การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ ในคณิตศาสตร์, e สามารถกระจายในรูปอนุกรมได้เป็น

$e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

ซึ่งนำมาใช้พิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะได้

สมมติให้ e เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น e จะเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้ โดยเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม. ให้ e = a/b

พิจารณาจำนวนนี้

$x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

• x เป็นจำนวนเต็ม สังเกตจาก

$x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= a(b - 1) ! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}$

$= a(b - 1) ! - (b! + b! + \frac{b!}{2!}+\cdots+1)$

• x เป็นจำนวนบวกที่น้อยกว่า 1 สังเกตจาก

$x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= b\,!\left(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)$

$= b\,!\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}$

$0 < x = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1) (b+2) } + \frac{1}{(b+1) (b+2) (b+3) } + \cdots$

$< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1) ^2} + \frac{1}{(b+1) ^3} + \cdots = \frac{1}{b} \le 1$

แต่ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 1 ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น e จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ