ข้ามไปเนื้อหา

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
กราฟของฟังก์ชันซึ่งแสดงสัดส่วนระหว่างพลังงานทั้งหมดที่ถูกส่งออกมาจากวัตถุดำ กับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ และเส้นสีฟ้าแสดงถึงพลังงานทั้งหมดตามการประมาณของวีน (Wien approximation)

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน (อังกฤษ: Stefan–Boltzmann law) ใช้อุณหภูมิเพื่ออธิบายถึงพลังงานที่วัตถุดำแผ่รังสีออกมา โดยกล่าวว่าพลังงานทั้งหมดซึ่งวัตถุดำแผ่ออกมาต่อหน่วยพื้นที่ผิวที่ความยาวคลื่นทุกค่าต่อหน่วยเวลา (หรือเรียกว่าความเปล่งรังสีของวัตถุดำ) ซึ่งแปรผันตรงกับอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ ของวัตถุดำ T กำลังสี่:

ในที่นี้ σ เป็นค่าคงตัว เรียกว่า ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน (Stefan–Boltzmann constant) ซึ่งหามาได้จากค่าคงตัวทางฟิสิกส์ค่าอื่นที่รู้อยู่แล้ว ค่าคงตัวนี้มีค่าเท่ากับ

เมื่อ k เป็นค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน h เป็นค่าคงตัวของพลังค์ และ c เป็นอัตราเร็วของแสงในสุญญากาศ ความแรงรังสี (radiance) จากองศาการมองที่กำหนด (วัตต์ต่อตารางเมตรต่อสเตอเรเดียน) ถูกกำหนดไว้เป็น

วัตถุที่ไม่ดูดกลืนรังสีตกกระทบทั้งหมด (บางครั้งถูกเรียกว่าวัตถุเทา) ปล่อยพลังงานรวมทั้งหมดน้อยกว่าวัตถุดำและมีคุณลักษณะสภาพเปล่งรังสี (Emissivity) :

การเปล่งรังสี มีมิติ (dimensional analysis) เป็นฟลักซ์พลังงาน (energy flux) (พลังงานต่อหน่วยเวลาต่อหน่วยพื้นที่) และหน่วย SI ของมันคือจูลต่อวินาทีต่อตารางเมตรหรือวัตต์ต่อตารางเมตร หน่วย SI ของอุณหภูมิสัมบูรณ์ T คือเคลวิน สภาพเปล่งรังสีของวัตถุเทาคือ และหากเป็นวัตถุดำที่สมบูรณ์ ส่วนในกรณีทั่วไป (และสมจริงกว่า) นั้นสภาพเปล่งรังสีขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น

เราสามารถหากำลังทั้งหมดที่ถูกแผ่รังสีออกมาจากวัตถุได้ด้วยการคูณด้วยพื้นที่ผิว :

อนุภาคระดับความยาวคลื่นและเล็กกว่าความยาวคลื่น[1] อภิวัสดุ (metamaterial)[2] และโครงสร้างนาโนอื่น ๆ ไม่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดของทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิตหรือรังสี และอาจถูกออกแบบมาให้เกินกว่ากฎของชเต็ฟฟัน-บ็อลทซ์มัน

ประวัติ

[แก้]

ในปี ค.ศ. 1864 จอห์น ทินดัลล์ (John Tyndall) นำแสนอการวัดค่าการเปล่งรังสีอินฟราเรดของเส้นใยทองคำขาวและสีของเส้นใยที่สอดคล้องกัน[3][4]

สัดส่วนกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์นั้นถูกนิรนัยโดยโยเซ็ฟ ชเต็ฟฟัน (ค.ศ. 1835–1893) ในปี ค.ศ. 1879 บนพื้นฐานของการวัดผลการทดลองของทินดัลล์ในบทความ Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างการแผ่รังสีความร้อนกับอุณหภูมิ) ใน Bulletins from the sessions ของ Vienna Academy of Sciences.[5][6]

ลูทวิช บ็อลทซ์มัน (ค.ศ. 1844–1906) ได้นำเสนอการอนุพัทธ์กฎนี้ผ่านการพิจารณาเชิงทฤษฎีในปี ค.ศ. 1884 โดยนำงานของอาดอลโฟ บาร์โตลี (Adolfo Bartoli) มาใช้[7] ในปี ค.ศ. 1876 บาร์โทลิได้อนุพัทธ์การมีอยู่ของแรงดันรังสี (radiation pressure) จากหลักอุณหพลศาสตร์ และต่อมาบ็อลทซ์มันได้พิจารณาถึงเครื่องจักรความร้อนที่ใช้รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นสิ่งที่ทำงานแทนแก็สอุดมคติ

กฎนี้ถูกยืนยันผ่านการทดลองแทบจะทันที ไฮน์ริช ฟรีดริช เวเบอร์ ได้ชี้ให้เห็นการเบี่ยงเบนในอุณหภูมิที่สูงกว่าแต่ได้มีการยืนยันถึงความแม่นยำเกือบสมบูรณ์ภายในความไม่แน่นอนของการวัดในอุณหภูมิสูงถึง 1535 เคลวินในปี ค.ศ. 1897[8] กฎนี้รวมไปถึงการคาดการณ์เชิงทฤษฎีของค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันว่าเป็นฟังก์ชันของอัตราเร็วของแสง ค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน และค่าคงตัวของพลังค์เป็นผลพวงโดยตรงของกฎของพลังค์อย่างที่ถูกกำหนดไว้ในปี ค.ศ. 1900

ตามการนิยามหน่วยฐานเอสไอใหม่ พ.ศ. 2562 ซึ่งแก้ไขค่าของค่าคงตัวบ็อลทซ์มัน k ค่าคงตัวของพลังค์ h และอัตราเร็วของแสง c ค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ

ตัวอย่าง

[แก้]

อุณหภูมิของดวงอาทิตย์

[แก้]

ชเต็ฟฟันยังได้คำนวณอุณหภูมิบนพื้นผิวของดวงอาทิตย์ด้วยกฎของเขา[5]: 426–427 . เขาอนุมานจากข้อมูลของ ฌัก-หลุยส์ ซอแร (Jacques-Louis Soret; 1827–1890)[9] ได้ว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าความหนาแน่นของฟลักซ์พลังงานจากแผ่นโลหะบาง ๆ ชนิดหนึ่งที่ร้อนถึง 29 เท่า แผ่นบาง (lamella) รูปร่างกลมถูกวางไว้ห่างไประยะหนึ่งซึ่งทำให้มองเห็นอยู่ในมุมเดียวกับดวงอาทิตย์ โซเรต์ประมาณไว้ว่าอุณหภูมิของแผ่นบางคือประมาณ 1900 ถึง 2000°C ชเต็ฟฟันสันนิษฐานว่า ⅓ ของฟลักซ์พลังงานจากดวงอาทิตย์ถูกดูดกลืนโดยบรรยากาศของโลก เขาจึงถือว่าฟลักซ์พลังงานของดวงอาทิตย์ที่ถูกต้องมีค่ามากกว่าค่าของโซเรต์ 3/2 เท่า คือ 29 × 3/2 = 43.5 เท่า

ค่าของการดูดกลืนของบรรยากาศไม่เคยมีการวัดค่าอย่างแม่นยำจนกระทั่งปี ค.ศ. 1888 และ 1904 ค่าของอุณหภูมิที่ชเต็ฟฟันได้มาคือค่ามัธยฐานของค่าก่อน ๆ คือ 1950 °C และค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 2200 K ในเมื่อ 2.574 = 43.5 จึงอนุมานตามกฎได้ว่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์มีค่ามากกว่าอุณหภูมิของแผ่นบางแผ่นนั้น 2.57 เท่า เขาจึงได้ค่าออกมาเท่ากับ 5430 °C หรือ 5700 K (ค่าที่วัดได้ปัจจุบันคือ 5778 K[10]) นี่เป็นการวัดค่าอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ที่สมเหตุสมผลเป็นครั้งแรก แต่ก่อนนี้ค่าที่วัดได้มีค่าต่ำสุดตั้งแต่ 1800 °C จนถึงค่าสูงสุด 13,000,000 °C[11] โกลด ปูยเย (Claude Pouillet) (ค.ศ. 1790–1868) คำนวณได้ค่าต่ำสุด 1800 °C ในปี ค.ศ. 1838 โดยใช้กฎของดูลง–เปอตี (Dulong–Petit law)[12]

อุณหภูมิของดาวฤกษ์

[แก้]

อุณหภูมิของดาวฤกษ์ดวงอื่นนอกเหนือจากดวงอาทิตย์สามารถประมาณได้ด้วยวิธีที่คล้ายกันโดยการถือพลังงานที่เปล่งออกมาเสมือนการแผ่รังสีของวัตถุดำ[13] So:

โดย L เป็นกำลังส่องสว่าง σ เป็นค่าคงตัวของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน R เป็นรัศมีของดาว (stellar radius) และ T เป็นอุณหภูมิยังผล เราสามารถใช้สูตรเดียวกันเพื่อคำนวณรัศมีโดยประมาณของดาวฤกษ์แถบลำดับหลัก (main sequence stars) เทียบกับของดวงอาทิตย์:

โดย เป็นรัศมีดวงอาทิตย์ เป็นความสว่างดวงอาทิตย์เป็นต้น

นักดาราศาสตร์สามารถอนุมานหารัศมีของดาวฤกษ์ได้ด้วยกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มัน

กฎนี้ปรากฏในอุณหพลศาสตร์ (Black hole thermodynamics) ของหลุมดำในสิ่งที่เรียกว่าการแผ่รังสีฮอว์กิง

อุณหภูมิยังผลของโลก

[แก้]

ในทางคล้ายกันเราสามารถคำนวณอุณหภูมิยังผลของโลก T ด้วยการจับพลังงานที่ได้รับจากดวงอาทิตย์มาเท่ากับพลังงานที่แผ่รังสีจากโลกภายใต้การประมาณของวัตถุดำ (การผลิตพลังงานของโลกเองนั้นน้อยพอที่ไม่จำเป็นต้องสนใจ) กำลังส่องสว่างของดวงอาทิตย์ L ถูกกำหนดไว้เป็น:

พลังงานเคลื่อนมาที่โลกผ่านทรงกลมรัศมี a0 หรือระยะทางจากดวงอาทิตย์มาที่โลก ความรับอาบรังสี (irradiance) (พลังที่ได้รับต่อหน่วยพื้นที่) ถูกกำหนดไว้เป็น

รัศมีของโลกเท่ากับ R ดังนั้นจึงมีพื้นที่ตัดขวางเท่ากับ ฟลักซ์การแผ่รังสี (radiant flux) (นั่นคือ พลังแสงอาทิตย์) ที่โลกดูดกลืนถูกกำหนดเป็น:

เพราะกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันใช้เลขชี้กำลังที่สี่ จึงมีผลให้การแลกเปลี่ยนเสถียร ฟลักซ์ที่ถูกปล่อยจากโลกจึงมีแนวโน้มเท่ากับฟลักซ์ที่ดูดกลืน และมีสภาพใกล้เคียงกับสภาวะคงที่:

T จึงหาได้จาก:

โดย T เป็นอุณหภูมิของดวงอาทิตย์ R เป็นรัศมีของดวงอาทิตย์ และ a0 เป็นระยะทางระหว่างโลกกับดวงอาทิตย์ ทั้งหมดนี้ให้ค่าอุณหภูมิยังผลของโลกเท่ากับ 6 °C บนพื้นผิวของโลก เมื่อเราถือว่าโลกไม่มีชั้นบรรยากาศและสามารถดูดกลืนการเปล่งรังสีที่ตกกระทบได้ทั้งหมด

โลกมีอัตราส่วนสะท้อนเท่ากับ 0.3 นั่นหมายความว่า 30% ของรังสีจากดวงอาทิตย์ที่ชนโลกนั้นจะสะท้อนกลับไปในอวกาศ ผลของอัตราส่วนสะท้อนที่มีต่ออุณหภูมิสามารถถูกประมาณได้ว่าพลังงานที่ถูกดูดกลืนลดลงเหลือ 70% แต่โลกก็จะยังแผ่รังสีออกแบบวัตถุดำ (ตามนิยามของอุณหภูมิยังผลซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังคำนวณ) การประมาณอันนี้ลดอุณหภูมิที่คำนวณลงได้ 0.71/4 เท่าเหลือ 255 K (−18 °C)[14][15]

อุณหภูมิที่คำนวณได้ด้านบนเป็นอุณหภูมิของโลกอย่างที่มองเห็นจากอวกาศ ไม่ใช่อุณหภูมิบนพื้นผิวแต่เป็นค่าเฉลี่ยของวัตถุที่เปล่งรังสีทั้งหมดตั้งแต่บนพื้นผิวจนถึงพื้นที่ระดับสูง อุณหภูมิพื้นผิวเฉลี่ยจริงของโลกคือประมาณ 288 K (15 °C) ซึ่งสูงกว่าอุณหภูมิยังผล 255 K และอุณหภูมิของวัตถุดำ 279 K เนื่องมาจากปรากฏการณ์เรือนกระจก

ด้านบนเราสมมติว่าพื้นผิวทั้งหมดของโลกมีอุณหภูมิเดียวกัน เราจึงถามได้อีกว่าอุณหภูมิของพื้นผิววัตถุดำบนโลกจะมีอุณหภูมิเท่าใดหากเราสมมติว่าผิวนั้นอยู่ในสภาวะสมดุลกับแสงอาทิตย์ที่ตกกระทบ แต่นี่ขึ้นอยู่กับองศาของแสงอาทิตย์และปริมาณบรรยากาศที่แสงส่องผ่าน เมื่อดวงอาทิตย์อยู่เหนือศีรษะและพื้นผิวนอนราบ ความรับอาบรังสีสามารถสูงถึง 1120 W/m2[16] และเราได้อุณหภูมิจากกฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันเท่ากับ

หรือ 102 °C (ด้านบนชั้นบรรยากาศอุณหภูมิจะสูงขึ้นเป็น: 394 K.) เราสามารถมองพื้นผิวของโลกได้ว่า "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลในช่วงเวลากลางวันแต่ถูกทำให้เย็นลงโดยบรรยากาศ และ "พยายาม" กลับเข้าสู่สภาวะสมดุลกับแสงดาวและแสงจันทร์ในช่วงเวลากลางคืนแต่ถูกทำให้อุ่นโดยบรรยากาศ

ต้นกำเนิด

[แก้]

การอนุพัทธ์ความหนาแน่นของพลังงานโดยทางอุณหพลศาสตร์

[แก้]

ข้อเท็จจริงว่าความหนาแน่นของพลังงาน (energy density) ภายในกล่องที่บรรจุรังสีแปรผันกับ นั้นสามารถหามาได้ด้วยอุณหพลศาสตร์[17][18] การอนุพัทธ์นี้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันรังสี p กับความหนาแน่นของพลังงานภายใน (internal energy) ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบของเทนเซอร์ความเค้น-พลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetic stress–energy tensor) ความสัมพันธ์นี้คือ:

จากความสัมพันธ์ทางอุณหพลศาสตร์มูลฐาน (fundamental thermodynamic relation)

หลังจากหารด้วย และตรึงค่า ไว้ เราจึงได้นิพจน์ดังต่อไปนี้:

สมการสุดท้ายได้มาจากความสัมพันธ์ของแมกซ์เวลล์:

จากนิยามของความหนาแน่นของพลังงาน เราจึงได้

โดยความหนาแน่นของพลังงานของการแผ่รังสีขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ดังนั้น

แล้วสมการนี้

เมื่อแทน และ ด้วยนิพจน์ซึ่งสมมูลของแต่ละอันลงไปในสมการ ก็จะเขียนใหม่ได้เป็น

ในเมื่ออนุพันธ์ย่อย สามารถแสดงออกเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง และ เพียงสองอย่างเท่านั้น (ถ้าย้ายข้างไปอยู่อีกฝั่งของสมการ) เราสามารถเปลี่ยนอนุพันธ์ย่อยนี้เป็นอนุพันธ์แบบธรรมดา และหลังจากแยกผลต่างเชิงอนุพันธ์ออกจากกันแล้วสมการจะกลายเป็น

ซึ่งนำไปสู่ โดย เป็นค่าคงตัวของปริพันธ์ค่าหนึ่ง

การอนุพัทธ์จากกฎของพลังค์

[แก้]
การอนุพัทธ์กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันด้วยกฎของพลังค์

เราสามารถอนุพัทธ์กฎนี้ได้ด้วยการพิจารณาพื้นผิวของวัตถุดำแบนราบราบขนาดเล็กซึ่งแผ่รังสีออกมาเป็นครึ่งทรงกลม และจะใช้ระบบพิกัดทรงกลมในการอนุพัทธ์ โดย θ เป็นมุมเชิงขั้ว (zenith angle) และ φ เป็นมุมทิศ (azimuth angle) พื้นผิวของวัตถุดำแบนราบอยู่บนระนาบ xy ที่ θ = π/2

ความเข้มของแสงที่เปล่งออกมาจากพื้นผิววัตถุดำถูกกำหนดโดยกฎของพลังค์เป็น:

โดย

คือปริมาณของกำลังที่แผ่ออกมาโดยพื้นที่ผิว A ผ่านมุมตัน ในช่วงความถี่ระหว่าง ν และ ν + .

กฎของชเต็ฟฟัน–บ็อลทซ์มันกำหนดกำลังที่เปล่งออกมาต่อหน่วยพื้นที่ของวัตถุเป็น

โคไซน์มีอยู่ในสมการเพราะวัตถุดำเป็นแหล่งกำเนิดรังสีแบบลัมแบร์ท (นั่นคือ ปฏิบัติตามกฎโคไซน์ของลัมแบร์ท) หมายความว่าความเข้มที่ตรวจวัดได้ตลอดทรงกลมนั้นจะเท่ากับความเข้มจริงคูณด้วยโคไซน์ของมุมเชิงขั้ว เราจำเป็นเป็นต้องปริพันธ์ ตลอดครึ่งทรงกลม และปริพันธ์ จาก 0 ถึง ∞ เพื่ออนุพัทธ์หากฎของชเต็ฟฟันบ็อลทซ์มัน

แล้วใส่ค่า I ลงไป:

เราต้องใช้การแทนที่เพื่อแก้ปริพันธ์นี้

และได้:

ปริพันธ์ฝั่งขวาเป็นแบบมาตรฐานซึ่งมีชื่อเรียกหลายชื่อ มันเป็นกรณีเฉพาะของปริพันธ์โพส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein integral), โพลีลอการิทึม (Polylogarithm) หรือฟังก์ชันซีตาของรีมัน ค่าของปริพันธ์เท่ากับ ทำให้ได้ผลลัพธ์สำหรับพื้นผิววัตถุดำเป็น:

สุดท้าย แม้การพิสูจน์นี้เริ่มจากการพิจารณาพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กเท่านั้น แต่เราสามารถประมาณพื้นผิวที่อนุพันธ์ได้ (Differentiable manifold) ทุกผิวด้วยพื้นผิวแบนราบขนาดเล็กได้ พลังงานทั้งหมดที่แผ่ออกมาคือผลรวมของพลังงานที่แผ่ออกมาจากพื้นผิวทั้งหมดตราบใดที่ลักษณะทางเรขาคณิตของพื้นผิวนั้นไม่ทำให้วัตถุดำต้องดูดกลืนรังสีที่ตัวเองเปล่งออกมากลับเข้าไป และพื้นที่ผิวทั้งหมดคือผลรวมของพื้นที่ของพื้นผิวแต่ละผิว ดังนั้นกฎนี้จึงเป็นจริงสำหรับวัตถุดำแบบคอนเวกซ์หรือนูน (convex set) ทุกวัตถุตราบใดที่พื้นผิวมีอุณหภูมิเท่ากันตลอดทั้งผิว กฎนี้สามารถขยายไปใช้กับวัตถุที่ไม่นูนได้เพียงใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเปลือกหุ้มคอนเวกซ์ (convex hull) ของวัตถุดำนั้นแผ่รังสีเสมือนตัวมันเองเป็นวัตถุดำ

ความหนาแน่นของพลังงาน

[แก้]

เราสามารถคำนวณความหนาแน่นของพลังงานรวม U ได้ในลักษณะคล้ายกัน ต่างกันเพียงคราวนี้เราจะปริพันธ์ตลอดทั้งทรงกลม และไม่มีโคไซน์ และเราจะหารฟลักซ์พลังงาน (U c) ด้วยอัตราเร็ว c เพื่อให้ค่าความหนาแน่นของพลังงาน U:

ดังนั้น ถูกแทนที่ด้วย , ซึ่งให้ตัวประกอบเพิ่มค่าเท่ากับ 4

ดังนั้น จากทั้งหมดได้:

ดูเพิ่ม

[แก้]

อ้างอิง

[แก้]
  1. Bohren, Craig F.; Huffman, Donald R. (1998). Absorption and scattering of light by small particles. Wiley. pp. 123–126. ISBN 978-0-471-29340-8.
  2. Narimanov, Evgenii E.; Smolyaninov, Igor I. (2012). "Beyond Stefan–Boltzmann Law: Thermal Hyper-Conductivity". Conference on Lasers and Electro-Optics 2012. OSA Technical Digest. Optical Society of America. pp. QM2E.1. CiteSeerX 10.1.1.764.846. doi:10.1364/QELS.2012.QM2E.1. ISBN 978-1-55752-943-5. S2CID 36550833.
  3. ในตำราฟิสิกส์ปี ค.ศ. 1875 ของอาด็อล์ฟ วึลเนอร์ (Adolf Wüllner) ได้มีการอ้างอิงผลการทดลองของทินดัลล์และเพิ่มประมาณการอุณหภูมิที่สอดคล้องกับสีต่าง ๆ ของเสนใยทองคำขาวเข้าไป:
    • Wüllner, Adolph (1875). Lehrbuch der Experimentalphysik [Textbook of experimental physics] (ภาษาเยอรมัน). Vol. 3. Leipzig, Germany: B.G. Teubner. p. 215.
    จาก (Wüllner, 1875), หน้า 215: "Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, … also fast um das 12fache zu." (ตามการทดลองของเดรเปอร์ซึ่งจะอภิปรายในอีกสักนิด การเรืองแสงสีแดงอ่อนสอดคล้องกับอุณหภูมิประมาณ 525°[C] การเรืองแสงสีขาวเต็มสอดคล้องกับ[อุณหภูมิ]ประมาณ 1200°[C] ดังนั้นแม้อุณหภูมิจะสูงขึ้นมากกว่าสองเท่าเพียงเล็กน้อย ความเข้มของรังสีกลับเพิ่มขึ้นจาก 10.4 เป็น 122 หรือเกือบ 12 เท่า)
  4. Wisniak 2002, p. 551–552.
  5. 5.0 5.1 Stefan, J. (1879). "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [On the relation between heat radiation and temperature]. Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe (Proceedings of the Imperial Philosophical Academy [of Vienna]: Mathematical and Scientific Class) (ภาษาเยอรมัน). 79: 391–428.
  6. ชเต็ฟฟันกล่าวว่า (Stefan, 1879), หน้า 421: "Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, … die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur proportional anzunehmen." (ก่อนอื่น ผมอยากชี้แจงถึงสังเกตการณ์ซึ่งวึลเนอร์เพิ่มลงไปในรายงานของการทดลองของทินดัลล์เกี่ยวกับการแผ่รังสีของเส้นใยทองคำขาวซึ่งถูกทำให้เรืองแสงด้วยกระแสไฟฟ้าในตำราของเขา เพราะสังเกตการณ์นี้ทำให้ผมอนุมานได้ว่าการแผ่รังสีความร้อนนั้นมีสัดส่วนกับกำลังสี่ของอุณหภูมิสัมบูรณ์)
  7. Boltzmann, Ludwig (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Derivation of Stefan's law, concerning the dependency of heat radiation on temperature, from the electromagnetic theory of light]. Annalen der Physik und Chemie (ภาษาเยอรมัน). 258 (6): 291–294. Bibcode:1884AnP...258..291B. doi:10.1002/andp.18842580616.
  8. Massimiliano Badino, The Bumpy Road: Max Planck from Radiation Theory to the Quantum (1896–1906) (2015), p. 31.
  9. Soret, J.L. (1872) "Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique" [การเปรียบเทียบความเข้มความร้อนของรังสีอาทิตย์กับรังสีจากวัตถุซึ่งถูกทำให้ร้อนด้วยเครื่องพ่นไฟออกซิไฮโดรเจน], Archives des sciences physiques et naturelles (Geneva, Switzerland), 2nd series, 44: 220–229 ; 45: 252–256.
  10. "Sun Fact Sheet".
  11. Waterston, John James (1862). "An account of observations on solar radiation". Philosophical Magazine. 4th series. 23 (2): 497–511. Bibcode:1861MNRAS..22...60W. doi:10.1093/mnras/22.2.60. ในหน้า 505, นักฟิสิกส์ชาวสก็อตจอห์น เจมส์ วอเตอร์สตัน (John James Waterston) ประมาณอุณหภูมิบนพื้นผิวดวงอาทิตย์ไว้ว่าอาจเทากับ 12,880,000°.
  12. ดูที่:
  13. "Luminosity of Stars". Australian Telescope Outreach and Education. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 9 สิงหาคม 2014. สืบค้นเมื่อ 13 สิงหาคม 2006.
  14. Intergovernmental Panel on Climate Change Fourth Assessment Report (PDF). Chapter 1: Historical overview of climate change science (Report). p. 97. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 26 พฤศจิกายน 2018.
  15. Yochanan Kushnir (Spring 2007) [2000]. "Solar Radiation and the Earth's Energy Balance". Columbia University. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 17 กรกฎาคม 2012. สืบค้นเมื่อ 4 มีนาคม 2021.
  16. "Introduction to Solar Radiation". Newport Corporation. เก็บจากแหล่งเดิมเมื่อ 29 ตุลาคม 2013.
  17. Knizhnik, Kalman. "Derivation of the Stefan–Boltzmann Law" (PDF). Johns Hopkins University – Department of Physics & Astronomy. คลังข้อมูลเก่าเก็บจากแหล่งเดิม (PDF)เมื่อ 4 มีนาคม 2016. สืบค้นเมื่อ 3 กันยายน 2018.
  18. Wisniak 2002, p. 554.

บรรณานุกรม

[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น

[แก้]