราบของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เรียกว่า"พิสัย" คือ ระยะทางตามแนวราบจากจุดที่ขว้างวัตถุออกไปจนถึงจุดที่วัตถุตกกลับลงมาที่ตำแหน่งความสูงเริ่มต้น

เวลาเมื่อตกถึงพื้น

จากการเคลื่อนที่ในแนวราบ ระยะทางของการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์เป็น

ดังนั้น[3]

จะมีค่าสูงสุดเมื่อ

ซึ่งสอดคล้องกับ

หรือ

Trajectories of projectiles launched at different elevation angles but the same speed of 10 m/s in a vacuum and uniform downward gravity field of 10 m/s2. Points are at 0.05 s intervals and length of their tails is linearly proportional to their speed. t = time from launch, T = time of flight, R = range and H = highest point of trajectory (indicated with arrows).

ระยะทางในแนวราบ ที่เคลื่อนที่ได้

เมื่อพื้นเรียบ (ความสูงเริ่มต้น ()) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้

ดังนั้นวัตถุจะเคลื่อนที่ได้ระยะทางไกลที่สุด เมื่อ มีค่าเท่ากับ 45 องศา

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทงานและพลังงาน[แก้]

ตามทฤษฎีงานและพลังงาน องค์ประกอบของความเร็วในแนวดิ่งคือ

สมการเหล่านี้จะไม่พิจารณาแรงต้านของอากาศ และถือว่าพื้นเป็นพื้นราบเรียบ

อ้างอิง[แก้]

  1. Galileo Galilei, Two New Sciences ', Leiden, 1638, p.249
  2. The คือ ความเร่งโน้มถ่วง. ( ที่ผิวโลก).