เซตกำลัง

สมาชิกของเซตกำลังของเซต {x, y, z} เรียงลำดับตามการมีสมาชิกในอีกเซตหนึ่งทั้งหมด

ในวิชาคณิตศาสตร์ เซตกำลัง หรือ เพาเวอร์เซต (อังกฤษ: power set) ของเซต S ใดๆ เขียนแสดงด้วยสัญลักษณ์ ${\mathcal {P}}(S)$, P(S), ℙ(S), ℘(S) หรือ 2^S เป็นเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ S รวมทั้งเซตว่าง และเซต S เอง ตามหลักทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ (เช่นสัจพจน์ ZFC) สัจพจน์แห่งเซตกำลังรองรับการมีอยู่ของเซตกำลังสำหรับเซตใดๆ

เซตย่อยใดๆ ของ${\mathcal {P}}(S)$ เรียกว่า ครอบครัวของเซต บน S

ตัวอย่าง

ถ้า S เป็นเซต {x, y, z} แล้วเซตย่อยของ S ได้แก่:

• {} (อาจเขียนแทนด้วย $\varnothing$ เรียกเซตว่าง)
• {x}
• {y}
• {z}
• {x, y}
• {x, z}
• {y, z}
• {x, y, z}

ดังนั้นเซตกำลังของ S คือ {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}

สมบัติ

ถ้า $S$ เป็นเซตจำกัดที่มีสมาชิก $|S|=n$ ตัว แล้วจำนวนของเซตย่อยของ $S$ คือ $|{\mathcal {P}}(S)|=2^{n}$ ทำให้เกิดสัญกรณ์ $2^{S}$ สามารถพิสูจน์ได้ดังนี้

เขียนเซตย่อยใดๆ ของ $S$ ในรูปแบบ $\{\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}\}$ ซึ่ง $\omega _{i},1\leq i\leq n$ มีค่า $0$ หรือ $1$ ถ้า $\omega _{i}=1$ สมาชิกตัวที่$i$ ของ $S$ อยู่ในเซตย่อย มิฉะนั้นสมาชิกตัวที่$i$ไม่อยู่ในเซตย่อย ดังนั้นจำนวนของเซตย่อยที่แตกต่างกันทั้งหมดที่สามารถสร้างโดยวิธีนี้คือ $2^{n}$

การอ้างเหตุผลแนวทแยงของคันทอร์ แสดงว่าเซตกำลังของเซต (ทั้งเซตจำกัดและเซตอนันต์) มี ภาวะเชิงการนับ มากกว่าเซตนั้นๆ เสมอ (กล่าวคือเซตกำลังของเซตใดๆ ต้องใหญ่กว่าเซตนั้นๆ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของคันทอร์แสดงว่าเซตกำลังของเซตอนันต์นับได้เป็นเซตอนันต์นับไม่ได้ ตัวอย่าง เช่น เซตกำลังของเซตของจำนวนธรรมชาติมีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงกับเซตของจำนวนจริง (ดูหน้า cardinality of the continuum)

เซตกำลังของเซต S และการดำเนินการหายูเนียน อินเตอร์เซกชัน และ ส่วนเติมเต็ม สามารถมองเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบบูล ที่จริงแล้วยังสามารถแสดงว่าพีชคณิตแบบบูลขนาดจำกัดใดๆ เป็นสมสัณฐานกับพีชคณิตแบบบูลของเซตกำลังของเซตจำกัดบางเซต สำหรับพีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ ข้อความนี้ไม่เป็นจริง แต่พีชคณิตแบบบูลขนาดอนันต์ทุกโครงสร้างสามารถแทนด้วยโครงสร้างพีชคณิตย่อย ของเซตกำลังของพีชคณิตแบบบูล (ดูหน้า Stone's representation theorem)

เซตกำลังของเซต S ก่อให้เกิด อาบีเลียนกรุป เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาผลต่างสมมาตร (โดยมีเซตว่างเป็นสมาชิกเอกลักษณ์และแต่ละเซตเป็นตัวผกผันกับเซตนั้นๆ) เซตกำลังของเซต S ยังก่อให้เกิดโมนอยด์สลับที่ เมื่อพิจารณาด้วยการดำเนินการหาอินเตอร์เซกชัน การพิสูจน์กฎการแจกแจงสามารถแสดงว่าเซตกำลังกับการดำเนินการทั้งสองนี้สร้างริงแบบบูล

แสดงเซตย่อยในรูปฟังก์ชัน

ในวิชาทฤษฎีเซต X^Y เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก Y ไป X เพราะว่า "2" อาจนิยามเป็น {0,1} (ดูหน้า จำนวนธรรมชาติ) ดังนั้น 2^S (นั่นคือ {0,1}^S) เป็นเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก S ไปยัง {0,1} เมื่อจำแนกฟังก์ชันตัวใดตัวหนึ่งใน 2^S กับบุพภาพที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันนั้น จะเห็นว่ามีความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง 2^S กับ ${\mathcal {P}}(S)$ โดยแต่ละฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อยที่เป็นสมาชิกของ${\mathcal {P}}(S)$ กับสิ่งที่ฟังก์ชันบ่งชี้บ่งชี้ ฉะนั้น 2^S และ ${\mathcal {P}}(S)$ ถือว่าเท่ากันทุกประการเชิงทฤษฎีเซตได้ (ดังนั้นจึงมีมูลเหตุสำหรับการเขียนแทนเซตกำลังด้วย 2^S สองประการ ได้แก่ การเขียนสับเซตแทนด้วยฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของสัญกรณ์ X^Y และสมบัติของเซตกำลังข้างต้นว่า |2^S| = 2^|S|)

สัญกรณ์สามารถประยุกต์ใช้กับตัวอย่างข้างต้นที่ $S=\{x,y,z\}$ เพื่อให้เห็นสมสัณฐานกับจำนวนฐานสองตั้งแต่ 0 จนถึง 2ⁿ−1 โดย n เป็นจำนวนสมาชิกของเซต 1 ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันกับตำแหน่งสมาชิกที่ปรากฏใน S บ่งชี้ถึงการมีสมาชิกตัวนั้นๆ ดังนั้น {x, y} = 110

สำหรับเซตกำลังทั้งหมดของ S จะได้

• { } = 000 (ฐานสอง) = 0 (ฐานสิบ)
• {x} = 100 = 4
• {y} = 010 = 2
• {z} = 001 = 1
• {x, y} = 110 = 6
• {x, z} = 101 = 5
• {y, z} = 011 = 3
• {x, y, z} = 111 = 7

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม

เซตกำลังมีความสัมพันธ์กับทฤษฎีบททวินาม จำนวนของเซตที่มีสมาชิก $k$ ตัวในเซตกำลังของเซตที่มีสมาชิก $n$ ตัวจะเท่ากับการจัดหมู่ $C(n,k)$ เรียกอีกชื่อว่าสัมประสิทธิ์ทวินาม

ตัวอย่าง เซตกำลังของเซตขนาด 3 มี:

• เซตขนาด 0 $C(3,0)=1$ เซต
• เซตขนาด 1 $C(3,1)=3$ เซต
• เซตขนาด 2 $C(3,2)=3$ เซต
• เซตขนาด 3 $C(3,3)=1$ เซต

รายชื่อหนังสืออ้างอิง

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Puntambekar, A.A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.