เซตกำลัง

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
สมาชิกของเซตกำลังของเซต {x, y, z} เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด

ตามหลักวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต (อังกฤษ: power set) ของเซต S ใดๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ , P(S), ℙ(S), (S) หรือ 2S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใดๆ [1]

เซตย่อยใดๆ ของ เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

ตัวอย่าง[แก้]

ถ้า S เป็นเซต {x, y, z} แล้วเซตย่อยของ S ได้แก่:

  • {} (อาจเขียนแทนด้วย เรียกเซตว่าง)
  • {x}
  • {y}
  • {z}
  • {x, y}
  • {x, z}
  • {y, z}
  • {x, y, z}

ดังนั้นเซตกำลังของ S คือ {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} [2]

สมบัติ[แก้]

ถ้า เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ คือ ทำให้เกิดสัญกรณ์ สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

เขียนเซตย่อยใดๆ ของ ในรูปแบบ ซึ่ง มีค่า หรือ ถ้า สมาชิกตัวที่ ของ อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้นๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใดๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้นๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใดๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้นๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน[แก้]

ในวิชาทฤษฎีเซต XY เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2S (นั่นคือ {0,1}S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2S กับ โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2S และ ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ XY และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2S| = 2|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่ เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2n−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้นๆ ดังนั้น {x, y} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้

  • { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
  • {x} = 100 = 4
  • {y} = 010 = 2
  • {z} = 001 = 1
  • {x, y} = 110 = 6
  • {x, z} = 101 = 5
  • {y, z} = 011 = 3
  • {x, y, z} = 111 = 7

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม[แก้]

เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่ เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

  • เซตขนาด 0 เซต
  • เซตขนาด 1 เซต
  • เซตขนาด 2 เซต
  • เซตขนาด 3 เซต

อ้างอิง[แก้]

  1. Devlin (1979) หน้า 50
  2. Puntambekar (2007), หน้า 1-2

รายชื่อหนังสืออ้างอิง[แก้]