ฟังก์ชันเอกลักษณ์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ฟังก์ชันเอกลักษณ์ (อังกฤษ: identity function, identity map) หรือ การแปลงเอกลักษณ์ (อังกฤษ: identity transformation) คือฟังก์ชันที่คืนค่าออกมาเป็นค่าเดิมจากอาร์กิวเมนต์ที่ใส่เข้าไป มีความหมายเหมือนกับ f (x) = x

นิยาม[แก้]

กำหนดให้ M เป็นเซตเซตหนึ่ง ฟังก์ชันเอกลักษณ์ f บน M นิยามโดยฟังก์ชันที่มีโดเมนและโคโดเมนเป็น M ซึ่งทำให้

f (x) = x สำหรับทุกสมาชิก x ใน M

ฟังก์ชันเอกลักษณ์บน M เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ idM หรือ 1M

ในทฤษฎีเซต ฟังก์ชันถูกนิยามเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคชนิดหนึ่ง ฟังก์ชันเอกลักษณ์จึงเป็นความสัมพันธ์เอกลักษณ์ หรือ "เส้นทแยงมุม" ของ M

สมบัติ[แก้]

ถ้าให้ f : MN เป็นฟังก์ชันใด ๆ เราจะได้ว่า

f ∘ idM  =  f  =  idNf

สัญลักษณ์ ∘ คือการประกอบของฟังก์ชัน หรือจะกล่าวให้เจาะจงก็คือ idM เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของโมนอยด์ของฟังก์ชันทั้งหมดจาก M ไปยัง M

และเนื่องจากสมาชิกเอกลักษณ์ของโมนอยด์จะมีเพียงหนึ่งเดียว เราอาจสามารถนิยามในแนวทางนี้ว่าฟังก์ชันเอกลักษณ์บน M คือสมาชิกเอกลักษณ์ก็ได้ ซึ่งนิยามเช่นนี้ได้ขยายแนวคิดไปสู่สัณฐานเอกลักษณ์ (identity morphism) ในทฤษฎีหมวดหมู่ ที่ซึ่งอันตรสัณฐาน (endomorphism) ของ M ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชัน