เซนทรอยด์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง

ในทางเรขาคณิต เซนทรอยด์ (อังกฤษ: centroid) หรือชื่ออื่นเช่น ศูนย์กลางเรขาคณิต (geometric center), แบรีเซนเตอร์ (barycenter) ของรูปร่าง X บนระนาบ คือจุดตัดของเส้นตรงทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง X ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในรูปร่าง X นิยามนี้ขยายออกไปยังวัตถุใดๆ ที่อยู่ในปริภูมิ n มิติด้วย นั่นคือเซนทรอยด์คือจุดตัดของระนาบเกิน (hyperplane) ทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง X ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน

ในทางฟิสิกส์ เซนทรอยด์อาจหมายถึงศูนย์กลางเรขาคณิตของวัตถุดังที่กล่าวไปแล้ว หรืออาจหมายถึงศูนย์กลางมวลหรือศูนย์ถ่วงของวัตถุ ขึ้นอยู่กับบริบท หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมด ซึ่งชั่งน้ำหนักตามความหนาแน่นหรือน้ำหนักจำเพาะตามลำดับ

ในทางภูมิศาสตร์ เซนทรอยด์ของบริเวณหนึ่งบนพื้นผิวโลก ซึ่งเป็นภาพฉายตามแนวรัศมีไปบนพื้นผิว คือจุดกึ่งกลางโดยสมมติของพื้นที่บริเวณนั้น เรียกว่าศูนย์กลางภูมิศาสตร์ (geographical centre)

สมบัติ[แก้]

เซนทรอยด์ของวัตถุทรงนูน (convex) จะอยู่ในวัตถุนั้นเสมอ สำหรับรูปสามเหลี่ยมจะเป็นจุดที่เส้นมัธยฐานทั้งสามตัดกันพอดี ส่วนวัตถุที่ไม่เป็นทรงนูน เซนทรอยด์อาจอยู่นอกวัตถุก็ได้ ตัวอย่างวัตถุเช่น แหวนหรือถ้วย เซนทรอยด์จะอยู่กึ่งกลางช่องว่างระหว่างวัตถุ

ถ้าหากเซนทรอยด์ได้ถูกนิยามขึ้นมาแล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดตรึง (fixed point) สำหรับสมมิติ (isometry) ทั้งหมดในกรุปสมมาตร (symmetry group) โดยเฉพาะเซนทรอยด์ของวัตถุที่อยู่บนจุดตัดของระนาบเกินทั้งหมดของความสมมาตร เซนทรอยด์ของรูปทรงหลายชนิด (อาทิ รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทรงหลายหน้าปรกติ ทรงกระบอก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปวงกลม ทรงกลม รูปวงรี ทรงรี superellipse superellipsoid ฯลฯ) สามารถอธิบายได้ด้วยหลักการข้างต้น

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เซนทรอยด์ของวัตถุที่สมมาตรเคลื่อนที่ (translational symmetry) จะไม่ถูกนิยาม (หรือวางอยู่นอกปริภูมิที่โอบล้อม) เพราะว่าการเคลื่อนที่นั้นไม่มีจุดตรึง

เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด[แก้]

เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด x_1,x_2,\ldots,x_k ในเซต \mathbb{R}^n คือ

C = \frac{x_1+x_2+\cdots+x_k}{k}

เซนทรอยด์จากการแยกทางเรขาคณิต[แก้]

เซนทรอยด์ของรูปร่าง X บนระนาบ สามารถคำนวณได้จากการแบ่งรูปนั้นออกเป็นรูปร่างที่ง่ายกว่าเป็นส่วนๆ X_1, X_2, ..., X_n เป็นจำนวนจำกัด n ส่วน แล้วคำนวณหาเซนทรอยด์ย่อย C_i กับพื้นที่ย่อย A_i ของแต่ละส่วน เพื่อเข้าสูตรนี้

 C = \frac{\sum C_i A_i}{\sum A_i}

สูตรนี้ก็สามารถใช้ได้บนวัตถุสามมิติ เว้นแต่เพียงว่า A_i ควรจะเป็นปริมาตรของวัตถุย่อย X_i แทนที่จะเป็นพื้นที่ และสูตรนี้ก็ยังใช้ได้บนเซตย่อยของ \R^d สำหรับวัตถุ d มิติ โดยที่ A_i จะถูกแทนที่ด้วยเมเชอร์ (measure) ของส่วนย่อยนั้น

สูตรนี้ก็ยังคงใช้ได้ถึงแม้ว่าจะมีบางส่วนทับซ้อน และ/หรือขยายออกไปนอกเซต X ซึ่งจะทำให้เมเชอร์ A_i มีค่าเป็นบวกหรือลบ ในทางเช่นนั้นผลรวมทุกส่วนของ A_i ที่โอบล้อมจุดที่กำหนด x จะเท่ากับ 1 เมื่อจุด x อยู่ในรูปร่าง X ส่วนกรณีอื่นจะเป็น 0

สูตรปริพันธ์[แก้]

เซนทรอยด์ของเซตย่อย X ในเซต \R^d สามารถคำนวณได้ด้วยปริพันธ์

C = \frac{\int x f(x) \ dx}{\int f(x) \ dx}

เมื่อปริพันธ์นั้นครอบคลุมปริภูมิ \R^d ทั้งหมด และ f คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของเซตย่อยนั้น ซึ่งให้ค่าเป็น 1 หากอยู่ภายใน X และเป็น 0 หากอยู่ภายนอก (อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่สามารถใช้ได้ถ้าวัตถุนั้นมีเมเชอร์เป็นศูนย์ หรือถ้าปริพันธ์ลู่ออก อย่างใดอย่างหนึ่ง)

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมและทรงสี่หน้า[แก้]

Triangle centroid 1.svg Triangle centroid 2.svg

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้าม) เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอัตราส่วน 2:1 ซึ่งเรียกได้ว่าเซนทรอยด์อยู่ที่ 1/3 ของส่วนสูง (ระยะตั้งฉากระหว่างด้านและมุมตรงข้าม) ดังรูปที่แสดงไว้ทางขวา

เซนทรอยด์จะเป็นศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม ถ้าหากรูปสามเหลี่ยมนั้นสร้างขึ้นบนแผ่นวัสดุบางๆ อย่างเช่นแผ่นกระดาษหรือแผ่นโลหะ พิกัดคาร์ทีเซียนของเซนทรอยด์ คือมัชฌิมเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ ถ้าให้จุดยอดทั้งสามอยู่ที่ a = (x_a, y_a), b = (x_b, y_b), และ c = (x_c, y_c) ดังนั้นเซนทรอยด์จะอยู่ที่

C = \frac13(a+b+c) = \Big( \frac13 (x_a+x_b+x_c), \ \frac13(y_a+y_b+y_c) \Big)

ผลที่คล้ายกันนี้ก็มีเช่นกันในทรงสี่หน้า เซนทรอยด์ของทรงสี่หน้าคือจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดกับเซนทรอยด์ของหน้าที่อยู่ตรงข้าม (ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม) ส่วนของเส้นตรงนี้จะถูกแบ่งโดยเซนทรอยด์ด้วยอัตราส่วน 3:1 ด้วยผลเช่นนี้สามารถเกิดกับกรณีทั่วไปของซิมเพล็กซ์ n มิติ ถ้าเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์คือ {v_0, v_1, ..., v_n} เราจะพิจารณาว่าจุดยอดเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ และเซนทรอยด์จะอยู่ที่

C = \frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^n v_i

isogonal conjugate ของเซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือ symmedian point

เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยม[แก้]

เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมที่ด้านไม่ตัดกัน ซึ่งนิยามโดยจุดยอด (x_i, y_i) จำนวน n จุด สามารถคำนวณได้ดังนี้ [1]

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ

A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{n-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

และเซนทรอยด์จะอยู่ที่ C = (C_x,C_y) เมื่อ

C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)
C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{n-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)

สำหรับสูตรเหล่านี้ จุดยอด (x_n, y_n) จะถูกกำหนดให้เป็น (x_0, y_0) ซึ่งก็หมายถึงจุดเดียวกัน

เซนทรอยด์ของทรงกรวยและพีระมิด[แก้]

เซนทรอยด์ของทรงกรวยและพีระมิด อยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อระหว่างยอด (apex) ไปยังเซนทรอยด์ของหน้าที่เป็นฐาน และแบ่งส่วนของเส้นตรงออกด้วยอัตราส่วน 3:1 เช่นเดียวกับทรงสี่หน้า

อ้างอิง[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]