กฎของไซน์

ในตรีโกณมิติ กฎของไซน์ (อังกฤษ: law of sines) เป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์เกี่ยวกับความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ กับไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยม ดังนี้

{\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,d

เมื่อ $a, b$ , และ $c$ เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม และ $A, B$ , และ $C$ เป็นมุมตรงข้าม (ดังรูปที่ 1) ขณะที่ $d$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของไซน์บางครั้งสามารถเขียนโดยใช้ตัวผกผันการคูณ

{\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}

กฎของไซน์สามารถนำไปใช้คำนวณด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน การคำนวณโดยใช้วิธีนี้อาจให้ผลลัพธ์ที่มีความผิดพลาดเชิงตัวเลขได้ ถ้ามุมหนึ่งเข้าใกล้ 90 องศา

กฎของไซน์เป็นหนึ่งในสองสมการตรีโกณมิติที่ใช้ในการหาความยาวด้านและมุมในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ซึ่งอีกสมการหนึ่งก็คือ กฎของโคไซน์

การพิสูจน์

พื้นที่ $T$ ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ สามารถเขียนได้เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวฐานคูณด้วยความสูง โดยเลือกด้านหนึ่งเป็นฐาน และความสูงของรูปสามเหลี่ยมคำนวณได้โดยการเลือกอีกด้านในรูปสามเหลี่ยม นำความยาวของด้านนั้นคูณด้วยไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านที่เลือกกับด้านที่เป็นฐาน ดังนั้น ถ้าขึ้นอยู่กับการเลือกด้านที่จะเป็นฐาน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมก็สามารถเขียนได้แตกต่างกัน ดังนี้