สมการนาเวียร์–สโตกส์

สมการนาเวียร์–สโตกส์ (อังกฤษ: Navier–Stokes equations) เป็นชุดสมการที่บรรยายการเคลื่อนที่ของของไหลที่มีความหนืด ชื่อของระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนี้ตั้งตามชื่อของโกลด-หลุยส์ นาวีเย (Claude-Louis Navier) กับจอร์จ กาเบรียล สโตกส์ (George Gabriel Stokes) ผู้พัฒนาระบบสมการนี้ขึ้นอย่างต่อเนื่องตลอดระยะเวลาหลายทศวรรษ ตั้งแต่ ค.ศ. 1822 (นาวีเย) ไปยัง ค.ศ. 1842–1850 (สโตกส์) และซีเมอง เดอนี ปัวซงบรรลุผลเดียวกันโดยเป็นอิสระจากทั้งสอง

สมการนาเวียร์–สโตกส์แสดงการดุลโมเมนตัมสำหรับของไหลนิวโทเนียน (Newtonian fluids) ในเชิงคณิตศาสตร์โดยอาศัยหลักการทรงมวล ในบางกรณีชุดสมการนี้ใช้ร่วมกับสมการภาวะ (equation of state) ที่เชื่อมโยงระหว่างความดัน อุณหภูมิ และความหนาแน่น ชุดสมการสร้างจากการประยุกต์กฎข้อที่สองของนิวตันเข้ากับการเคลื่อนที่ของของไหล โดยมีสมมติฐานที่ว่า ความเค้นในตัวของไหลเป็นผลรวมของพจน์ของความหนืดที่มีลักษณะกระจายตัว (แปรผันตรงกับเกรเดียนต์ของความเร็ว) กับพจน์ของความดัน นั่นคือชุดสมการนี้ใช้บรรยายการไหลที่มีความหนืด (viscous flow) อีกทั้งสมการนาเวียร์–สโตกส์ยังเป็นการวางนัยทั่วไปของสมการอ็อยเลอร์ (Euler equations) โดยในแบบจำลองตอนหลังพิจารณาเฉพาะการไหลไร้ความหนืด (inviscid flow)

สมการนาเวียร์–สโตกส์มีความสำคัญอย่างมากทั้งในด้านวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ เนื่องจากสามารถนำมาใช้จำลองภาพสถานการณ์ได้อย่างหลากหลาย โดยทั้งในรูปเต็มและรูปอย่างง่ายของชุดสมการนี้สามารถใช้ออกแบบอากาศยานและรถยนต์ ศึกษาการไหลเวียนโลหิต ออกแบบโรงไฟฟ้า การวิเคราะห์มลพิษ และปัญหาอื่นอีกมาก เมื่อนำชุดสมการมาควบรวมกับสมการของแมกซ์เวลล์ สมการทั้งสองชุดจะเป็นหลักมูลสำคัญของสาขาอุทกพลศาสตร์เชิงแม่เหล็ก (magnetohydrodynamics)

สมการนาเวียร์–สโตกส์ยังเป็นที่สนใจอย่างมากในแง่ของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ แม้ชุดสมการนี้จะมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในทางปฏิบัติ แต่ข้อความคาดการณ์ที่ว่ายังมีผลเฉลยราบเรียบ (หมายถึงสามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกอันดับอย่างไม่สิ้นสุด) หรือผลเฉลยที่มีขอบเขตในสามมิตินั้นยังไม่ได้รับการพิสูจน์ ข้อปัญหานี้เรียกว่าปัญหาการมีอยู่และความราบเรียบของสมการนาเวียร์–สโตกส์ (Navier–Stokes existence and smoothness problem) สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์จัดให้เป็นเป็นหนึ่งในเจ็ดปัญหาเปิดที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ และเสนอเงินรางวัล 1 ล้านดอลลาร์สหรัฐให้แก่ผู้ใดก็ตามที่สามารถหาผลเฉลยหรือหักล้างด้วยตัวอย่างได้สำเร็จ

ความเร็วการไหล

ผลเฉลยของชุดสมการนี้คือความเร็วการไหล (flow velocity) มีลักษณะเป็นสนามเวกเตอร์ กล่าวคือสำหรับทุกจุดภายในของไหล ณ ชั่วขณะใด ๆ ในช่วงเวลาที่กำหนด ชุดสมการจะให้เวกเตอร์ตัวหนึ่งที่มีทิศทางและขนาดของเวกเตอร์เป็นความเร็วของของไหล ณ จุดในพื้นที่และชั่วขณะเวลานั้น ๆ การศึกษาสมการนี้โดยทั่วไปพิจารณาในสามมิติเชิงปริภูมิและหนึ่งมิติเชิงเวลา อีกทั้งมีการศึกษาเชิงอุปมานที่มีมิติสูงกว่าทั้งในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เมื่อสามารถคำนวณสนามความเร็วได้แล้ว ปริมาณอื่นที่สนใจ อาทิ ความดัน หรืออุณหภูมิจะสามารถหาได้โดยใช้สมการและความสัมพันธ์ทางพลวัต แนวคิดนี้แตกต่างจากสิ่งที่พบโดยปกติในกลศาสตร์ดั้งเดิม ซึ่งโดยทั่วไปผลเฉลยนั้นอยู่ในรูปของแนววิถี (trajectory) ของตำแหน่งอนุภาค หรือการเบนของตัวกลางต่อเนื่อง (continuum) การศึกษาความเร็วแทนการศึกษาตำแหน่งจึงสมเหตุสมผลกับของไหลมากกว่า แม้มีวัตถุประสงค์เพื่อการสร้างภาพนามธรรมของการไหล แต่ก็สามารถคำนวณแนววิถีต่าง ๆ ได้เช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นกระแส (streamlines) ของสนามเวกเตอร์ที่ตีความได้ว่าเป็นความเร็วการไหลเป็นเส้นทางที่อนุภาคของไหลไร้มวลจะเคลื่อนที่ไปตามแนวนั้น เส้นทางนี้เรียกว่า เส้นโค้งเชิงปริพันธ์ (integral curve) ซึ่งอนุพันธ์ ณ ทุกจุดของเส้นโค้งเท่ากับสนามเวกเตอร์นั้น และสามารถใช้แสดงให้เห็นพฤติกรรมของสนามเวกเตอร์ ณ ช่วงเวลาหนึ่งได้อย่างเป็นรูปธรรม

สมการทั่วไปสำหรับตัวกลางต่อเนื่อง

สมการโมเมนตัมนาเวียร์–สโตกส์สามารถหาได้ในฐานะรูปแบบเฉพาะของสมการโมเมนตัมโกชี (Cauchy momentum equation) ซึ่งมีรูปแบบการพาทั่วไป (general convective form) เป็น

$${\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {a}$$ โดยกำหนดให้ เทนเซอร์ความเค้นโกชี (Cauchy stress tensor) ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ เป็นผลรวมพจน์ของความหนืด ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ (ความเค้นเบี่ยงเบน หรือ deviatoric stress) กับพจน์ของความดัน ${\textstyle -p\mathbf {I} }$ (ความเค้นเชิงปริมาตร หรือ volumetric stress) เราจะได้

สมการโมเมนตัมโกชี  (รูปแบบการพา) $\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a}$

โดยที่

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ เป็นอนุพันธ์ตามสสาร (material derivative) นิยามเป็น ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$ เป็นความหนาแน่นเชิงมวล
• ${\textstyle \mathbf {u} }$ เป็นความเร็วการไหล
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$ เป็นไดเวอร์เจนซ์
• ${\textstyle p}$ เป็นความดัน
• ${\textstyle t}$ เป็นเวลา
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ เป็นเทนเซอร์ความเค้นเบี่ยงเบน ซึ่งเป็นอันดับที่ 2
• ${\textstyle \mathbf {a} }$ แทนความเร่งเชิงกายภาพที่กระทำต่อทั่วเนื้อตัวกลางต่อเนื่อง (body acceleration) อาทิ ความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วง ความเร่งเฉื่อย และความเร่งจากไฟฟ้าสถิต ฯลฯ

ในรูปแบบนี้ปรากฏว่า หากสมมติให้ของไหลเป็นของไหลไร้ความหนืด ซึ่งหมายความว่าไม่มีความเค้นเบี่ยงเบน ทำให้สมกาโกชีลดรูปเป็นสมการอ็อยเลอร์

สมมติให้เป็นไปตามกฎทรงมวล โดยอาศัยสมบัติที่รู้ของไดเวอร์เจนซ์ (divergence) และเกรเดียนต์ (gradient) เราสามารถใช้สมการภาวะต่อเนื่องเชิงมวล (mass continuity equation) ซึ่งแทนด้วยมวลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรของของไหลเนื้อเดียว (homogeneous fluid) เมื่อเทียบกับพื้นที่และเวลา (กล่าวคือเป็นอนุพันธ์ตามสสาร ${\textstyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$) ของปริมาตรจำกัดใด ๆ (${\textstyle \mathbf {V} }$) เพื่อแสดงการเปลี่ยนแปลงของการไหลในตัวกลางของไหล ดังนี้

$${\begin{aligned}&{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV\\[5pt]&{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\end{aligned}}$$

โดยที่

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$ เป็นอนุพันธ์ตามสสารของมวลต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร (ความหนาแน่น $\rho$)
• ${\textstyle \iiint \limits _{V}{\bigl (}F(x_{1},x_{2},x_{3},t){\bigr )}\,dV}$ เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์สำหรับการหาปริพันธ์ทั่วปริมาตร (${\textstyle V}$)
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ เป็นตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ย่อย
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$ เป็นไดเวอร์เจนซ์ของความเร็วการไหล ($\mathbf {u}$) ซึ่งเป็นสนามสเกลาร์
• ${\textstyle \nabla \rho \,}$ เป็นเกรเดียนต์ของความหนาแน่น ($\rho$) ซึ่งเป็นอนุพันธ์เวกเตอร์ของสนามสเกลาร์

เพื่อนำไปสู่สมการการเคลื่อนที่รูปแบบอนุรักษ์ โดยทั่วไปเขียนได้ดังนี้

สมการโมเมนตัมโกชี  (รูปแบบอนุรักษ์) ${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {a}$

โดยที่ ${\textstyle \otimes }$ เป็นผลคูณภายนอก (outer product) ของความเร็วการไหล (${\textstyle \mathbf {u} }$) เขียนได้ดังนี้

$$\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$$

ด้านซ้ายของสมการบรรยายความเร่ง ซึ่งอาจประกอบขึ้นจากองค์ประกอบที่ขึ้นกับเวลากับองค์ประกอบการพา (รวมถึงผลของระบบพิกัดที่ไม่ใช่ระบบเฉื่อย หากระบบนั้นมีอยู่) ส่วนด้านขวาของสมการนั้นเป็นผลรวมของผลจากความดันอุทกสถิต ไดเวอร์เจนซ์ของความเค้นเบี่ยงเบน และแรงที่กระทำทั่วมวล (อาทิ แรงโน้มถ่วง)

สมการการดุลที่ไม่ขึ้นกับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั้งหมด อาทิ สมการนาเวียร์–สโตกส์ สามารถหาได้โดยเริ่มจากสมการโกชีแล้วระบุเทนเซอร์ความเค้นผ่านความสัมพันธ์เชิงโครงสร้าง (constitutive relation) หากเขียนเทนเซอร์ความเค้นเบี่ยงเบน (เฉือน) ในพจน์ของความหนืดและเกรเดียนต์ความเร็วของของไหล พร้อมทั้งกำหนดให้ความหนืดมีค่าคงตัว สมการโกชีดังกล่าวจะนำไปสู่สมการนาเวียร์–สโตกส์ดังที่ระบุไว้ด้านล่าง

คุณสมบัติยสถาน

ความไม่เป็นเส้นหวนตรงคงที่

สมการนาเวียร์–สโตกส์นี้เป็นสมการอนุพันธ์ย่อยที่ไม่เป็นเส้นตรงในเกือบทุกสถานการณ์จริง ในบางกรณี เช่นการไหลมิติเดียวและการไหลแบบสโตก์ (การไหลแบบช้า ๆ) สมการอาจจะถูกแปลงให้อยู่ในรูปสมการเส้นตรงได้ ความไม่เป็นเส้นตรงทำให้ปัญหาส่วนมากยากหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหา

ความไม่เป็นเส้นตรงนั้นขึ้นกับความเร่งการพาซึ่งเป็นความเร่งที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงความเร็วในแต่ละจุด ดังนั้น การไหลแบบพาไม่ว่าจะเป็นการไหลแบบราบเรียบหรือแบบปั่นป่วน ล้วนแต่เกี่ยวข้องกับสมการไม่เป็นเส้นตรงทั้งสิ้น ตัวอย่างการไหลแบบพาที่เป็นการไหลแบบราบเรียบนั้นคือการไหลของของไหลหนืด เช่น น้ำมัน ผ่านหัวฉีดแบบคอนเวอร์เจนท์ การไหลในรูปแบบนี้ ๆ ไม่ว่าจะสามารถหาคำตอบได้หรือไม่ ก็จะได้รับการศึกษาและทำความเข้าใจอย่างรอบคอบระมัดระวัง

ความปั่นป่วน

ความปั่นป่วนคือช่วงเวลาที่พฤติกรรมอันยุ่งเหยิงของของไหลปรากฏขึ้น ตามความเชื่อโดยทั่วไป การไหลแบบปั่นป่วนนี้เกิดขึ้นมาจากความเฉื่อยของของไหลทั้งหมด ดังนั้นของไหลที่มีความเฉื่อยต่ำ มีแนวโน้มที่จะไหลแบบราบเรียบ (ตัวเลขเรย์โนลด์คือค่าที่บ่งถึงปริมาณผลกระทบของความเฉื่อยในของไหล) แต่ทั้งนี้ทั้งนั้น เชื่อกันว่าสมการนาเวียร์-สโตกส์ไม่ได้อธิบายถึงคุณสมบัติความปั่นป่วน

คำตอบเชิงตัวเลขของสมการนาเวียร์–สโตกส์สำหรับการไหลแบบปั่นป่วนนี้ค่อนข้างซับซ้อน และเนื่องจากการมีช่วงสเกลที่แตกต่างกันมากอย่างเห็นได้ชัดผสมปนเปอยู่ในสมการสำหรับการไหลแบบปั่นป่วน ซึ่งเป็นผลให้คำตอบที่เสถียรสำหรับปัญหาชนิดนี้นั้น เป็นไม่ไม่ได้ในการคำนวณอย่างชัดเจน (อ่านเพิ่มที่ Direct numerical simulation ความพยายามที่จะแก้ปัญหานี้ด้วยการใช้วิธีเดียวกับการคำนวณการไหลแบบราบเรียบนั้น จะส่งผลให้ได้ผลลัพธ์ที่เวลาไม่เสถียร ซึ่งส่งผลให้ไม่สามารถสรุปผลได้ เพื่อการจัดการกับปัญหานี้ การใช้สมการ เวลาเฉลี่ย เช่น Reynolds-averaged Navier–Stokes equations (RANS) การเสริมด้วยแบบจำลองการไหลปั่นป่วน (เช่น แบบจำลอง k-ε) คือวิธีที่ใช้ในทางปฏิบัติของ CFD เพื่อการจำลองการไหลแบบปั่นป่วน วิธีอื่นที่ใช้ในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขคือ Large-eddy simulation (LES) ซึ่งเป็นวิธีที่ใช้เวลาและหน่วยความจำมากกว่า RANS แต่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า เนื่องจากขนาดสเกลของการไหลแบบปั่นป่วนชัดเจนกว่า

ขอบเขตการใช้งาน

การใช้สมการนาเวียร์–สโตกส์ ร่วมกับสมการที่นำมาเสริม (เช่น กฎการอนุรักษ์มวล) และการกำหนดสภาวะขอบเขตที่ดี แบบจำลองที่ได้ดูเหมือนว่าจะเป็นแบจำลองการเคลื่อนไหวของของไหลที่แม่นยำ แม้แต่การไหลแบบปั่นป่วน (ด้วยการอ้างอิงค่าเฉลี่ย) ก็ดูเหมือนว่าจะเป็นไปตามที่ปรากฏในความเป็นจริง

สมการนาเวียร์–สโตกส์สมมติว่าของไหลที่สนใจอยู่ในภาวะต่อเนื่องไม่เคลื่อนไหวในเชิงกลศาสตร์เชิงสัมพัทธภาพ ณ สเกลขนาดเล็กมาก ๆ หรือสภาวะสุดขั้ว ของไหลจริงนั้นเกิดจากการรวมตัวของโมเลกุลที่ไม่มีความต่อเนื่อง จะส่งผลที่แตกต่างไปจากแบบจำลองที่สร้างมาด้วยสมมติฐานว่าของไหลมีความต่อเนื่อง ทั้งนี้ทั้งนั้น ขึ้นอยู่กับตัวเลขคุดเซ็นของปัญหา ซึ่งกลศาสตร์เชิงสถิติ หรือ กลศาสตร์โมเลกุล อาจจะเป็นทางเลือกที่ดีกว่า

ข้อจำกัดอีกประการของสมการนาเวียร์–สโตกส์คือธรรมชาติอันซับซ้อนยากแก่การทำความเข้าใจของสมการ สูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องกับเวลามีปรากฏในกลุ่มของไหลทั่ว ๆ ไป แต่ในการใช้งานสมการนาเวียร์–สโตกส์นี้ การทำให้ความเป็นสากลนี้ลดลงไป ทำให้ได้สูตรที่ซับซ้อน ดังนั้น สมการนาเวียร์–สโตกส์มักจะใช้สำหรับของไหลจำพวกนิวโตเนียน

บรรณานุกรม

• Acheson, D. J. (1990), Elementary Fluid Dynamics, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Oxford University Press, ISBN 0198596790
• Batchelor, G.K. (1967), An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0521663962
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), Fluid mechanics, Course of Theoretical Physics, เล่มที่ 6 (พิมพ์ครั้งที่ 2^nd revised), Pergamon Press, ISBN 0 08 033932 8, OCLC 15017127
• Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne
• Polyanin, A.D.; Kutepov, A.M.; Vyazmin, A.V.; Kazenin, D.A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, ISBN 0-415-27237-8

แหล่งข้อมูลอื่น

• Simplified derivation of the Navier–Stokes equations เก็บถาวร 2017-11-29 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/navierstokes.pdf เก็บถาวร 2012-04-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Millennium Prize problem description.
• CFD online software list เก็บถาวร 2008-11-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน A compilation of codes, including Navier–Stokes solvers.