เลขคณิตมอดุลาร์
เลขคณิตมอดุลาร์ (Modular arithmetic) เป็นระบบเลขคณิตที่มีรากฐานมาจากระบบจำนวนเต็มทั่วไป แต่จำนวนในระบบนี้จะมีการหมุนกลับในลักษณะเดียวกันกับเข็มนาฬิกาเมื่อมีค่าถึงค่าบางค่าที่กำหนดไว้ ซึ่งค่านี้จะเรียกว่า มอดุลัส กล่าวคือ, ตัวเลขที่มีค่าเกินค่าของมอดุลัส จะถูกปรับค่าให้เป็นเศษของจำนวนนั้นเมื่อหารด้วยมอดุลัส ยกตัวอย่างเช่น ภายใต้มอดุลัสที่เป็น 9 เลข 13 จะถูกปรับให้เหลือ 4 หรือ ผลบวกของ 4 กับ 7 ก็คือ 2
เนื้อหา |
[แก้] การสมภาคกันของจำนวน
เราจะกล่าวว่าจำนวนเต็ม a และ b สมภาคกัน ภายใต้มอดุโล n ได้เมื่อผลต่างของสองจำนวนนั้นสามารถหารลงตัวได้ด้วย n หรืออาจจะกล่าวได้อีกอย่างคือ จำนวนเต็ม a กับ b เมื่อหารด้วย n จะเหลือเศษเท่ากัน การสมภาคกันของ a และ b สามารถเขียนได้ในรูป
- a ≡ b (mod n)
ตัวอย่างเช่น
- 26 ≡ 14 (mod 12)
ความสัมพันธ์ของการสมภาคกันเป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) และชั้นสมมูล (equivalence class) ของจำนวนเต็ม a สามารถเขียนได้ในรูป [a]n ซึ่งความสัมพันธ์สมมูลตัวนี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมอีกหลายอย่าง ยกตัวอย่างเช่น: ถ้า
- a1 ≡ b1 (mod n)
และ
- a2 ≡ b2 (mod n)
แล้ว
- a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod n)
และ
- a1a2 ≡ b1b2 (mod n).
[แก้] ประวัติ
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์เป็นผู้นำเสนอเลขคณิตมอดุลาร์ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ในปีค.ศ. 1801 (พ.ศ. 2344)
[แก้] ดูเพิ่ม
[แก้] แหล่งข้อมูลอื่น
- ในบทความ modular art แสดงการประยุกต์ใช้เลขคณิตมอดุลาร์ในดนตรี
