วิธีการคำนวณของโจนส์

วิธีการคำนวณของโจนส์ (Jones calculus) เป็นรูปแบบการคำนวณแบบหนึ่งที่ช่วยให้สามารถอธิบายสถานะของโพลาไรเซชันของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ตั้งชื่อตามชื่อ โรเบิร์ต เคลิร์ก โจนส์ (Robert Clark Jones) ซึ่งได้ให้นิยามไว้ในปี 1941 เมื่อใช้รูปแบบการคำนวณนี้ สถานะของแสงโพลาไรซ์จะแสดงด้วย เวกเตอร์โจนส์ (Jones vector) และองค์ประกอบทางแสงเชิงเส้นจะแสดงด้วย เมทริกซ์โจนส์ (Jones matrix) เวกเตอร์โจนส์ของแสงที่ออกจากระบบหนึ่ง ๆ จะคำนวณได้จากผลคูณของเมทริกซ์โจนส์ของระบบกับเวกเตอร์โจนส์ของแสงขาเข้า

รูปแบบการคำนวณนี้ใช้ประโยชน์ได้ดีสำหรับแสงโพลาไรซ์ทั้งหมดเท่านั้น ในการอธิบายแสงโพลาไรซ์บางส่วนจะใช้เวกเตอร์สโตกส์ และ เมทริกซ์มึลเลอร์

คำนิยาม

ในงานวิจัยต้นฉบับของโจนส์ เขาได้พิจารณากรณีของระนาบคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีการโพลาไรซ์ทั้งหมด และกำหนดสถานะของแสง ณ จุดหนึ่ง ๆ จากเวกเตอร์ของจำนวนเชิงซ้อน

${\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{x}^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{x})]\\E_{y}^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{y})]\end{pmatrix}},$

โดย $E_{x}(t)$ และ $E_{y}(t)$ เป็นส่วนประกอบของสนามไฟฟ้าของคลื่นตามแกน x และ y อย่างไรก็ตาม ตัวแปรที่สำคัญที่สุดในการอธิบายสถานะของโพลาไรเซชันคือความแตกต่างของเฟส $\phi _{y}-\phi _{x}$ และแอมพลิจูดของสนามไฟฟ้า $E_{x}^{(0)}/E_{y}^{(0)}$ โดยปกติแล้ว จะเลือกจุดที่ทำหน้าที่เป็นตัวอ้างอิงความเข้มและเฟส และได้ว่า

${\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\end{pmatrix}}=E^{(0)}\exp[i(-\omega t+\phi _{x})]{\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\end{pmatrix}},$

โดยที่เวกเตอร์โจนส์ถูกนิยามโดย

${\vec {V}}={\begin{pmatrix}V_{x}\\V_{y}\end{pmatrix}}$

ตัวอย่างของเวกเตอร์โจนส์

ตัวอย่างของเวกเตอร์โจนส์

โพลาไรเซชัน	เวกเตอร์โจนส์	สัญกรณ์ในรูปเค็ท	รูปประกอบ
เส้นตรงตามแกน x	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$|H\rangle$
เส้นตรงตามแกน y	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$|V\rangle$
เส้นตรงตามแนวที่ทำมุม 45° กับแกน x	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )$
หมุนวนขวา	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )$
หมุนวนซ้าย	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}$	$|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )$

การเปรียบเทียบกับในควอนตัม

อย่างเป็นทางการ เวกเตอร์โจนส์เป็นเวกเตอร์ของ ℂ² เช่นเดียวกับเวกเตอร์สถานะ ที่ใช้สำหรับในกลศาสตร์ควอนตัม การเปรียบเทียบนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าโฟตอนสามารถมีสถานะเฮลิซิตีได้สองสถานะ ดังนั้นเราจึงสามารถสานความเชื่อมโยงระหว่างการคำนวณทั้งสองสายนี้ ซึ่งแสดงด้วยการใช้สัญกรณ์บรา-เค็ท ที่ทำกันทั่วไปในทัศนศาสตร์เชิงควอนตัม เพื่อแสดงถึงสถานะของโพลาไรซ์ของแสง ตารางด้านล่างนี้แสดงรายละเอียดความเชื่อมโยงระหว่างการคำนวณทั้งสอง

โพลาไรเซชัน	กลศาสตร์ควอนตัม
เวกเตอร์โจนส์	เวกเตอร์สถานะ
เมทริกซ์โจนส์	ตัวดำเนินการวิวัฒนาการ
ทรงกลมปวงกาเร	ทรงกลมบล็อค
ตัวแปรเสริมสโตกส์	เมทริกซ์ความหนาแน่น

ตัวอย่างเมทริกซ์โจนส์

ตัวอย่างเมทริกซ์โจนส์

ระบบเชิงแสง	เมทริกซ์โจนส์
โพลาไรเซอร์ที่แกนอยู่ในแนวนอน	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
โพลาไรเซอร์ที่แกนอยู่ในแนวตั้ง	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
โพลาไรเซอร์ที่มีแกนเอียง $\pm$ 45°	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
โพลาไรเซอร์ที่แกนเอียงเป็นมุม $\varphi$	${\begin{pmatrix}\cos ^{2}\varphi &\cos \varphi \sin \varphi \\\sin \varphi \cos \varphi &\sin ^{2}\varphi \end{pmatrix}}$
โพลาไรเซอร์แบบวงกลมวนขวา	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
โพลาไรเซอร์แบบวงกลมวนซ้าย	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวนอน	${\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบครึ่งคลื่นโดยแกนเร็วทำมุม $\theta$ กับแนวนอน	${\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวนอน	${\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วอยู่ในแนวตั้ง	${\rm {e}}^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
แผ่นหน่วงคลื่นแบบหนึ่งในสี่คลื่นโดยแกนเร็วทำมุม $\theta$ กับแนวนอน	${\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

หากระบบเชิงแสงถูกหมุนรอบแกนเชิงแสงเป็นมุม $\theta$ เมทริกซ์โจนส์สำหรับระบบหมุน $M(\theta )$ ได้มาจากเมทริกซ์ของระบบที่ไม่ได้หมุนโดยการแปลงดังนี้:

$M(\theta )=R(\theta )\,M\,R(-\theta )$

โดยที่

$R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

บทความที่เกี่ยวข้อง

• โพลาไรเซชัน
• โพลาไรเซอร์
• แผ่นหน่วงคลื่น
• เมทริกซ์มึลเลอร์
• ตัวแปรเสริมสโตกส์
• ทรงกลมปวงกาเร

อ่านเพิ่มเติม

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005) ISBN 0-8194-5868-6
• E. Hecht, Optics, 2d ed., Addison-Wesley (1987) ISBN 0-201-11609-X
• Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics, 2d ed., Prentice Hall (1993) ISBN 0-13-501545-6
• Document présentant le formalisme de Jones, et application à l'interférométrie