ค่าสัมบูรณ์

ในคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus)ของจำนวนจริง x ใด ๆ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ ได้จากการตัดเครื่องหมายลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และค่าสัมบูรณ์ของ −3 ก็คือ 3 เช่นกัน

นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนควอเตอร์เนียน ริงเรียงอันดับ ฟีลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และนำไปสู่นอร์มเหนือปริภูมิเวกเตอร์

นิยามบนจำนวนจริง

สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ , ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ไม่เป็นจำนวนลบ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์

สมบัติของค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริง

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง $a,b,c$ ใด ๆ

$\|a\|\geq 0$	ความไม่เป็นลบ (Non-negativity)
$\|a\|=0\iff a=0$	สมบัติความเป็นบวกแน่นอน (Positive-definiteness)
$\|ab\|=\left\|a\right\|\left\|b\right\|$	สมบัติแยกคูณ (Multiplicativity)
$\|a+b\|\leq \|a\|+\|b\|$	สมบัติ Subadditivity หรือเรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ

${\bigl \|}\left\|a\right\|{\bigr \|}=\|a\|$	สมบัตินิจพล (Idempotence)
$\left\|-a\right\|=\|a\|$	ความสมมาตรผ่านการสะท้อน หรือ ความเป็นฟังก์ชันคู่
$\|a-b\|\leq \|a-c\|+\|c-b\|$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม
$\left\|{\frac {a}{b}}\right\|={\frac {\|a\|}{\|b\|}}\$ (เมื่อ $b\neq 0$ )	สมบัติการแยกหาร
$\|a-b\|\geq {\bigl \|}\left\|a\right\|-\left\|b\right\|{\bigr \|}$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยมย้อนกลับ