ส่วนเติมเต็ม

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ส่วนเติมเต็ม หรือ คอมพลีเมนต์ (อังกฤษ: complement) คือแนวคิดหนึ่งที่ใช้ในการเปรียบเทียบเซต เพื่อที่จะให้ทราบว่า เมื่อเซตหนึ่งสัมพันธ์กับอีกเซตหนึ่ง มีสมาชิกใดบ้างที่อยู่ภายใต้เซตเพียงเซตเดียว แบ่งออกตามการใช้งานเป็น ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ (absolute complement) กับ ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ (relative complement) ซึ่งแนวคิดแรกหมายถึงส่วนเติมเต็มที่เกี่ยวข้องกับเอกภพสัมพัทธ์ (universal set) ส่วนแนวคิดหลังเกี่ยวข้องกับเซตตัวอื่น

ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์[แก้]

พื้นที่สีเทาคือส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว ดังนั้นส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน U จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A (หรือเรียกแค่ส่วนเติมเต็มก็ได้) เขียนแทนด้วย AC หรือ A′ นั่นคือ

A^\mathrm{'} = \mathbf{U} \setminus A = \{ x \in \mathbf{U} \, | \, x \notin A \}

หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน U ตัวอย่างเช่น ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตจำนวนเต็ม ดังนั้นส่วนเติมเต็มของเซตจำนวนคู่ ก็คือเซตจำนวนคี่

สมบัติต่อไปนี้คือสมบัติที่สำคัญของส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบนเซตอื่นๆ กำหนดให้ A และ B เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U

  • กฎเดอมอร์แกน
    • (A \cup B)^\mathrm{c} = A^\mathrm{'} \cap B^\mathrm{c}
    • (A \cap B)^\mathrm{c} = A^\mathrm{'} \cup B^\mathrm{c}
  • กฎส่วนเติมเต็ม
    • A \cup A^\mathrm{'} = \mathbf{U}
    • A \cap A^\mathrm{'} = \varnothing
    • \varnothing^\mathrm{'} = \mathbf{U}
    • \mathbf{U}^\mathrm{c} = \varnothing
    • A \subseteq B \Rightarrow B^\mathrm{c} \subseteq A^\mathrm{'}
  • อาวัตนาการ (involution) หรือกฎส่วนเติมเต็มซ้ำสอง
    • (A^\mathrm{'})^\mathrm{'} = A\,
  • ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์และส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์
    • A \setminus B = A \cap B^\mathrm{c}
    • (A \setminus B)^\mathrm{c} = A^\mathrm{'} \cup B

ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์[แก้]

พื้นที่สีม่วงคือส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B

กำหนดให้เซต A และ B ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B (หรือเรียกว่าผลต่างของเซต B กับ A) หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน B เขียนแทนด้วย BA

B - A = \{ x \in B \, | \, x \notin A \}

ตัวอย่างเช่น R คือเซตของจำนวนจริง และ Q คือเซตของจำนวนตรรกยะก็คือเซตของจำนวนอตรรกยะ

สมบัติต่อไปนี้คือสมบัติที่สำคัญของส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบนเซตอื่นๆ กำหนดให้ A, B, C เป็นเซตใดๆ

  • C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)
  • C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)
  • C \setminus (B \setminus A) = (A \cap C) \cup (C \setminus B)
  • (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)
  • (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)
  • A \setminus A = \varnothing
  • \varnothing \setminus A = \varnothing
  • A \setminus \varnothing = A

อ้างอิง[แก้]

  • วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม[แก้]