สมการของแมกซ์เวลล์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

สมการของแมกซ์เวลล์ (อังกฤษ: Maxwell's equations) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์(James Clerk Maxwell) โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ (Oliver Heaviside) สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่างๆ

รายละเอียดโดยย่อ[แก้]

รูปทั่วไป[แก้]

รูป อนุพันธ์ รูป ปริพันธ์
กฎของเกาส์ (Gauss' law) :

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho \oint_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{A} =  \int_V \rho \cdot dV
กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (ความไม่มีอยู่ ของแม่เหล็กขั้วเดียว) (magnetic monopole) :

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 \oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0
กฎของฟาราเดย์ (Faraday's law of induction) :

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \ { d \over dt }   \int_S   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}
กฎของแอมแปร์ (Ampère's law + Maxwell's extension) :

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \oint_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = \int_S \mathbf{J} \cdot d \mathbf{A} + {d \over dt} \int_S \mathbf{D} \cdot d \mathbf{A}
Open surface.png
Closed surface.png

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว

Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)

Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่:

สัญลักษณ์ ความหมาย หน่วยในระบบเอสไอ
\mathbf{E} สนามไฟฟ้า โวลต์ ต่อ เมตร
\mathbf{H} ความเข้มสนามแม่เหล็ก แอมแปร์ ต่อ เมตร
\mathbf{D} ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้า คูลอมบ์ ต่อ ตารางเมตร
\mathbf{B} ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก
เรียกอีกอย่างว่า การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก
เทสลา, เวบเบอร์ ต่อ ตารางเมตร
\ \rho \ ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้าอิสระ คูลอมบ์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร
\mathbf{J} ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า แอมแปร์ ต่อ ตารางเมตร
d\mathbf{A} เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว A ซึ่งมีขนาดน้อยมาก

และมีทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว S

ตารางเมตร
 dV \  ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของปริมาตร V ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิว S ลูกบาศก์เมตร
 d \mathbf{l} เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของเส้นสัมผัสเส้นรอบขอบ C ที่ล้อมรอบพื้นผิว S เมตร

และ


\mathbf{\nabla} \cdot คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

\mathbf{\nabla} \times คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)[แก้]

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป

 \mathbf{D} = \mathbf{D} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )
 \mathbf{B} = \mathbf{B} ( \mathbf{E},\mathbf{H} )
 \mathbf{J} = \mathbf{J} ( \mathbf{E},\mathbf{H} ) (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)

ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม

เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

 \mathbf{D} =  \varepsilon \mathbf{E}
 \mathbf{B} = \mu \mathbf{H}
 \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E}

โดยที่

  •  \varepsilon เรียกว่า ค่าความซาบซึมได้ของสนามไฟฟ้า (permittivity หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
  •  \mu เรียกว่า ค่าความซาบซึมได้ของสนามแม่เหล็ก (permeability) หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
  •  \sigma เรียกว่า ค่าความนำไฟฟ้า (conductivity)


เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร

ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร

ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

Guage Invariant[แก้]

Vector Potential[แก้]

Lagrangian[แก้]

Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

S=-\frac{1}{4}\int d^3x F^{\mu 
u} F_{\mu 
u}

โดยที่

F^{\mu 
u} = \partial^\mu A^
u - \partial^
u A^\mu

Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law

\partial_
u F^{\mu 
u} = 0

สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity.