แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน
แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน
เกิด15 เมษายน ค.ศ. 1809(1809-04-15)
ชเต็ททีน จังหวัดพอเมอเรเนีย ราชอาณาจักรปรัสเซีย (ปัจจุบันคือชแชตชินในโปแลนด์)
เสียชีวิต26 กันยายน ค.ศ. 1877(1877-09-26) (68 ปี)
ชเต็ททีน จังหวัดพอเมอเรเนีย จักรวรรดิเยอรมัน
ศิษย์เก่ามหาวิทยาลัยเบอร์ลิน

แฮร์มัน กึนเทอร์ กรัสมัน (เยอรมัน: Hermann Günther Graßmann) เป็นผู้รอบรู้ชาวเยอรมัน มีชื่อเสียงเป็นที่รู้จักในฐานะนักภาษาศาสตร์ในยุคของเขา ปัจจุบันได้รับการยกย่องว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ เขายังเป็นนักฟิสิกส์ นักมนุษยวิทยาสมัยใหม่ นักวิชาการทั่วไป และนักหนังสือพิมพ์ แต่งานทางคณิตศาสตร์ของเขาไม่เป็นที่น่าสังเกตหรือน่าจดจำจนกระทั่งเขาอายุหกสิบปี

ประวัติ[แก้]

กรัสมัน เป็นลูกคนที่สามจากสิบสองคนของยุสทุส กึนเทอร์ กรัสมัน (Justus Günter Graßmann) ยุสทุสเป็นพระนักบวชที่สอนคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ที่โรงเรียนชเต็ททีน (Stettin Gymnasium) และแฮร์มันก็เรียนที่นั่นด้วย แฮร์มันมักทำงานร่วมกับพี่ชายชื่อโรแบร์ท (Robert)

กรัสมันเป็นนักเรียนธรรมดาจนกระทั่งเขาทำคะแนนได้สูงมากในการสอบเข้ามหาวิทยาลัยต่าง ๆ ในปรัสเซีย (Preußen) เขาศึกษาเทววิทยาที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน เมื่อต้นปี ค.ศ. 1827 และยังเรียนภาษาวรรณคดีโบราณ (เช่น กรีกโบราณ ละติน ฯลฯ) ปรัชญา และวรรณคดี แต่ไม่พบว่าเขาเรียนคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์

แม้ว่าเขาจะไม่ผ่านการเรียนคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัย แต่เขาสนใจคณิตศาสตร์มากที่สุดเมื่อเขากลับมาที่ชเต็ททีนเมื่อปี ค.ศ. 1830 หลังจากเขาจบการศึกษาที่เบอร์ลิน หลังจากนั้นเขาเตรียมตัวหนึ่งปีเพื่อเข้าสอบเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน แต่ก็ได้รับอนุญาตให้ทำการสอนคณิตศาสตร์แค่ในระดับต้นเท่านั้น เขาได้เป็นผู้ช่วยที่โรงเรียนชเต็ททีนเมื่อฤดูใบไม้ผลิปีค.ศ. 1832 ระหว่างนั้นเขาได้ค้นพบคณิตศาสตร์แบบใหม่เป็นครั้งแรก ซึ่งนำไปสู่ความคิดทีสำคัญ ซึ่งเขาได้ตีพิมพ์เป็นเอกสารเผยแพร่เมื่อปี ค.ศ. 1844

กรัสมันเริ่มสอนที่โรงเรียนพาณิชย์ในเบอร์ลิน เมื่อปี ค.ศ. 1834 อีกหนึ่งปีต่อมาเขากลับมาที่ชเต็ททีน สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เยอรมัน ละติน และศาสนาที่โรงเรียนอ็อทโท (Otto) แต่เขาก็ได้สอนแค่ในระดับต้นเท่านั้น สี่ปีต่อมาเขาผ่านการสอบและได้รับอนุญาตให้สอนคณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ เคมี และวิทยาแร่ ในระดับมัธยมศึกษา

กรัสมันค่อนข้างเสียใจว่า เขากำลังสร้างนวัตกรรมใหม่ทางคณิตศาสตร์แต่เขาสอนได้แค่ระดับมัธยมศึกษา แต่เขาก็ได้เลื่อนตำแหน่งแม้ไม่เคยออกจากชเต็ททีน เขาได้เป็นครูใหญ่เมื่อปี ค.ศ. 1847 เขาได้รับตำแหน่งสืบต่อจากพ่อที่ล่วงลับที่โรงเรียนชเต็ททีน และได้เป็นศาสตราจารย์เมื่อปี ค.ศ. 1852 เขาได้ขอให้รัฐมนตรีกระทรวงศึกษาธิการของปรัสเซียหาตำแหน่งให้เขาที่มหาวิทยาลัยเมื่อปี ค.ศ. 1847 แอ็นสท์ คุมเมอร์ (Ernst Kummer) ได้เขียนตอบกลับมาว่า เรียงความชิงรางวัลเมื่อปี ค.ศ. 1846 ของกรัสมันมีเนื้อหาที่ดีแต่อยู่ในรูปแบบยังไม่ดีพอ รายงานฉบับนี้ของคุมเมอร์ทำให้กรัสมันหมดโอกาสที่จะได้รับตำแหน่งที่มหาวิทยาลัย ซึ่งแสดงถึงบรรทัดฐานของคนในยุคนั้น ทำให้สมัยนั้นไม่มีใครได้จดจำคุณค่าทางคณิตศาสตร์ของกรัสมัน

ในช่วงความวุ่นวายทางการเมืองในประเทศเยอรมนี ช่วงปี ค.ศ. 1848–1849 แฮร์มันและโรแบร์ท กรัสมัน ตีพิมพ์บทความลงในหนังสือพิมพ์ชเต็ททีนเพื่อเรียกร้องการรวมประเทศเยอรมนีและปกครองในระบอบราชาธิปไตยภายใต้รัฐธรรมนูญ (ซึ่งสำเร็จเมื่อปี ค.ศ. 1872) หลังจากกฎหมายรัฐธรรมนูญเขียนเสร็จ แฮร์มันได้ขัดแย้งกับหนังสือพิมพ์ และพบว่าตัวเขาเองขัดแย้งกับทิศทางทางการเมืองของมันมากขึ้นเรื่อย ๆ

กรัสมันมีลูกสิบเอ็ดคน แต่มีแค่เจ็ดคนที่ได้โตเป็นผู้ใหญ่ ลูกชายคนหนึ่งของเขา แฮร์มัน แอ็นสท์ กรัสมัน (Hermann Earnst Graßmann) ได้เป็นศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยกีเซิน

นักคณิตศาสตร์[แก้]

กรัสมันเข้าร่วมสอบหลายครั้ง การสอบครั้งหนึ่งของเขาบังคับให้เขาต้องส่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีกระแสน้ำ เมื่อปี ค.ศ. 1840 เขาได้ใช้ทฤษฎีพื้นฐานจากกลศาสตร์ท้องฟ้าของปีแยร์ ซีมง ลาปลัส และจากกลศาสตร์วิเคราะห์ของโฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ แต่แสดงการใช้ทฤษฎีนี้กับกระบวนการทางเวกเตอร์ที่เขาได้พัฒนาขึ้นเมื่อปี ค.ศ. 1832 เขาได้การตีพิมพ์บทความนี้เป็นครั้งแรกในงานสะสมแห่งปี ค.ศ. 1894–1911 มีเนื้อหาถึงเรื่องที่เพิ่งรู้จักเป็นครั้งแรกซึ่งปัจจุบันเราเรียกมันว่า พีชคณิตเชิงเส้นและปริภูมิเวกเตอร์ เขาพัฒนากระบวนการเหล่านี้ต่อไปในงานของเขา A1 และ A2 (ดู อ้างอิง)

เมื่อปี ค.ศ. 1844 กรัสมันตีพิมพ์ผลงานชิ้นเอกของเขาคือ ทฤษฎีส่วนขยายเชิงเส้น คณิตศาสตร์สาขาใหม่ (Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik)[1] [The Theory of Linear Extension] ตั้งชื่อว่า A1 และเป็นที่รู้โดยทั่วไปว่าหมายถึง Ausdehnungslehre,[2] ซึ่งแปลว่า ทฤษฎีส่วนขยายเชิงปริมาณ เนื่องจาก A1 เสนอรากฐานใหม่ทั้งหมดของคณิตศาสตร์ งานนี้จึงเริ่มต้นด้วยคำนิยามทั่วไปของธรรมชาติเชิงปรัชญา แล้วกรัสมันก็ได้แสดงว่า เมื่อใส่เรขาคณิตลงไปในพีชคณิต ตัวเลขสามไม่ได้มีบทบาทพิเศษอะไรในฐานะตัวเลขของมิติแห่งปริภูมิ ในความเป็นจริงแล้วตัวเลขที่เป็นไปได้ของมิตินั้นไม่จำกัด

เฟิร์นลีย์ แซนเดอร์ (Fearnley-Sander) (1979) เก็บถาวร 2012-06-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน อธิบายถึงรากฐานของพีชคณิตเชิงเส้นของกรัสมันไว้ดังต่อไปนี้

คำนิยามของปริภูมิเชิงเส้น (ปริภูมิเวกเตอร์)... เริ่มเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางช่วงปี ค.ศ. 1920 เมื่อแฮร์มัน ไวล์ (Hermann Weyl) และคนอื่น ๆ ได้ตีพิมพ์คำนิยามอย่างเป็นทางการ แท้จริงแล้ว เปอาโน (Peano) เคยให้คำนิยามแบบนี้เมื่อสามสิบปีก่อน เปอาโนคุ้นเคยกับงานทางคณิตศาสตร์ของกรัสมันเป็นอย่างดี กรัสมันไม่ได้ให้คำนิยามอย่างเป็นทางการไว้ แต่ไม่ต้องสงสัยว่าเขามีกรอบความคิดนั้น

เริ่มต้นด้วยกลุ่มของสมาชิกที่เรียกว่า "หน่วย" (unit) e1, e2, e3, ..., เขานิยามปริภูมิเชิงเส้นอิสระที่พวกมันทำให้เกิดขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ พูดได้ว่าเขาพิจารณาถึงการจัดหมู่เชิงเส้นอย่างเป็นทางการ a1e1 + a2e2 + a3e3 + ... โดยที่ aj เป็นจำนวนจริง นิยามการบวกและการคูณด้วยจำนวนจริง [การบวกและการคูณจำนวนจริงเป็นเรื่องธรรมดาในปัจจุบัน] และพิสูจน์คุณสมบัติของปริภูมิเชิงเส้นสำหรับการดำเนินการเหล่านี้อย่างเป็นทางการ ... จากนั้นเขาก็พัฒนาทฤษฎีของความเป็นอิสระเชิงเส้น (linear independence) ในแนวทางเดียวกับการนำเสนอที่เราพบในตำราพีชคณิตเชิงเส้นสมัยใหม่ไว้อย่างน่าอัศจรรย์ เขานิยามกรอบความคิดของปริภูมิย่อย (subspace), ความเป็นอิสระเชิงเส้น, ส่วนขยายเชิงเส้น (linear span), มิติ, การเชื่อมและการต่อ (join and meet) ของปริภูมิย่อย และการแตกส่วนย่อย (projection) ของสมาชิกลงบนปริภูมิย่อย

...น้อยคนนักที่เข้าใกล้การสร้างวิชาใหม่เพียงลำพังมากกว่าแฮร์มัน กรัสมัน

ติดตามความคิดของพ่อของกรัสมัน A1 ยังได้นิยามผลคูณภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์โพรดักต์ exterior product) ที่เรียกอีกอย่างว่าผลคูณเชิงการจัด "combinatorial product" ด้วย (äußeres Produkt[3] หรือ kombinatorisches Produkt[4]) สาขาหลักสาขาหนึ่งของพีชคณิตที่ปัจจุบันเราเรียกว่า พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา exterior algebra) (เราควรระลึกไว้ในใจว่าในสมัยของกรัสมัน ทฤษฎีที่ยอมรับกันโดยทั่วไปมีแค่เรขาคณิตแบบยูคลิด (Euclidean geometry) และยังต้องนิยามกรอบความคิดทั่วไปของพีชคณิตเชิงทฤษฎีอยู่) เมื่อปี ค.ศ. 1878 วิลเลียม คิงดอน คลิฟฟอร์ด (William Kingdon Clifford) เชื่อมพีชคณิตเชิงเส้นนี้เข้ากับควาเทอร์เนียน (quaternions) ของวิลเลียม โรวาล ฮามิลทัน (William Rowan Hamilton) โดยการเปลี่ยนกฎของกรัสมัน epep = 0 ด้วยกฎ epep = 1. (สำหรับ ควอเทอร์เนียน, เรามีกฎ i2 = j2 = k2 = −1.) รายละเอียดเพิ่มเติมดู พีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซ์ทีเรียร์อัลจีบรา)

A1 เป็นตำราที่ปฏิวัติคณิตศาสตร์ ล้ำหน้ากว่าสมัยของมันมากเกินไปที่จะเป็นที่ยอมรับ กรัสมันนำเสนอมันในฐานะของวิทยานิพนธ์ดุษฎีบัณฑิตสาขาปรัชญา (Doctor of Philosophy) แต่เอากุสท์ แฟร์ดีนันท์ เมอบีอุส (August Ferdinand Möbius) พูดว่าเขาไม่สามารถประเมินค่าของมัน และส่งต่อให้แอ็นสท์ คุมเมอร์ แต่คุมเมอร์ไม่ยอมรับมันโดยที่เขายังไม่ได้อ่านเนื้อหาอย่างถี่ถ้วน สิบกว่าปีต่อมากรัสมันได้เขียนงานหลายรูปแบบโดยประยุกต์ใช้ทฤษฎีส่วนขยายของเขา รวมถึงผลงานของเขาเมื่อปี ค.ศ. 1845 ทฤษฎีพลศาสตร์ไฟฟ้า (Neue Theorie der Elektrodynamik)[5] และเอกสารหลายฉบับเกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิวเชิงพีชคณิตด้วยความหวังว่าการประยุกต์ใช้งานเหล่านี้จะนำพาผู้คนอื่น ๆ ให้หันมาสนใจทฤษฎีของเขาอย่างจริงจัง

เมื่อปี ค.ศ. 1846 เมอบีอุสได้เชิญกรัสมันเข้าร่วมการแข่งขันแก้ปัญหาที่เสนอโดยก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์ เป็นครั้งแรก: เพื่อที่จะคิดค้นแคลคูลัสเชิงเรขาคณิตโดยไม่มีระบบพิกัดและคุณสมบัติเชิงเมทริกซ์ (ซึ่งไลบ์นิทซ์เรียกว่า แบบโครงสร้างการวิเคราะห์ (analysis situs) การวิเคราะห์เชิงเรขาคณิตของกรัสมัน (Geometrische Analyse geknüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik)[6] เป็นผู้ชนะการแข่งขัน (เป็นผู้เข้าร่วมเพียงผู้เดียวอีกด้วย) ยิ่งไปกว่านั้นเมอบีอุสในฐานะผู้ตัดสินคนหนึ่งได้วิจารณ์วิธีที่กรัสมันเสนอกรอบความคิดเชิงทฤษฎีโดยไม่ช่วยให้ผู้อ่านเข้าใจว่าทำไมกรอบความคิดนั้นจึงมีคุณค่า

เมื่อปี ค.ศ. 1853 กรัสมันได้ตีพิมพ์ทฤษฎีการผสมสีของแสง เรียกว่า กฎของกรัสมัน (Grassmann's law (optics)) ซึ่งยังคงมีการสอนกันอยู่ งานของกรัสมันในเรื่องนี้ไม่สอดคล้องกับงานของแฮร์มัน ฟ็อน เฮ็ล์มฮ็อลทซ์ กรัสมันยังได้เขียนเรื่องผลิกศาสตร์ (crystallography) วิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (electromagnetism) และกลศาสตร์ (mechanics)

เมื่อปี ค.ศ. 1861 กรัสมันได้แถลงถึงหลักฐานที่เป็นจริงเสมอทางเลขคณิต ทำให้เกิดการใช้หลักของการเหนียวนำอย่างอิสระ เปอาโนและลูกศิษย์ของเขาสนับสนุนงานชิ้นนี้อย่างอิสระเมื่อช่วงปี ค.ศ. 1890 ลอยด์ ซี. คานเนนเบิร์ก (Lloyd C. Kannenberg) ได้ตีพิมพ์ทฤษฎีส่วนขยาย (Ausdehnungslehre) และผลงานอื่น ๆ ของกรัสมันเป็นภาษาอังกฤษเมื่อปี ค.ศ. 1955 (ISBN 0-8126-9275-6. -- ISBN 0-8126-9276-4)

เมื่อปี ค.ศ. 1862 กรัสมันได้ตีพิมพ์ A1 ที่ถูกเขียนขึ้นใหม่ทั้งหมดเป็นครั้งที่สอง โดยหวังที่จะให้ทฤษฎีส่วนขยายของเขาได้รับการยอมรับ และบรรจุคำอธิบายที่น่าเชื่อถือที่สมบูรณ์ที่สุดของพีชคณิตเชิงเส้น (linear algebra) ของเขา ผลที่ตามมาคือทฤษฎีส่วนขยายในรูปแบบที่ขัดเกลามาแล้วอย่างเข้มข้น (Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in strenger Form bearbeitet) ที่เรียกว่า A2 มีอาการก็ไม่ดีกว่า A1 แม้ว่ารูปแบบของคำอธิบายของ A2 ได้ถูกเตรียมไว้เพื่อเป็นตำราของคริสต์ศตวรรษที่ 20

การยอมรับ[แก้]

นักคณิตศาสตร์คนแรก ๆ ที่ชื่นชมความคิดของกรัสมันตอนที่เขายังมีชีวิตคือ แฮร์มัน ฮังเคิล (Hermann Hankel) เจ้าของทฤษฎีระบบจำนวนเชิงซ้อน (Theorie der complexen Zahlensysteme) เมื่อปี ค.ศ. 1867

... ได้พัฒนาบางส่วนของพีชคณิตของกรัสมัน และบางส่วนของควอเทอร์เนียน (quaternion) ของฮามิลทัน ฮานเคิลเป็นคนแรกที่รู้ถึงความสำคัญของงานเขียนของกรัสมันที่ถูกทอดทิ้งมายาวนาน ...[7]

เมื่อปี ค.ศ. 1872 วิคทอร์ ชเลเกิล (Victor Schlegel) ได้ตีพิมพ์ส่วนแรกของระบบของวิทยาศาสตร์อวกาศ (System der Raumlehre) ของเขาซึ่งใช้วิธีของกรัสมันเพื่อที่จะหาผลคูณโบราณและสมัยใหม่ในระนาบเรขาคณิต เฟลิคส์ ไคลน์ (Felix Klein) ได้เขียนบทวิจารณ์เชิงลบถึงตำราของชเลเกิลอ้างถึงความไม่สมบูรณ์และการขาดมุมมองของกรัสมัน ชเลเกิลได้ออกส่วนที่สองของระบบของเขาตามออกมาเมื่อปี ค.ศ. 1875 ให้สอดคล้องกับมุมมองของกรัสมัน คราวนี้เขาพัฒนาเรขาคณิตที่สูงขึ้น ขณะเดียวกันนั้นไคลน์ก็กำลังพัฒนาโครงการแอร์ลังเงิน (Erlangen Program) ของเขาซึ่งได้ขยายขอบเขตของเรขาคณิตเช่นเดียวกัน[8]

ความสามารถในการเรียนรู้ของกรัสมันได้รอคอยกรอบความคิดของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งสามารถแสดงพีชคณิตเชิงหลายเส้น ของทฤษฎีส่วนขยายของเขา บทความของเอ.เอ็น. ไวต์เฮด (A. N. Whitehead) เรื่องพีชคณิตครอบจักรวาล (Universal Algebra) เมื่อปี ค.ศ. 1898 ได้รวมคำอธิบายอย่างเป็นระบบเป็นภาษาอังกฤษของทฤษฎีส่วนขยายและพีชคณิตภายนอกปริภูมิตั้งต้น (เอกซฺทีเรียร์อัลจีบรา) ไว้เป็นครั้งแรก ด้วยการเกิดขึ้นของอนุพันธ์เชิงเรขาคณิต (differential geometry) ทำให้พีชคณิตภายนอกถูกนำมาประยุกต์ใชักับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ (differential form) ของมัน

สำหรับการแนะนำถึงบทบาทร่วมสมัยของผลงานของกรัสมันทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์ (mathematical physics) ดู ถนนสู่ความจริง (The Road to Reality)[9] โดยรอเจอร์ เพนโรส (Roger Penrose)

อาเดมาร์ ฌ็อง โกลด บาเร เดอ แซ็ง-เวอน็อง (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) ได้พัฒนาแคลคูลัสของเวกเตอร์ขึ้นมาเมื่อปี ค.ศ. 1845 แคลคูลัสเวกเตอร์ของเขาเหมือนกับของกรัสมัน เขาจึงโต้เถียงกับกรัสมันว่าใครคิดได้ก่อน กรัสมันได้ตีพิมพ์ผลงานเมื่อปี ค.ศ. 1844 แต่แซ็ง-เวอน็องอ้างว่าเขาได้พัฒนาความคิดเหล่านี้เป็นคนแรกเมื่อปี ค.ศ. 1832

นักภาษาศาสตร์[แก้]

ด้วยความผิดหวังกับความไร้สามารถของผู้อื่นในการตระหนักถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์ของเขา กรัสมันหันไปทางภาษาศาสตร์เชิงประวัติ (historical linguistics) เขาเขียนหนังสือเกี่ยวกับไวยากรณ์ภาษาเยอรมัน เก็บรวบรวมเพลงพื้นบ้าน และเรียนรู้ภาษาสันสกฤต พจนานุกรมและการแปลภาษาฤคเวทของเขายังคงได้รับการตีพิมพ์และได้รับการจดจำท่ามกลางนักภาษาศาสตร์ เขาประดิษฐ์กฎของเสียงของตระกูลภาษาอินโด-ยูโรเปียน และตั้งชื่อว่า กฎของกรัสมัน เพื่อเป็นเกียรติแก่เขา ผู้คนยกย่องเขาในด้านความสำเร็จทางภาษาศาสตร์เหล่านี้ในช่วงชีวิตของเขา สมาคมอเมริกันโอเรียนทัล (American Oriental Society) เชิญให้เขาเข้าร่วมสมาคม และมหาวิทยาลัยทือบิงเงิน ได้มอบปริญญาดุษฎีบัณฑิตกิตติมศักดิ์ให้กับเขาเมื่อปี ค.ศ. 1876

ดูเพิ่ม[แก้]

อ้างอิง[แก้]

แหล่งข้อมูลปฐมภูมิ
แหล่งข้อมูลทุติยภูมิ
  • Crowe, Michael, 1967. A History of Vector Analysis, Notre Dame University Press.
  • Fearnley-Sander, Desmond, 1979, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, เก็บถาวร 2012-06-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน" American Mathematical Monthly 86: 809–17.
  • Fearnley-Sander, Desmond, 1982, "Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra," Am. Math. Monthly 89: 161–66.
  • Fearnley-Sander, Desmond, and Stokes, Timothy, 1996, "Area in Grassmann Geometry [ลิงก์เสีย]". Automated Deduction in Geometry: 141–70
  • Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940. Princeton Univ. Press.
  • Roger Penrose, 2004. The Road to Reality. Alfred A. Knopf.
  • Petsche, Hans-Joachim, 2006. Graßmann (Text in German). (Vita Mathematica, 13). Basel: Birkhäuser.
  • Petsche, Hans-Joachim, 2009. Hermann Graßmann – Biography. Transl. by M Minnes. Basel: Birkhäuser.
  • Petsche, Hans-Joachim; Kannenberg, Lloyd; Keßler, Gottfried; Liskowacka, Jolanta (eds.), 2009. Hermann Graßmann – Roots and Traces. Autographs and Unknown Documents. Text in German and English. Basel: Birkhäuser.
  • Petsche, Hans-Joachim; Lewis, Albert C.; Liesen, Jörg; Russ, Steve (eds.), 2010. From Past to Future: Graßmann's Work in Context. The Graßmann Bicentennial Conference, September 2009. Basel: Springer Basel AG.
  • Petsche, Hans-Joachim and Peter Lenke (eds.), 2010. International Grassmann Conference. Hermann Grassmann Bicentennial: Potsdam and Szczecin, 16–19 September 2009; Video Recording of the Conference. 4 DVD's, 16:59:25. Potsdam: Universitätsverlag Potsdam.
  • Rowe, David E. (2010) "Debating Grassmann's Mathematics: Schlegel Versus Klein", Mathematical Intelligencer 32 (1) :41-8.
  • Victor Schlegel (1878) Hermann Grassmann: Sein Leben und seine Werke on the Internet Archive.
  • Schubring, G., ed., 1996. Hermann Gunther Grassmann (1809–1877) : visionary mathematician, scientist and neohumanist scholar. Kluwer.

Extensive online bibliography, revealing substantial contemporary interest in Grassmann's life and work. References each chapter in Schubring.

ข้อมูลอ้างอิงในเอกสารสิทธิบัตร
  1. ↑ Tr. The rulers extension theory, a new branch of mathematics
  2. ↑ Tr. Expansion plan teachings
  3. ↑ Tr. outer product
  4. ↑ Tr. combinatorial product
  5. ↑ Tr. New theory of electrodynamics
  6. ↑ Tr. Geometric analysis linked to the geometric characteristics invented by Leibniz
  7. ↑ Hankel entry in the Dictionary of Scientific Biography. New York: 1970–1990
  8. ↑ Rowe 2010
  9. ↑ Penrose The Road to Reality, chapters 11 & 2
  10. ↑ Tr. "The rulers extension theory"
  11. ↑ Tr. "Geometric analysis linked to the geometric characteristics invented by Leibniz"
  12. ↑ Tr. "Higher mathematics for schools , Volume 1"
  13. ↑ Tr. "Dictionary of the Rig-Veda"
  14. ↑ Tr. "Collected mathematical and physical works"

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

[[วิกิพีเดีย:|ข้อมูลบุคคล]]
ชื่อ Grassmann, Hermann}
ชื่ออื่น Hermann Graßmann
รายละเอียดโดยย่อ
วันเกิด April 15, 1809
สถานที่เกิด Stettin (Szczecin)
วันตาย September 26, 1877
สถานที่ตาย Stettin
เข้าถึงจาก "https://th.wikipedia.org/w/index.php?title=แฮร์มัน_กึนเทอร์_กรัสมัน&oldid=10110455"