การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ ในคณิตศาสตร์, e สามารถกระจายในรูปอนุกรมได้เป็น

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

ซึ่งนำมาใช้พิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะได้

สมมติให้ e เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น e จะเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้ โดยเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม. ให้ e = a/b

พิจารณาจำนวนนี้

x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)
  • x เป็นจำนวนเต็ม สังเกตจาก
x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)
= b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)
= a(b - 1) ! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}
= a(b - 1) ! - (b! + b! + \frac{b!}{2!}+\cdots+1)
  • x เป็นจำนวนบวกที่น้อยกว่า 1 สังเกตจาก
x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)
= b\,!\left(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)
= b\,!\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}
0 < x = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1) (b+2) } + \frac{1}{(b+1) (b+2) (b+3) } + \cdots
< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1) ^2} + \frac{1}{(b+1) ^3} + \cdots = \frac{1}{b} \le 1

แต่ว่าไม่มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า 1 ทำให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น e จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ