แฟกทอเรียล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

แฟกทอเรียล (factorial) ของจำนวนธรรมชาติ n คือ ผลคูณของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย n! อ่านว่า "n แฟกทอเรียล" คริสเตียน แครมป์ เป็นผู้เริ่มใช้สัญกรณ์ n! ใน พ.ศ. 2351 (ค.ศ. 1808)

เนื้อหา

1 นิยาม
- 1.1 แฟกทอเรียล ของค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
2 การประยุกต์
3 การคำนวณค่าแฟกทอเรียล
4 การแยกตัวประกอบเฉพาะของแฟกทอเรียล
- 4.1 มัลติแฟกทอเรียล
- 4.2 ซูเปอร์แฟกทอเรียล

[แก้] นิยาม

ฟังก์ชันแฟกทอเรียล มีนิยามว่า

$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{for all }n \ge 0 \!$

ตัวอย่างเช่น

$5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$

เราจะได้

$0! = 1\,\!$

เพราะผลคูณว่างมีค่าเท่ากับ 1 ข้อเท็จจริงนี้มีประโยชน์มาก เพราะว่า

ความสัมพันธ์เวียนเกิด (n + 1) ! = n! × (n + 1) จะใช้ได้สำหรับ n = 0;
นิยามนี้ช่วยให้เอกลักษณ์ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดใช้ได้ เมื่อมีขนาดเป็นศูนย์

[แก้] แฟกทอเรียล ของค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสำหรับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มนั้น จะนิยามโดยฟังก์ชันแกมม่า:

$z!=\Gamma (z+1) =\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt \!$

ซึ่งเป็นนิยามของแฟกทอเรียลแบบนี้ขยายรวมไปถึงจำนวนเชิงซ้อน แต่ยกเว้นค่าจำนวนเต็ม ลบ

ตามนิยามด้านบนนี้ เราจะสามารถหาค่าแฟกทอเรียลของค่าครึ่งจำนวนเต็มได้ ดังนี้

$(n+1/2) !=\sqrt{\pi}\times \prod_{k=0}^n {2k + 1 \over 2}$

ตัวอย่างเช่น

$3.5! = \sqrt{\pi} \cdot {1\over 2}\cdot{3\over2}\cdot{5\over2}\cdot{7\over2} \approx 11.63$

[แก้] การประยุกต์

แฟกทอเรียล มีความสำคัญในคณิตศาสตร์เชิงการจัด ตัวอย่างเช่น เราสามารถจัดเรียงของ n ชิ้น ได้ทั้งหมด n! วิธี (การเรียงนี้เรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน) วิธีในการเลือกของ k ชิ้น จากของ n ชิ้น จะกำหนดโดยสัมประสิทธิ์ทวินาม

${n\choose k}={n!\over k! (n-k) !}$

การสอนเรื่องการเวียนเกิด (recursion) ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ มักใช้แฟกทอเรียลเป็นตัวอย่าง เพราะว่า มันสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้ (เมื่อ n ≥ 1) :

$n! = n \times (n-1) ! \,$

[แก้] การคำนวณค่าแฟกทอเรียล

การคำนวณหาค่าแฟกทอเรียลนั้น สามารถใช้วิธีการคูณซ้ำๆกันตามนิยามในกรณีที่ n นั้นมีค่าไม่มาก วิธีการหาค่าแบบนี้เป็นวิธีที่เครื่องคิดเลขขนาดพกพาส่วนใหญ่ใช้ ซึ่งโดยส่วนมากจะหาค่าได้ถึงประมาณ 69! เนื่องจาก 70! > 10¹⁰⁰

ในกรณีที่ n มีค่ามาก n! จะคำนวณโดยใช้การประมาณจาก สูตรของสเตอร์ลิง (en:Stirling's approximation) :

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left (\frac{n}{e}\right) ^n$

ด้านล่างนี้เป็นการประมาณที่ความแม่นยำน้อยกว่า ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์:

$\left ({n \over 3}\right) ^n < n! < \left ({n \over 2}\right) ^n\ \mbox{if}\ n\geq 6\,$

[แก้] การแยกตัวประกอบเฉพาะของแฟกทอเรียล

เลขชี้กำลังของ p ในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ n! จะเท่ากับ

$\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor$

REDIRECT [[! หัวตาราง 1

หัวตาราง 2

หัวตาราง 3

แถว 1, คอลัมน์ 1

แถว 1, คอลัมน์ 2

แถว 1, คอลัมน์ 3

แถว 2, คอลัมน์ 1

แถว 2, คอลัมน์ 2

แถว 2, คอลัมน์ 3]]

หัวตาราง 1	หัวตาราง 2	หัวตาราง 3
แถว 1, คอลัมน์ 1	แถว 1, คอลัมน์ 2	แถว 1, คอลัมน์ 3
แถว 2, คอลัมน์ 1	แถว 2, คอลัมน์ 2	แถว 2, คอลัมน์ 3

== ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล ==

[แก้] มัลติแฟกทอเรียล

ดูบทความหลักที่ มัลติแฟกทอเรียล

เป็นสัญลักษณ์ที่เขียนในรูปแบบแฟกทอเรียลหลายครั้ง เช่น n!!, n!!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

[แก้] ซูเปอร์แฟกทอเรียล

ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

$\mathrm{sf} (n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots (n-1) ^2\cdot n^1.$

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

$\mathrm{sf} (4) =1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,$

แฟกทอเรียล

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

เนื้อหา

[แก้] นิยาม

[แก้] แฟกทอเรียล ของค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

[แก้] การประยุกต์

[แก้] การคำนวณค่าแฟกทอเรียล

[แก้] การแยกตัวประกอบเฉพาะของแฟกทอเรียล

[แก้] มัลติแฟกทอเรียล

[แก้] ซูเปอร์แฟกทอเรียล

ดู

เครื่องมือส่วนตัว

ป้ายบอกทาง

สืบค้น

มีส่วนร่วม

เครื่องมือ

ภาษาอื่น