ทอพอโลยี

การเปลี่ยนรูปถ้วยกาแฟเป็นโดนัท

ทอพอโลยี (อังกฤษ: Topology ,มาจากภาษากรีก: topos, สถานที่ และ logos, การเรียน) เป็นสาขาหลักทางคณิตศาสตร์ ที่สนใจเกี่ยวกับ คุณสมบัติทางรูปร่างที่ไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การดึง ยืด หด บีบ (โดยไม่มีการฉีก การเจาะ หรือ การเชื่อมติดใหม่) โดยเรียกคุณสมบัติเหล่านี้ว่าความไม่แปรผันทางทอพอโลยี ทอพอโลยีได้รับการศึกษาอย่างจริงจังในช่วงปี ค.ศ. 1925 - ค.ศ. 1975

นอกจากนี้ ทอพอโลยี ยังหมายความถึง วัตถุทางคณิตศาสตร์ประเภทหนึ่ง ซึ่งในความหมายนี้ ทอพอโลยี คือ ปริภูมิคณิตศาสตร์ หรือที่เรียกกันว่า ปริภูมิทอพอโลยี (topological space) โดยปริภูมิทอพอโลยี มีนิยามเป็น คอลเล็กชันของเซตเปิด ที่มี $\varnothing, \varnothing^c$ เป็นสมาชิก และ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การยูเนียนใด ๆ (ยูเนียนจำกัด, ยูเนียนอนันต์นับได้ และ ยูเนียนอนันต์นับไม่ได้) และการอินเตอร์เซกชันแบบจำกัด

นักทอพอโลยี มักโดนล้อเลียนว่า ไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่าง โดนัท หรือ วัตถุรูปห่วงยาง กับ แก้วกาแฟมีหูได้ (เพราะทั้งสองสิ่งเป็นวัตถุที่มีผิวเรียบ ต่อเนื่อง และมีรู 1 รูเหมือนกัน ซึ่งสมมูลกันในเชิงทอพอโลยี) ทอพอโลยีบางครั้งถูกเรียกว่า "เรขาคณิตแผ่นยาง" เนื่องจากในการศึกษานั้นจะไม่นับความแตกต่างระหว่างรูปร่างไม่ว่าจะเป็นวงกลมและสี่เหลี่ยม (เนื่องจากวงกลมที่ทำจากแผ่นยางสามารถดึงให้กลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมได้) แต่จะแยกแยะความแตกต่างระหว่างวงกลมและรูปเลขแปด (เราไม่สามารถดึงรูปเลขแปดให้กลายเป็นวงกลมได้โดยไม่ฉีกมันออก)

นิยาม

ให้ X เป็นเซต และ T เป็นเซตของสับเซตของ X เราจะกล่าวว่า T เป็นทอพอโลยีบน X เมื่อ

1. เซตว่าง และ เซต X เป็นสมาชิกของ T
2. ยูเนียนของกลุ่มเซตใดๆที่อยู่ใน T เป็นสมาชิกของ T หรือกล่าวอีกอย่างว่า T มีคุณสมบัติปิดภายใต้ยูเนียน
3. อินเตอร์เซกชันของสองเซตใน T เป็นสมาชิกของ T

ถ้า T เป็นทอพอโลยีบน X เราจะเรียก X กับ T ว่าเป็น topological space (ในหลายครั้งเราจะละ T ไว้แล้วกล่าวว่า X เป็น topological space)

แหล่งข้อมูลอื่น

• Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov (St. Petersburg University)
• An invitation to Topology Planar Machines' web site
• Geometry and Topology Index, MacTutor History of Mathematics archive
• ODP category
• The Topological Zoo by the Geometry Center at the University of Minnesota
• Topology Atlas
• Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas
• Topology Glossary