อนุพันธ์สมมาตร

ในคณิตศาสตร์ อนุพันธ์สมมาตรเป็นการดำเนินการที่วางนัยทั่วไปกับอนุพันธ์สามัญ

นิยามว่า^[1]^[2] $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}$

นิพจน์ภายในลิมิตบางทีเรียกว่าผลหารผลต่างสมมาตร ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จุด x ถ้าอนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่จุดนั้น

ถ้าฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในความหมายทั้วไป) ที่จุดนั้น จุดนั้นก็จะหาอนุพันธ์สมมาตรได้ แต่ไม่จำเป็นจะเป็นจริงในทางกลับกัน ตัวอย่างค้านที่พบบ่อยคือฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ${\textstyle f(x)=|x|}$ จะไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ ${\textstyle x=0}$ แต่สามารถหาาอนุพันธ์สมมาตรได้ 0 สำหรับฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ ผลหารผลต่างสมมาตรให้การประมาณทางตัวเลขของอนุพันธ์ได้ดีกว่าผลหารผลต่างปกติ^[3]

อนุพันธ์สมมาตร ณ จุด ๆ หนึ่งเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่จุดนั้น ถ้าหาค่าสองอย่างนั้นได้^[4]^[5]^: 6

ทั้งทฤษฎีบทของโรลล์และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นจะเป็นจริงสำหรับอนุพันธ์สมมาตร บางประพจน์ที่คล้ายกันแต่อ่อนกว่าได้รับการพิสูจน์

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

สำหรับฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ $f(x)=|x|$ ใช้สัญกรณ์ $f_{s}(x)$ สำหรับอนุพันธ์สมมาตร ที่ $x=0$ จะได้

${\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|{-h}|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {|h|-|h|}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0\\\end{aligned}}$

ดังนั้นอนุพันธ์สมมาตรจึงหาค่าได้ที่ $x=0$ แล้ามีค่าเป็น 0 แม้ว่าอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่จุดนั้นก็ตาม (เนื่องจากการหักมุมในกราฟที่ $x=0$ )

สังเกตว่าในตัวอย่างนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาที่ 0 หาค่าได้เป็น -1 และ +1 ตามลำดับ ต่าเฉลี่ยจึงได้ 0 ตามที่คาดไว้

กราฟของ $y = 1/ x 2$ สังเกตความไม่ต่อเนื่องที่ $x = 0$ ฟังก์ชันนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์สามัญที่ $x = 0$ ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ $x = 0$

ฟังก์ชัน x⁻²

สำหรับฟังก์ชัน $f(x)=1/x^{2}$ ที่ $x=0$ จะได้

${\begin{aligned}f_{s}(0)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0-h)}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(h)-f(-h)}{2h}}\\[1ex]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/(-h)^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {1/h^{2}-1/h^{2}}{2h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{2h}}=0\end{aligned}}$

สำหรับฟังก์ชันนี้อนุพันธ์สมมาตรหาค่าได้ที่ $x=0$ ส่วนอนุพันธ์สามัญจะหาค่าไม่ได้ที่ $x=0$ เนื่องจากความไม่ต่อเนื่องในส่วนโค้งที่จุดนั้น นอกจากนี้ทั้งอนุพันธ์ทางซ้ายและทางขวาเป็นอนันต์ที่ 0 เป็นตัวอย่างของภาวะไม่ต่อเนื่องสำคัญ

ฟังก์ชันดิริชเลต์

ฟังก์ชันดิริชเลต์ นิยามว่า $f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}$

สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ทุก $x\in \mathbb {Q}$ แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่ $x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$ ใด ๆ หรือสามารถหาอนุพันธ์สมมาตรได้ที่จำนวนตรรกยะแต่ไม่ได้ทีจำนวนอตรรกยะ

การวางนัยทั่วไป

แนวคิดนี้สามารถการวางนัยทั่วไปยังอนุพันธ์สมมาตรอันดับสูงอื่น ๆ และทั้งปริภูมิยุคลิด n-มิติ

อนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง

อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองสามารถนิยามได้ดังนี้^[6]^[7]^: 1 $\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}$

ถ้าอนุพันธ์สามัญอันดับสองหาค่าได้ แล้วอนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้ และจะมีค่าเท่ากัน อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์สามัญอันดับสองจะหาค่าไม่ได้ก็ตามดังตัวอย่าง พิจารณาฟังก์ชันเครื่องหมาย $\operatorname {sgn}(x)$ ซึ่งได้นิยามไว้ว่า $\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&,x<0\\0&,x=0\\1&,x>0\end{cases}}$ ฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์สามัญอันดับสองสไหรับ $x=0$ จะหาค่าไม่ได้ แต่อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองหาค่าได้สำหรับ $x=0$ $\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.$

ดูเพิ่ม

อ้างอิง

↑ Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
↑ Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.
↑ Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Calculus With Applications. Springer. p. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.
↑ Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
↑ Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.
↑ A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
↑ Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.

แหล่งข้อมูลอื่น

Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Symmetric derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Approximating the Derivative by the Symmetric Difference Quotient (Wolfram Demonstrations Project)

[Mercer2014-1] Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[Thomson-2] Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.

[LaxTerrell2013-3] Peter D. Lax; Maria Shea Terrell (2013). Calculus With Applications. Springer. p. 213. ISBN 978-1-4614-7946-8.

[Mercer20142-4] Peter R. Mercer (2014). More Calculus of a Single Variable. Springer. p. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[Thomson2-5] Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.

[Zygmund2002-6] A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.

[Thomson3-7] Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. ISBN 0-8247-9230-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]