จำนวนจินตภาพ

... (ทำรูปแบบซ้ำ จากบริเวณสีน้ำเงิน)

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

in = im เมื่อ m ≡ n mod 4

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ (อังกฤษ: imaginary number) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเขียนเป็นจำนวนจริงคูณด้วยหน่วยจินตภาพ i ซึ่งกำหนดให้ i² = −1 รากของจำนวนจินตภาพ bi คือ −b² ตัวอย่างเช่น 5i เป็นจำนวนจินตภาพ และรากของมันคือ −25 ในบทนิยาม ศูนย์เป็นทั้งจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ

ผู้คิดค้นจำนวนจินตภาพคนแรกคือเรอเน เดการ์ตในคริสต์ศตวรรษที่ 17 โดยตั้งเป็นคำดูถูกและถือกันว่าไม่มีอยู่จริงหรือไร้ประโยชน์ แนวคิดนี้ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางหลังจากงานตีพิมพ์ของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ในคริสต์ศตวรรษที่ 18) และออกุสแต็ง-ลุยส์ โกชีกับคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19)

จำนวนจินตภาพ bi สามารถเพิ่มเป็นจำนวนจริง a เพื่อทำให้เกิดจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi โดยจำนวนจริง a และ b ถูกเรียกตามลำดับว่า ส่วนจริง กับ ส่วนจินตภาพ ของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม

จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ z อาจเขียนได้ดังนี้

$z=x+iy\$

โดยที่ $x\$ และ $y\$ เป็น จำนวนจริง (real number) และ $i\$ เป็นหน่วยจินตภาพ (imaginary unit) ซึ่งมีคุณสมบัติตามนิยาม ดังนี้

$i^{2}=-1\$

จำนวน $x\$ นิยามได้จาก

$x=\operatorname {Re} (z)$

เป็นส่วนจริง (real part) ของจำนวนเชิงซ้อน $z\$ และ $y\$ นิยามได้จาก

$y=\operatorname {Im} (z)$

เป็นส่วนจินตภาพ (imaginary part) แม้ว่าเดิมนั้นเดการ์ตส์จะใช้คำว่า "จำนวนจินตภาพ" เพื่อหมายถึงสิ่งที่ปัจจุบันนี้รู้จักกันว่า "จำนวนเชิงซ้อน" (complex number) แต่คำว่า "จำนวนจินตภาพ" ในปัจจุบัน ก็มักจะหมายถึงจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ 0 นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในรูป i y ศูนย์ (0) เป็นเพียงจำนวนเดียวที่เป็นทั้งจำนวนจริง และจำนวนจินตภาพ

บทแทรก

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\ ,{\dot {a}}$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\ ,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\ ,$

...

เป็นต้น

บรรณานุกรม

• Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., explains many applications of imaginary expressions.

แหล่งข้อมูลอื่น

• How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
• 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
• Why Use Imaginary Numbers? เก็บถาวร 2019-08-25 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers