การแจกแจงปรกติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น
Probability density function for the normal distribution
The red line is the standard normal distribution
ฟังก์ชันแจกแจงสะสม
Cumulative distribution function for the normal distribution
Colors match the image above
สัญกรณ์: \mathcal{N}(\mu,\,\sigma^2)
ตัวแปรเสริม: μR — mean (location)
σ2 > 0 — variance (squared scale)
ฟังก์ชันค้ำจุน: xR
pdf: \tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\,e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }
cdf: \frac12\Big[1 + \operatorname{erf}\Big( \frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\Big)\Big]
ค่าเฉลี่ย: μ
มัธยฐาน: μ
ฐานนิยม: μ
ความแปรปรวน: σ2
ความเบ้: 0
ความโด่งส่วนเกิน: 0
เอนโทรปี: \tfrac12 \ln(2 \pi e \, \sigma^2)
mgf: \exp\{ \mu t + \tfrac{1}{2}\sigma^2t^2 \}
cf: \exp \{ i\mu t - \tfrac{1}{2}\sigma^2 t^2 \}
Fisher information: \begin{pmatrix}1/\sigma^2&0\\0&1/(2\sigma^4)\end{pmatrix}

สำหรับทฤษฎีความน่าจะเป็น การแจกแจงปรกติ (อังกฤษ: Normal Distribution) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของค่าของตัวแปรสุ่มที่เป็นค่าแบบต่อเนื่อง โดยที่ค่าของตัวแปรสุ่มมีแนวโน้มที่จะมีค่าอยู่ใกล้ๆกับค่าๆหนึ่ง (เรียกว่าค่ามัชฌิม) กราฟแสดงค่าฟังก์ชันความหนาแน่น (probability density function) จะเป็นรูปคล้ายระฆังคว่ำ หรือเรียกว่า Guassian function โดยค่าฟังก์ชันความหนาแน่นของการแจกแจงปรกติ ได้แก่


    f(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\; e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },

โดย "x" แทนตัวแปรสุ่ม พารามิเตอร์ μ แสดงค่ามัชฌิม และ σ 2 คือค่าความแปรปรวน (variance) ซึ่งเป็นค่าที่ใช้บอกปริมาณการกระจายของการแจกแจง การแจกแจงปรกติที่มีค่า μ = 0 และ σ 2 = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน

การแจกแจงปรกติเป็นการแจกแจงที่เด่นที่สุดในทางวิชาความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ ซึ่งก็มาจากหลายๆเหตุผล[1] ซึ่งก็รวมถึงผลจาก Central Limit Theorem ที่กล่าวว่า ภายใต้สภาพทั่วๆไปแล้ว ค่าเฉลี่ยจากการสุ่มค่าของตัวแปรสุ่มอิสระจากการแจกแจงใดๆ (ที่มีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนจำกัด) ถ้าจำนวนการสุ่มนั้นใหญ่พอ แล้วค่าเฉลี่ยนั้นจะมีการแจกแจงประมาณได้เป็นการแจกแจงปรกติ

ลักษณะที่สำคัญของการแจกแจงปรกติ[แก้]

  1. f(x)>0 ทุกค่าของ x
  2. f(x) ลดลงเรื่อยๆ ถ้าค่า x ห่างจาก \mu เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ
  3. f(x) สมมาตรที่ \mu คือ f(\mu  + x = f(\mu  - x) ทุกค่า x
  4. เมื่อ x = \mu แล้ว f(x) จะมีค่าสูงสุด และ \mu มีค่าเท่ากับมัธยฐาน กับ ฐานนิยม
  5. ถ้า \sigma ลดลง ส่วนโค้งจะแคบลงด้วย
  6. พื้นที่ใต้ส่วนโค้งระหว่าง
  • \mu  - \sigma กับ \mu  + \sigma = 0.68
  • \mu  - 2\sigma กับ \mu  + 2\sigma = 0.95
  • \mu  - 3\sigma กับ \mu  + 3\sigma = 0.99

อ้างอิง[แก้]

  1. Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Statistical inference (2nd ed.). Duxbury. ISBN 0-534-24312-6.

ดูเพิ่ม[แก้]