กฎของโลปีตาล

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ของกฎของโลปีตาล เมื่อ ${\color {orange}f(x)}=\color {orange}\sin(x)$ และ ${\color {red}g(x)}=\color {red}-0.5x$ ของฟังก์ชัน ${\color {brown}h(x)}={\color {orange}f(x)}/{\color {red}g(x)}$ จะไม่นิยาม ณ ตำแหน่ง x = 0 แต่สามารถทำให้ฟังก์ชันนั้นต่อเนี่องใน $\mathbb {R}$ โดยนิยามให้ .${\color {brown}h(0)}={\color {teal}f'(0)}/{\color {blue}g'(0)}=-2$

ในแคลคูลัส กฎของโลปีตาล (อังกฤษ: L'Hôpital's rule) หรือ กฎของแบร์นูลลี (อังกฤษ: ฺBernoulli's rule) เป็นทฤษฎีบทคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการหาค่าลิมิตที่อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด (อังกฤษ: indeterminate forms) ด้วยการใช้อนุพันธ์กฎนี้มักนำมาใช้ในการเปลี่ยนรูปแบบยังไม่กำหนด เป็นรูปแบบกำหนด เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณลิมิตโดยการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ กฎนี้ถูกตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสกีโยม เดอ โลปีตาล ถึงแม้กฎนี้มักถูกพิจารณาว่าถูกเขียนโดยเดอ โลปีตาล แต่ทฤษฎีบทนี้แบร์นูลลีเป็นคนเสนอให้กับเขา

กฏของโลปีตาล — ฟังก์ชัน $f$ และ $g$ ที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วงเปิด $I$ ยกเว้นเมื่อที่จุด $c$ อยู่ใน $I$

ถ้า $\lim \limits _{x\to c}f(x)=\lim \limits _{x\to c}g(x)=0$ หรือ $\pm \infty$ และ $g'(x)\neq 0$ สำหรับทุก $x$ ใน $I$ ที่ $x\neq c$ และ $\lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ หาค่าได้

แล้ว $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

ประวัติ

กีโยม เดอ โลปีตาลเผยแพร่กฎนี้ในปีพ.ศ.2239 (ค.ศ.1696) ในหนังสือชื่อ Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes เป็นหนังสือเล่มแรกที่เขียนเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ถึงอย่างไรก็ตาม เชื่อกันว่ากฎนี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสชื่อโยฮันน์ แบร์นูลลี

รูปทั่วไป

รูปทั่วไปของกฎของโลปีตาลครอบคลุมหลากหลายกรณี ให้ $c$ และ $L$ เป็นจำนวนจริงส่วนขยาย (ต.ย. จำนวนจริง อนันต์บวก อนันต์ลบ) ให้ $I$ เป็นช่วงเปิดที่มี $c$ อยู่ (สำหรับลิมิตสองข้าง) หรือช่วงเปิดที่มี $c$ เป็นจุดปลาย (สำหรับลิมิตข้างเดียว หรือลิมิตที่อนันต์ ถ้า $c$ เป็นอนันต์) สมมติให้ฟังก์ชันค่าจริง $f$ และ $g$ หาอนุพันธ์ได้บน $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ และ $g'(x)\neq 0$ บน $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ ด้วย ยังสมมติให้ ${\textstyle \lim \limits _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}$ ดังนั้นกฎนี้สามารถใช้ได้ในสถานการณ์เมื่ออัตราส่วนของอนุพันธ์มี่ค่าจำกัดหรือไม่จำกัด แต่ใข้ไม่ได้ในสถานการณ์อัตราส่วนแปรปรวนตลอดที่ $x$ มีค่าเข้าไกล้ $c$

ถ้า

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$

หรือ

$\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty$

อย่างใดอย่างหนึ่งแล้ว

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=L$

ถึงแม้ว่าเราจะเขียนในรูป $x\to c$ ตลอด ลิมิตนั้นอาจเป็นลิมิตข้างเดียว ($x\to c^{+}$ หรือ $x\to c^{-}$) เมื่อ $c$ เป็นจุดปลายจำกัดของ $I$

ในกรณีที่สองนั้น สมมุติฐานให้ $f$ ลู่ออกไปอนันต์จะไม่ได้ถูกใช้ในบทพิสูจน์ (ดูหมายเหตุตรงท้ายหัวเรื่องบทพิสูจน์) ดั้งนั้นโดยปกติเงื่อนไขของกฎจะกล่าวไว้ตามข้างบน เงื่อนไขที่เพียงพอที่สองที่จะทำให้กระบวนการของกฎนี้ถูกต้องสามารถกล่าวได้อย่างสั้น ๆ ว่า ${\textstyle \lim _{x\to c}|g(x)|=\infty }$

สมมุติฐานที่ว่า $g'(x)\neq 0$ จะพบเห็นได้บ่อยตามงานเขียน แต่บางผู้เขียนละสมมุติฐานนี้โดยการเขียนสมมติฐานอื่น วิธีหนึ่งคือการนิยามลิมิตของฟังก์ชันนั้นโดยเพิ่มข้อกำหนดทีฟังก์ชันที่ใช้หาลิมิตนั้นต้องถูกนิยามทุกที่บนช่วงที่เกี่ยวข้อง $I$ อาจยกเว้นที่ $c$ อีกวิธีคือให้ทั้ง $f$ และ $g$ จำเป็นที่จะต้องหาอนุพันธ์ได้ทุกที่บนช่วงที่มี $c$ อยู่

ตัวอย่าง

• ตัวอย่างพื้นฐานที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ในรูปแบบยังไม่กำหนด ${\frac {0}{0}}$ ที่ $x=0$
  $${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\[4pt]&=1\end{aligned}}$$
• ตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นที่เป็น ${\frac {0}{0}}$ การใช้กฎของโลปีตาลเพียงครั้งเดียวผลลัพท์ยังคงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดอยู่ ในที่นี้ ลิมิตอาจหาค่าได้โดยการใชกฎของโลปีตาลสามครั้ง

$${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\[4pt]&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\[4pt]&={\frac {-2+8}{1}}\\[4pt]&=6\end{aligned}}$$

• ตัวอย่างที่เป็น ${\frac {\infty }{\infty }}$
  $$\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}$$
  ใช้กฎของโลปีตาลซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ (ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็ม) หรือติดลบ (ถ้า $n$ เป็นเศษส่วน) ถีงจะารุปได้ว่าลิมิตมีค่าเป็นศูนย์
• ตัวอย่างที่เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด $0\cdot \infty$ (ดูข้างล่าง) ซึ่งเขียนใหม่ได้ในรูป ${\frac {\infty }{\infty }}$
  $$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.$$

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ

รูปแบบยังไม่กำหนดอื่น ๆ เช่น $1^{\infty }$ $0^{0}$ $\infty ^{0}$ $0\cdot \infty$ และ $\infty -\infty$ สามารถหาค่าโดยใช้กฎของโลปีตาลได้ เช่นการหาลิมิตทีมี $\infty -\infty$ โดยการเปลี่ยนสองฟังก์ชันที่ลบกันเป็นการหาร

${\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

กฎของโลปีตาลถูกใช้ในขั้นตอนจาก (1) ไป (2) และอีกครั้งในขั้นตอน (3) ไป (4)

กฎของโลปีตาลใช้ได้กับรูปแบบยังไม่กำหนดที่มีเลขยกกำลังโดยใช้ลอการิทึมช่วย"ตบเลขยกกำลังลงมา" ตัวอย่างเช่น

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln(x^{x})}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}$

ย้ายลิมิตเข้าไปในฟังก์ชันเลขชี้กำลังได้เพราะฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และการที่เลขชี้กำลัง $x$ "อยู่ข้างล่าง" ลิมิต $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x$ อยู่ในรูปแบบยังไม่กำหนด $0\cdot \infty$ แต่จากที่ได้แสดงในตัวอย่างข้างบนมา กฎของโลปีตาลยังสามารถบอกได้ว่า

$\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0$ ดังนั้น $\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1$

ตารางต่อไปนี้คือรายการรูปแบบยังไม่กำหนดที่พบบ่อย กับการแปลงโดยใช้กฎโลปีตาล

รูปแบบยังไม่กำหนด	เงื่อนไข	การแปลงเป็น $0/0$
0/0	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—
$\infty$/$\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$

อ้างอิง

แหล่งข้อมูล

• Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
• Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201, doi:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447