จำนวนเชิงซ้อน

ในทางคณิตศาสตร์ เซตของจำนวนเชิงซ้อน คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน $i$ ซึ่งทำให้สมการ $i^{2}+1=0$ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน $z$ ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป $x+iy$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก $x$ และ $y$ ว่าส่วนจริงและส่วนจินตภาพของ $z$ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ $\mathbb {C}$ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จำเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า "เชิงซ้อน" ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

นิยาม

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน

ฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน $\mathbb {C}$ ประกอบด้วยเซตของคู่ลำดับ $(a,b)$ ทั้งหมดโดยที่ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และปฏิบัติการสองตัวคือ $+$ (การบวก) และ $\cdot$ (การคูณ) โดยปฏิบัติการทั้งมีนิยามดังต่อไปนี้

ให้ $(a,b)$ และ $(c,d)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,$

เมื่อการบวก การลบ และการคูณภายในคู่ลำดับคือการบวก การลบ และการคูณจำนวนจริง

เซตของจำนวนเชิงซ้อนและปฏิบัติการทั้งสองมีสมบัติเป็นฟีลด์ กล่าวคือ

• การบวกและการคูณมีสมบัติปิด การสลับที่ การเปลี่ยนกลุ่ม และการแจกแจง
• มีเอกลักษณ์การบวกคือ $(0,0)$
• มีเอกลักษณ์การคูณคือ $(1,0)$
• อินเวอร์สการบวกของ $z=(a,b)$ (เขียนแทนด้วย $-z$) คือ (-a,-b)
• ถ้าหาก $z=(a,b)\neq (0,0)$ อินเวอร์สการคูณของ $z$ (เขียนแทนด้วย $z^{-1}$) คือ $\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)$

จำนวนเชิงซ้อนในฐานะปริภูมิเวกเตอร์และฟีลด์ต่อเติม

อนึ่ง เราอาจมองเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบนเซตของจำนวนจริง เราสามารถใช้การบวกจำนวนเชิงซ้อนแทนการบวกเวกเตอร์ และการคูณด้วยสเกลาร์สามารถนิยามได้ดังต่อไปนี้

$c(a,b)=(ca,cb)=(a,b)c\,$ เมื่อ $c$ เป็นจำนวนจริงและ $(a,b)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ด้วยเหตุนี้เราได้ว่าฐานหลักหนึ่งของเซตของจำนวนเชิงซ้อนประกอบด้วยเวกเตอร์ $(1,0)$ และ $(0,1)$ กล่าวคือเราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวในรูปของผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ทั้งสอง:

$(a,b)=a(1,0)+b(0,1)\,$

ตามความนิยม เรามักแปลความหมายของ $(a,0)=a(1,0)$ ว่าเป็นจำนวนจริง $a$ (ด้วยเหตุนี้เราจึงกล่าวว่าเซตจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตจำนวนเชิงซ้อน) และมักใช้สัญลักษณ์ $i$ แทน $(0,1)$ จำนวนเชิงซ้อน $(a,b)$ จึงเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า $a+bi$ ซึ่งเป็นที่นิยมใช้มากกว่าแบบคู่ลำดับ

จากนิยามการคูณจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น เราได้ว่า $i^{2}=(-1,0)=-1$ นั่นคือ $i$ เป็นคำตอบของสมการ $x^{2}+1=0$ ซึ่งไม่สามารถหาคำตอบได้ในเซตของจำนวนจริง ดังนั้น เซตของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟีลด์ต่อเติม (field extension) ของเซตของจำนวนจริงโดยการเพิ่มรากของพหุนาม $x^{2}+1$ อีกนัยหนึ่ง เซตของจำนวนเชิงซ้อนคือริงผลหาร (quotient ring) ของริงพหุนาม $\mathbb {R} [x]$ กับไอดีล $(x^{2}+1)$ เขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์ได้ว่า

$\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$

สัญลักษณ์และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง

ส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ถ้า $z=a+bi\,$ เราเรียก $a$ ว่า ส่วนจริง ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Re (z)$ และเราเรียก $b$ ว่า ส่วนจินตภาพ ของ $z$ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\Im (z)$ เราเรียกจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็น 0 และส่วนจินตภาพไม่เป็น 0 ว่าจำนวนจินตภาพ

สังยุคเชิงซ้อน

ถ้า $z=a+bi\,$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน สังยุคของ $z$ คือ $a-bi\,$ เราเขียนแทนสังยุคของ $z$ ด้วย ${\bar {z}}$ สังยุคของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

1. ${\overline {z_{1}+z_{2}}}={\bar {z}}_{1}+{\bar {z}}_{2}$
2. ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\bar {z}}_{1}{\bar {z}}_{2}$
3. $z+{\bar {z}}=2\Re (z)$
4. $z-{\bar {z}}=2\Im (z)$

เมื่อ $z$, $z_{1}$, $z_{2}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน

ขนาดของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi\,$ เขียนแทนด้วย $|z|$ คือจำนวนจริงบวก ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ เราอาจแปลความหมายของขนาดของจำนวนเชิงซ้อนได้ว่าเป็นความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุด (0,0) ไปยังจุด (a,b) บนระนาบคาร์ทีเชียน ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนมีสมบัติสำคัญๆ ดังต่อไปนี้

1. $\left|z\right\vert =\left|{\bar {z}}\right\vert$
2. $\left|z\right\vert ^{2}=z{\bar {z}}$
3. $\left|z_{1}z_{2}\right\vert =\left|z_{1}\right\vert \left|z_{2}\right\vert$
4. $\left|z_{1}+z_{2}\right\vert \leq \;\left|z_{1}\right\vert +\left|z_{2}\right\vert$ (อสมการสามเหลี่ยม)
5. $\left|z_{1}-z_{2}\right\vert \geq \;{\big |}\left|z_{1}\right\vert -\left|z_{2}\right\vert {\big |}$
6. $\left|z\right\vert =0$ ก็ต่อเมื่อ $z=0\,$

เมื่อ $z$, $z_{1}$, และ $z_{2}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากสมบัติข้อที่สองและการแทนจำนวนจริง $a$ ด้วยจำนวนเชิงซ้อน $(a,0)$ ทำให้เราได้ว่าถ้า $z\neq 0$

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

ระนาบเชิงซ้อน

เรายังสามารถมองจำนวนเชิงซ้อนเป็นจุดหรือเวกเตอร์บนระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติ และมักจะเรียกระนาบนี้ว่าระนาบเชิงซ้อน (complex plane) หรือผังของอาร์กานด์ ตามชื่อของ ชอง-โรแบร์ต อาร์กานด์ ผู้ค้นพบ

พิกัดคาร์ทีเซียนของจำนวนเชิงซ้อน $z=a+bi\,$ คือ $(a,b)$ ในขณะที่พิกัดเชิงขั้วคิอ $(r,\varphi )\,$ เมื่อ $r=|z|$ และ $\varphi \,$ เป็นมุมที่เวกเตอร์ $(a,b)$ ทำกับแกน $x$ ในหน่วยเรเดียน เราเรียก $\varphi \,$ ว่า อาร์กิวเมนต์ของ $z$ และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $\arg(z)$ สังเกตว่าจำนวนเชิงซ้อนที่มีอาร์กิวเมนต์ต่างกันเท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มกับ $2\pi$ จะมีค่าเท่ากัน

สูตรของออยเลอร์ช่วยแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว อีกทั้งยังช่วยให้เราสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังต่อไปนี้

$z=a+bi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }\,$

และเรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่า

$r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))$

และ

${\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\phi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))$

เมื่อ $r_{2}\neq 0$ ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถมองการคูณจำนวนเชิงซ้อนตัวหนึ่งๆ ว่าเป็นการหมุนและการยืด (หรือหด) เวกเตอร์ด้วยอาร์กิวเมนต์และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้นตามลำดับ

การคูณด้วย $i=e^{i\pi /2}$ จึงสมมูลกับการหมุนเวกเตอร์ 90 องศาทวนเข็มนาฬิกา สมการ ฉะนั้นเราสามารถเข้าใจความหมายของสมการ $i^{2}=-1$ ได้อีกนัยหนึ่งว่า "การหมุน 90 องศาสองครั้งมีค่าเท่ากับการหมุน 180 องศา" หรือ "เมื่อหมุนเวกเตอร์ $(0,1)$ ไป 90 องศา ผลลัพธ์ที่ได้คือเวกเตอร์ (-1,0)"

สมบัติต่างๆ

การเรียงลำดับ

$\mathbb {C}$ ไม่เป็นฟีลด์อันดับ กล่าวคือเราไม่สามารถเรียงลำดับจำนวนเชิงซ้อนโดยที่การเรียงลำดับนั้นสอดคล้องกับการบวกและการคูณจำนวนเชิงซ้อนได้เลย

ปริภูมิเวกเตอร์

อย่างที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น $\mathbb {C}$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์สองมิติบน $\mathbb {R}$ เราได้ว่าการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb {R}$ ($\mathbb {R}$-linear map) ทุกตัวจะสามารถเขียนได้ในรูป

$f(z)=az+b{\bar {z}}$

เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ เราได้ว่าฟังก์ชัน $f_{1}(z)=a(z)$ เป็นการหมุนและการยืดเวกเตอร์ ส่วนฟังก์ชัน $f_{2}(z)=b{\bar {z}}$ นั้นประกอบด้วยการหมุน การพลิก และการยืดเวกเตอร์ในฟังก์ชันเดียว สังเกตว่า $f_{1}$ เท่านั้นที่เป็นการแปลงเชิงเส้นบน $\mathbb {C}$ และเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของ $f_{2}$ ได้ในเซตของจำนวนจริง แต่อนุพันธ์นั้นไม่สอดคล้องกับสมการโคชี-รีมันน์

สมบัติเชิงพีชคณิต

$\mathbb {C}$ (หรือฟีลด์อื่นที่สมสัณฐานกับ $C$) จะมีลักษณะจำเพาะสามประการ ดังนี้

• มีแคแรกเทอริสติก 0
• มีดีกรีอดิศัยเมื่อเทียบกับฟีลด์เฉพาะใดๆ เท่ากับขนาดของเซตจำนวนจริง
• มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิต (ดู ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต)

ด้วยเหตุนี้ $\mathbb {C}$ จึงมีฟีลด์ย่อยแท้ที่สมสัณฐานกับตัวมันเองอยู่เป็นจำนวนมาก นอกจากนี้กาลอยด์กรุปของ $\mathbb {C}$ บนเชตของจำนวนตรรกยะมีขนาดเท่ากับเซตกำลังของเซตของจำนวนจริง