ฟังก์ชันบ่งชี้

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซต A ซึ่งเป็นเซตย่อยของเซต X แสดงค่าด้วยสีแดง

ฟังก์ชันบ่งชี้ (อังกฤษ: indicator function) หรือบางครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต X ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย A ใน X หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต A หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต A แต่ยังคงอยู่ในเซต X

นิยาม[แก้]

ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย A ของเซต X คือฟังก์ชัน

นิยามโดย

สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น

สมบัติพื้นฐาน[แก้]

การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย A ของ X ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน 1A มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเรนจ์คือเซตของฟังก์ชัน f : X → {0, 1}

ถ้า A และ B ต่างก็เป็นเซตย่อยของ X จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)

ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันบ่งชี้ของ A ซึ่งก็คือ AC จะได้ว่า

ในกรณีทั่วไป ถ้าหาก A1, …, An เป็นการรวบรวมเซตย่อยของ X สำหรับค่า xX ดังนั้น

จะเป็นผลคูณระหว่าง 0 และ/หรือ 1 หลายตัว ผลคูณนี้จะมีค่าเท่ากับ 1 ถ้าหาก x ไม่อยู่ในเซตย่อย Ak ใด ๆ เลย เพราะตัวคูณทุกตัวเป็น 1 ทั้งหมด หรือมิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็น 0 เพราะมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น 0 จึงสรุปได้ว่า

กระจายผลคูณทางด้านซ้าย

เมื่อ | F | คือภาวะเชิงการนับของ F สูตรนี้คือรูปแบบหนึ่งของหลักการการเพิ่มเข้า-ตัดออก

ฟังก์ชันบ่งชี้เป็นเครื่องมือสำคัญอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องคณิตศาสตร์เชิงการจัด ดังที่ให้ตัวอย่างไว้แล้วก่อนหน้านี้ สัญกรณ์นี้ถูกใช้ในแขนงวิชาอื่นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความน่าจะเป็น ถ้าให้ X เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นที่มีเมเชอร์ความน่าจะเป็น P และ A เป็นเซตหาเมเชอร์ได้แล้ว 1A จะกลายเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าคาดหมายเท่ากับความน่าจะเป็นของ A ดังนี้

เอกลักษณ์นี้ใช้ในการพิสูจน์อย่างง่ายในอสมการของมาร์คอฟ

ในกรณีอื่นเช่นทฤษฎีอันดับ ตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้อาจมีการนิยามขึ้นได้ สิ่งนี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันโมเบียสทั่วไป ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้ในทฤษฎีจำนวนมูลฐาน (ฟังก์ชันโมเบียส)

มัชฌิม ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมเกี่ยว[แก้]

กำหนดให้ปริภูมิความน่าจะเป็น (Ω, , P) ซึ่ง A และกำหนดตัวแปรสุ่มบ่งชี้ 1A : Ω → R ซึ่งนิยามโดย 1A (ω) = 1 เมื่อ ω ∈ A สำหรับกรณีอื่น 1A (ω) = 0

มัชฌิม:
ความแปรปรวน:
ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว:

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในทฤษฎีเซตวิภัชนัย[แก้]

ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น

อ้างอิง[แก้]