ฟังก์ชันประกอบ

ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการประกอบฟังก์ชัน $\circ$ จะนำฟังก์ชันสองตัว $f$ และ $g$ มารวมกันและให้ฟังก์ชันใหม่กำหนดโดย$h(x):=(g\circ f)(x)=g(f(x))$ นั่นคือทำฟังก์ชัน g หลังจากทำฟังก์ชัน f กับ x

ฟังก์ชัน $(g\circ f)$ อ่านว่า ฟังก์ชันประกอบของ $g$ และ $f$ เรียกการดำเนินการนี้ว่าการประกอบฟังก์ชัน (อังกฤษ: Function composition)

การประกอบฟังก์ชันย้อนกลับ (Reverse Composition) บางครั้งเขียนแทนด้วย $f\mapsto g$ ซึ่งหมายถึงการทำงานในลำดับตรงกันข้าม โดยใช้ฟังก์ชัน $f$ ก่อนและ $g$ หลัง ในเชิงสัญชาตญาณ การประกอบย้อนกลับเป็นกระบวนการต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน f จะถูกส่งเข้าเป็นอินพุตของฟังก์ชัน g

การประกอบฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ (Composition of Relations) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์ $\circ$ ด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของการประกอบความสัมพันธ์จึงสามารถนำมาใช้กับการประกอบฟังก์ชันได้ เช่น สมบัติการจัดกลุ่มของความสัมพันธ์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างชัดแจ้งสำหรับการประกอบฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

• การประกอบฟังก์ชันบนเซตจำกัด: ถ้า f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} และ g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} จะได้ว่า g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} ตามที่แสดงในภาพ
• การประกอบฟังก์ชันบนเซตอนันต์: ถ้า f: R → R (โดยที่ R คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด) กำหนดโดย f(x) = 2x + 4 และ g: R → R กำหนดโดย g(x) = x³, จะได้ว่า:
  (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x³) = 2x³ + 4, และ
  (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)³
• ถ้าความสูงของเครื่องบินในเวลา t คือ a(t) และความดันอากาศที่ความสูง x คือ p(x) ดังนั้นจะได้ว่า (p ∘ a)(t) คือความดันอากาศรอบเครื่องบินที่เวลา t

สมบัติ

การประกอบฟังก์ชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งเป็นสมบัติที่ได้รับจากการประกอบความสัมพันธ์ นั่นคือ ถ้า f, g และ h เป็นฟังก์ชันที่สามารถประกอบกันได้ จะมีความสัมพันธ์ ดังนี้: f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h เนื่องจากวงเล็บไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ในการประกอบฟังก์ชัน จึงนิยมละการเขียนวงเล็บออก

การประกอบฟังก์ชันมีนิยามที่แตกต่างกันหลายระดับ ในแง่ที่รัดกุมเข้มงวดที่สุด ฟังก์ชันประกอบ g ∘ f จะมีความหมายก็ต่อเมื่อโคโดเมนของ f เท่ากับโดเมนของ g แต่มีการนิยามฟังก์ชันประกอบที่กว้างขึ้น โดยยอมให้ฟังก์ชันประกอบ g ∘ f มีความหมายได้เมื่อ โคโดเมนของ f เป็นสับเซตของโดเมนของ g

นอกจากกรณีข้างต้น หลายครั้งที่การประกอบฟังก์ชันใช้งานสะดวกขึ้นหากยอมให้จำกัดโดเมนของ f ลงไป โดยจำกัดโดเมนของ f ไปยังเซตของสมาชิกทั้งหมดที่เมื่อส่งผ่าน f แล้วลงไปอยู่ในโดเมนของ g ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการประกอบฟังก์ชัน g ∘ f ระหว่างฟังก์ชัน f : R → (−∞,+9] ที่กำหนดโดย f(x) = 9 − x² และ g : [0,+∞) → R ที่กำหนดโดย $g(x)={\sqrt {x}}$ สามารถนิยามได้ในช่วง [−3,+3] ภายใต้นิยามนี้

การประกอบฟังก์ชันค่าจริงสองตัว ได้แก่ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์และฟังก์ชันกำลังสาม ในลำดับที่แตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าการประกอบฟังก์ชันไม่มีสมบัติสลับที่

ฟังก์ชัน g และ f จะเรียกว่าสลับที่ได้ ถ้า g ∘ f = f ∘ g ซึ่งหมายความว่าการประกอบฟังก์ชันในลำดับใด ๆ จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน สมบัติการสลับที่กันได้นั้นเป็นสมบัติพิเศษที่เกิดขึ้นเฉพาะกับฟังก์ชันบางคู่ และมักจะเกิดขึ้นในสถานการณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น |x| + 3 = |x + 3| จะเป็นจริงเมื่อ x ≥ 0 ชภาพด้านข้างแสดงตัวอย่างอื่น ๆ อีกเช่นกัน

การประกอบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสองตัวจะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ในทำนองเดียวกันการประกอบฟังก์ชันทั่วถึงสองตัวจะได้ฟังก์ชันทั่วถึงเสมอ ดังนั้นการประกอบฟังก์ชันสองตัวที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเช่นเดียวกัน

ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันประกอบ (หากมีฟังก์ชันผกผันอยู่จริง) มีคุณสมบัติว่า (f ∘ g)⁻¹ = g⁻¹∘ f⁻¹

อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันประกอบที่มีหาอนุพันธ์ได้สามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ สำหรับอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันเหล่านี้หาได้จากสูตรของ Faà di Bruno

เราอาจมองว่าการประกอบฟังก์ชันเป็นการคูณชนิดหนึ่งบนปริภูมิของฟังก์ชัน แต่จะมีสมบัติแตกต่างจากการคูณรายจุดของฟังก์ชัน (เช่น การประกอบฟังก์ชันไม่เป็นการคูณที่สลับที่ได้)

โมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน

หากเรามีฟังก์ชันสองตัว f: X → X, g: X → X ซึ่งมีโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่าการแปลง (transformation) เราสามารถประกอบฟังก์ชันต่อกันไปเรื่อย ๆ เป็นลูกโซ่ เช่น f ∘ f ∘ g ∘ f ลูกโซ่เหล่านี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตแบบโมนอยด์ ซึ่งเรียกว่าโมนอยด์การแปลง (transformation monoid) หรือโมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน (composition monoid) โมนอยด์การแปลงโดยทั่วไปอาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมากเช่นในกรณีของเส้นโค้งเดอรัง

เซตของฟังก์ชัน f: X → X ทั้งหมดเรียกว่า กึ่งกรุปของการแปลงเต็ม (full transformation semigroup) หรือ กึ่งกรุปสมมาตร (symmetric semigroup) บน X

การประกอบกันของการส่งแบบเฉือน (สีแดง) และการหมุนตามเข็มนาฬิกา 45° (สีเขียว) ด้านซ้ายคือวัตถุเดิม ด้านบนคือการเปลี่ยนรูปเชิงเฉียงก่อน แล้วจึงหมุน ด้านล่างคือการหมุนก่อน แล้วจึงเปลี่ยนรูปเชิงเฉียง

หากการแปลงเหล่านี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ดังนั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้) แล้วเซตของฟังก์ชันประกอบทั้งหมดที่เป็นไปได้จะสร้างกรุปการแปลง (transformation group) หรือกรุปการจัดเรียง (permutation group) และจะกล่าวว่ากรุปการจัดเรียงก่อกำเนิดโดยฟังก์ชันฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

ผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีกรุปชื่อว่าทฤษฎีบทของเคย์ลีย์กล่าวว่ากรุปใด ๆ จะเป็นสับกรุปของกรุปการจัดเรียง (จนถึงขั้นภาวะสมสัณฐาน) เซตของฟังก์ชัน f: X → X หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดบนเซต X (ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าการเรียงสับเปลี่ยน) ประกอบกันเป็นกรุปภายใต้การรวมฟังก์ชันเรียกว่ากรุปสมมาตร