ทรงหลายหน้า

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ทรงหลายหน้า (อังกฤษ: polyhedron, พหูพจน์: polyhedra) หมายถึง วัตถุทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยหน้าเรียบและขอบตรง

ทรงหลายหน้าเป็นที่น่าหลงใหลของมนุษยชาติมาตั้งแต่ยุคก่อนประวัติศาสตร์ ซึ่งได้ศึกษาอย่างเป็นกิจลักษณะโดยชาวกรีกโบราณ ต่อเนื่องมาจนถึงนักเรียน นักคณิตศาสตร์ และศิลปินทุกวันนี้ คำว่า polyhedron มาจากภาษากรีก πολυεδρον โดยที่ poly- มาจาก πολυς แปลว่า "มากมาย" และ -edron มาจาก εδρον แปลว่า "ฐาน, ที่นั่ง, หน้า"

อะไรคือทรงหลายหน้า[แก้]

ทรงหลายหน้าถูกสร้างขึ้นมาจากความแตกต่างในองค์ประกอบหรือเอกลักษณ์ ซึ่งมีความเกี่ยวเนื่องกับจำนวนที่แตกต่างบนมิติ (dimension) ดังเช่น

  • 3 มิติ: วัตถุ (body) ที่ถูกปิดล้อมด้วยหน้าหลายหน้า และมักจะมีปริมาตร (volume) อยู่ข้างใน
  • 2 มิติ: หน้า (face) ที่ถูกปิดล้อมด้วยขอบเขตเส้นตรง และมักจะเป็นพื้นราบที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม (polygon) เมื่อหลายๆ หน้ารวมกันทำให้เกิดผิวหน้า (surface) ของทรงหลายหน้า
  • 1 มิติ: ขอบ (edge) ที่เชื่อมระหว่างจุดยอดหนึ่งกับจุดยอดอื่น และมักจะเป็นเส้นตรง เมื่อหลายๆ ขอบรวมกันทำให้เกิดโครงสร้าง (skeleton) ของทรงหลายหน้า
  • 0 มิติ: จุดยอด (vertex, พหูพจน์: vertices) คือจุดปลายของทรงหลายหน้า
  • -1 มิติ: ความว่างเปล่า (nullity) องค์ประกอบชนิดหนึ่งที่ใช้อธิบายทฤษฎีเชิงนามธรรม

ทรงหลายหน้าเป็นตัวอย่างที่เป็นสามมิติของโพลีโทป (polytope) ที่มีจำนวนมิติใดๆ

ลักษณะเฉพาะ[แก้]

ชื่อของทรงหลายหน้า[แก้]

ทรงหลายหน้ามักจะถูกตั้งชื่อตามจำนวนหน้า โดยใช้ระบบเลขในภาษากรีกเป็นพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ทรงสี่หน้า (tetrahedron), ทรงห้าหน้า (pentahedron), ทรงหกหน้า (hexahedron), ทรงเจ็ดหน้า (heptahedron), ทรงสามสิบหน้า (triacontahedron) เป็นต้น และมักจะมีการอธิบายชนิดของหน้าบนทรงหลายหน้านั้น เช่น ทรงสิบสองหน้าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (rhombic dodecahedron) กับ ทรงสิบสองหน้าห้าเหลี่ยม (pentagonal dodecahedron) เป็นต้น

แต่ก็มีทรงหลายหน้าพิเศษบางชนิดซึ่งมีชื่อเรียกมานานแล้ว เช่น สัตว์ประหลาดของมิลเลอร์ (Miller's monster) หรือ ทรงหลายหน้าซิแลสซี (Szilassi polyhedron) เป็นต้น

ขอบ[แก้]

ขอบของทรงหลายหน้ามีลักษณะเฉพาะที่สำคัญสองอย่าง ได้แก่

  • ขอบหนึ่งขอบจะเชื่อมต่อระหว่างจุดยอดสองจุดเท่านั้น
  • ขอบหนึ่งขอบเป็นตัวเชื่อมระหว่างหน้าสองหน้าเท่านั้น

ลักษณะเฉพาะออยเลอร์[แก้]

ลักษณะเฉพาะออยเลอร์ (Euler characteristic) แทนด้วยอักษรกรีก ไค ตัวเล็ก (χ) ซึ่งสัมพันธ์กับจำนวนจุดยอด V ขอบ E และหน้า F ของทรงหลายหน้า

\chi = V - E + F

ทรงหลายหน้าอย่างง่าย เช่น ทรงตันเพลโต (Platonic solid) จะมีลักษณะเฉพาะออยเลอร์เท่ากับ 2 เป็นต้น

ภาวะคู่กัน[แก้]

Dual Cube-Octahedron.svg

ภาวะคู่กัน (duality) จะปรากฏในทรงหลายหน้าทุกรูปทรง และเรียกรูปทรงที่คู่กันว่า ทรงหลายหน้าคู่กัน (dual polyhedron) ซึ่งเป็นรูปทรงที่แทนจุดยอดด้วยหน้า และแทนหน้าด้วยจุดยอดไปเป็นอีกรูปทรงหนึ่ง ส่วนใหญ่ทรงหลายหน้าคู่กันสามารถสร้างได้จากกระบวนการการแลกเปลี่ยนเชิงทรงกลม หรือการตัดปลาย (truncation) ของทรงหลายหน้านั้น

ภาพจุดยอด[แก้]

สำหรับทุกๆ จุดยอด เราสามารถสร้างภาพจุดยอด (vertex figure) โดยการลากเส้นที่จุดยอดอื่น ซึ่งเชื่อมต่อรอบจุดยอดที่เราพิจารณา ให้เป็นรูปร่างขึ้นมา

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]