คาร์ล ไวแยร์สตราสส์

คาร์ล ธีโอดอร์ วิลเฮล์ม ไวแยร์สตราสส์
ภาพเหมือนของไวแยร์สตราสส์
วันที่เกิด	31 ตุลาคม ค.ศ. 1815(1815-10-31) ออสเทนเฟลด์ (Ostenfelde) รัฐบาวาเรีย ปรัสเซีย
วันที่เสียชีวิต	19 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1897 (81 ปี) เบอร์ลิน ปรัสเซีย
เมืองที่อาศัย	เบอร์ลิน ปรัสเซีย
เชื้อชาติ	เยอร์มัน
สาขา	คณิตศาสตร์
สถาบันที่ทำงาน	มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งเบอร์ลิน (อังกฤษ: Technical University of Berlin, เยอรมัน: Gewerbeinstitut)
สถาบันการศึกษาที่เรียน	มหาวิทยาลัยบอนน์ (University of Bonn) Münster Academy
อาจารย์ที่ปรึกษาในระดับปริญญาเอก	Christoph Gudermann
ลูกศิษย์ในระดับปริญญาเอก	Nikolai Bugaev Georg Cantor Georg Frobenius Lazarus Fuchs Wilhelm Killing Leo Königsberger Mathias Lerch Hans von Mangoldt Eugen Netto Carl Runge Arthur Schoenflies Friedrich Schottky Hermann Schwarz Ludwig Stickelberger
งานที่เป็นที่รู้จัก	ฟังก์ชันไวแยร์สตราสส์

คาร์ล ธีโอดอร์ วิลเฮล์ม ไวแยร์สตราสส์ (เยอรมัน: Karl Theodor Wilhelm Weierstraß หรือ Weierstrass) (31 ตุลาคม ค.ศ. 1815 - 19 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1897) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้ซึ่งมักถูกกล่าวถึงในฐานะว่าเป็น บิดาแห่งการวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ยุคใหม่ นอกจากนี้ชื่อของไวแยร์สตราสส์ ยังได้รับเกียรติในการตั้งชื่อหลุมอุกกาบาตบนดวงจันทร์ (Weierstrass crater) ไวแยร์สตราสส์ เกิดที่เมืองออสเทนเฟลด์ (Ostenfelde) รัฐบาวาเรีย ราชอาณาจักรปรัสเซีย

ประวัติ

ไวแยร์สตราสส์เป็นบุตรคนโตของ วิลเฮล์ม ไวแยร์สตราสส์ (Wilhelm Weierstrass) ซึ่งมีอาชีพเป็นเจ้าหน้าที่ศุลกากร กับ ธีโอดอรร่า วอนเดอร์ฟอส (Theodora Vonderforst) หลังจากไวแยร์สตราสส์เกิดไม่นานครอบครัวได้ย้ายไป Westernkotten Westphalia ที่ซึ่งพี่น้องอีกสามคนของไวแยร์สตราสส์เกิด ซึ่งได้แก่ ปีเตอร์ (Peter) คาร์ร่า (Klara) และ แอลลิซ (Elise) แต่หลังจากน้องคนเล็ก แอลลิซ เกิดได้ไม่นาน มารดาก็เสียชีวิตและบิดาก็แต่งงานใหม่

ความสนใจทางคณิตศาสตร์ของไวแยร์สตราสส์เกิดขึ้นเมื่อตอนที่ ไวแยร์สตราสส์ เรียนในระดับ ยิมเนเซี่ยม (Gymnasium : โรงเรียนที่ให้การศึกษาระดับเตรียมอุดมศึกษาของเยอรมัน) ที่ Theodorianum ใน Paderborn บิดาปรารถนาให้บุตรชายเรียนทางด้านกฎหมาย เศรษฐศาสตร์ และการเงินที่ มหาวิทยาลัยบอนน์ (University of Bonn) เพื่อที่จะได้เป็นข้าราชการ ซึ่งไวแยร์สตราสส์ในขณะนั้นไม่ได้ใส่ใจกับการเรียนที่นี้เท่าไรนักเพราะขัดกับความสนใจในคณิตศาสตร์ของเขา ไวแยร์สตราสส์จึงไม่สนใจในวิชาที่ต้องเรียนแต่กลับใช้เวลาในการวิจัยทางคณิตศาสตร์เป็นการส่วนตัว ส่งผลให้ไวแยร์สตราสส์ต้องออกจากมหาวิทยาลัยทั้งที่ไม่ได้สำเร็จการศึกษา ต่อมาภายหลัง ไวแยร์สตราสส์ จึงไปสมัครเรียนที่ Academy of Münster (ปัจจุบัน University of Münster) อันเป็นสถาบันอุดมศึกษาที่มีชื่อเสียงทางด้านคณิตศาสตร์ โดยหันไปเรียนทางด้านคณิตศาสตร์แทน หลังจากสำเร็จการศึกษาจึงสมัครเป็นครูในโรงเรียนฝึกสอนในเมือง Münster แต่ก็ยังศึกษาวิจัยทางคณิตศาสตร์ในเวลาว่าง ในปี ค.ศ. 1843 ไวแยร์สตราสส์ สอนใน Deutsch-Krone ในปรัสเซียตะวันออก และในปี ค.ศ. 1848 สอนใน Lyceum Hosianum ใน Braunsberg ซึ่งนอกจากคณิตศาสตร์แล้ว ไวแยร์สตราสส์ ยังต้องสอน ฟิสิกส์ พฤกษศาสตร์ และ ยิมนาสติก

ไวแยร์สตราสส์มีบทความวิจัยที่ได้รับการยอมรับอย่างแพร่หลาย จนกระทั่ง ในปี ค.ศ. 1855 University of Konigsburg มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้ และได้รับเชิญไปเป็นอาจารย์ประจำที่ มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งเบอร์ลิน (Technical University of Berlin) ซึ่งต่อมาจะเป็นที่ทำงานของไวแยร์สตราสส์ตลอดชีวิต

ไวแยร์สตราสส์ มีพรสวรรค์ทางด้านการสอนมาก และเตรียมการสอนมาเป็นอย่างดี เป็นอาจารย์ที่ลูกศิษย์ชื่นชอบ ในบรรดาลูกศิษย์ของไวแยร์สตราสส์ มีบุคคลที่ต่อมาเป็นนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคน อาทิเช่น เกออร์ก คันทอร์, ออทโท เฮิลแดร์, แฮร์มันน์ มิงคอฟสกี, ดาฟิด ฮิลแบร์ท, Edmund Husserl, Sofia Kovalevskaya, Gösta Mittag-Leffler และ Carl Johannes Thomae

ไวแยร์สตราสส์ มีผลงานในหลายๆด้าน อาทิเช่น การวิเคราะห์เชิงจริง, การวิเคราะห์เชิงซ้อน, แคลคูลัสของการแปรผัน และ เรขาคณิตเชิงพีชคณิต ไวแยร์สตราสส์เริ่มป่วยตั้งแต่ ค.ศ. 1850 แต่ก้ยังสามารถตีพิมพ์ผลงานที่โดดเด่นได้และได้ชื่อเสียงมากมายจากงานเหล่านั้น จนในช่วงสามปีสุดท้ายของชีวิตไม่สามารถขยับตัวได้และเสียชีวิตที่กรุงเบอร์ลิน ด้วยโรคปอดบวม รวมอายุได้ 81 ปี

ผลงาน

การนิยามการลู่เข้าเอกรูปของแคลคูลัส

ในสมัยก่อนหน้าไวแยร์สตราสส์ ยังมีข้อถกเถียงกันในเรื่องการนิยามเกี่ยวกับหลักมูลฐานในวิชาแคลคูลัสให้เหมาะสมและรัดกุม ซึ่งความกำกวมนี้ส่งผลให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทในแคลคูลัสไม่สามารถทำได้อย่างรัดกุม ใน ต้นปี ค.ศ. 1817 เบอร์นาร์ด โบลซาโน (Bernard Bolzano) ได้เสนอแนวคิดในการนิยามโดยใช้ลิมิตของฟังก์ชัน แต่ผลงานชิ้นนี้ยังไม่เป็นที่แพร่หลายจนกระทั่งอีกหนึ่งปีต่อมา แต่อย่างไรก็ดี ความไม่ชัดเจนถึงนิยามของลิมิตของฟังก์ชันและนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็ยังคงมีอยู่ จนในคริสต์ทศวรรษ 1820 ออกัสติน หลุยส์ โคชี (Augustin Louis Cauchy) ได้เสนอนิยามใหม่เกี่ยวลิมิตที่อยู่ในรูปแบบของ $(\varepsilon,\delta)$ ((ε, δ) -definition of limit) แต่นิยามนี้ก็ไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่างความต่อเนื่องที่จุด กับ ความต่อเนื่องเอกรูปบนช่วงได้ ทำให้โคชีได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ที่ผิดพลาดออกไป ในปี ค.ศ. 1821 ในผลงานชื่อ Cours d'analyse โดยกล่าวว่า ลิมิตของจุด (pointwise limit) ของ ลำดับของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องเป็นจุด(pointwise continuous functions) น้้นต่อเนื่องแบบจุด(pointwise continuous) ต่อมา โฌแซ็ฟ ฟูรีเย (Jean Baptiste Joseph Fourier) และนีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel) ตรวจพบตัวอย่างที่ขัดแย้งในเรื่องอนุกรมฟูริแยร์ ซึ่งในที่สุด ดีริคเล (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) ก็พบว่าแท้จริงแล้วคำกล่าวที่ว่า การลู่เข้าแบบจุดควรจะเป็นการลู่เข้าแบบเอกรูปมากกว่า กล่าวคือ ลิมิตเอกรูป (uniform limit) ของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องอย่างเป็นเอกรูป (uniformly continuous functions) นั้นก็ยังคงต่อเนื่องอย่างเอกรูป (uniformly continuous)

Christoph Gudermann อาจารย์ที่ปรึกษาของไวแยร์สตราสส์ เล็งเห็นถึงความสำคัญในหลักการเกี่ยวกับการลู่เข้าอย่างเอกรูปเป็นคนแรก ในผลงานปี ค.ศ. 1838 ที่เกี่ยวกับ ฟังก์ชันอิลลิปติก (Elliptic function) Christoph Gudermann ได้กล่าวถึงปัญหานี้แต่ไม่ได้ให้นิยามอย่างเป็นทางการแต่อย่างไร ในปี ค.ศ. 1839 - 1840 ไวแยร์สตราสส์ได้เข้าเรียนในวิชา ฟังก์ชันอิลลิปติก จึงได้เริ่มสนใจเรื่องนี้ และตีพิมพ์ผลงานชื่อ Zur Theorie der Potenzreihen ในปี ค.ศ. 1841 และมีการบัญญัติศัทพ์ใหม่คือ การลู่เข้าเอกรูป (อังกฤษ: uniformly convergent, เยอรมัน: gleichmäßig konvergent) ในงานชิ้นนี้ ไวแยร์สตราสส์ ได้สร้างนิยามใหม่ขึ้นให้มีความรัดกุมมากกว่าเดิม และต่อมาได้รับการยอมรับอย่างกว้างขว้าง โดยที่ ไวแยร์สตราสส์ ได้ให้นิยามไว้ดังนี้

$\displaystyle f (x)$ ต่อเนื่องที่ $\displaystyle x = x_0$ ถ้า $\displaystyle \forall \ \varepsilon > 0\ \exists\ \delta > 0$ โดยที่ $\displaystyle \forall \ |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f (x) - f (x_0)| < \varepsilon.$

โดยใช้นิยามนี้และแนวคิดเรื่อง การลู่เข้าอย่างเอกรูป ไวแยร์สตราสส์ จึงสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างเช่น ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (intermediate value theorem) (ซึ่ง เบอร์นาค โบลซาโน ได้พิสูจน์อย่างรัดกุมก่อนหน้านั้นไปแล้ว), ทฤษฎีบทโบลซาโน - ไวแยร์สตราสส์ (Bolzano–Weierstrass theorem) และ Heine–Borel theorem

แคลลูลัสของการแปรผัน

ผลงานจำนวนมากของไวแยร์สตราสส์ได้ถูกนำไปสานต่อในการศึกษาแคลลูลัสของการแปรผันสมัยใหม่ หนึ่งในตัวอย่างที่สำคัญคือ ไวแยร์สตราสส์ได้เสนอเงือนไขจำเป็นสำหรับการมีอยู่ของ strong extrema และยังมีส่วนในการเสนอ Weierstrass–Erdmann condition ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ว่า อนุพันธ์ย่อย $\partial f/\partial x$ ของ $J=\int f (t,x,y) \,dt$ จะต้องต่อเนื่องที่มุมใดๆ

ผลงานด้านทฤษฎีวิเคราะห์อื่น

• Stone–Weierstrass theorem
• Weierstrass–Casorati theorem
• Weierstrass's elliptic functions
• Weierstrass function
• Weierstrass M-test
• Weierstrass preparation theorem
• Lindemann–Weierstrass theorem
• Weierstrass factorization theorem
• Enneper–Weierstrass parameterization
• Sokhatsky–Weierstrass theorem

ผลงานที่สำคัญ

• Zur Theorie der Abelschen Funktionen (1854)
• Theorie der Abelschen Funktionen (1856)
• Abhandlungen-1// Math. Werke. Bd. 1. Berlin, 1894
• Abhandlungen-2// Math. Werke. Bd. 2. Berlin, 1897
• Abhandlungen-3// Math. Werke. Bd. 3. Berlin, 1915
• Vorl. ueber die Theorie der Abelschen Transcendenten// Math. Werke. Bd. 4. Berlin, 1902
• Vorl. ueber Variationsrechnung// Math. Werke. Bd. 6. Berlin, 1927

ดูเพิ่ม

• Digitalized versions of Weierstrass's original publications are freely available online from the library of the Berlin Brandenburgische Akademie der Wissenschaften.
• ผลงานของ Karl Weierstrass ที่ โครงการกูเต็นเบิร์ก