ค่าสัมบูรณ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์

ในคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus)ของจำนวนจริง x ใด ๆ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ ได้จากการตัดเครื่องหมายลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และค่าสัมบูรณ์ของ −3 ก็คือ -3 เช่นกัน

นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนควอเตอร์เนียน ริงเรียงอันดับ ฟีลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และนำไปสู่นอร์มเหนือปริภูมิเวกเตอร์

นิยามบนจำนวนจริง[แก้]

สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ , ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ไม่เป็นจำนวนลบ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์

สมบัติของค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริง[แก้]

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง ใด ๆ

ความไม่เป็นลบ (Non-negativity)
สมบัติความเป็นบวกแน่นอน (Positive-definiteness)
สมบัติแยกคูณ (Multiplicativity)
สมบัติ Subadditivity หรือเรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ

สมบัตินิจพล (Idempotence)
ความสมมาตรผ่านการสะท้อน หรือ ความเป็นฟังก์ชันคู่
อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม
(เมื่อ ) สมบัติการแยกหาร
อสมการอิงรูปสามเหลี่ยมย้อนกลับ

สมบัติที่สำคัญอีกสองข้อของค่าสัมบูรณ์มีดังนี้

or

ซึ่งใช้ในการแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ อาทิ

ค่าสัมบูรณ์บนจำนวนเชิงซ้อน[แก้]

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ใด ๆ เมื่อ เป็นจำนวนจริง จะนิยามค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัสของ ได้ดังนี้

เมื่อ Re(z) แทนส่วนจริง และ Im(z) แทนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z