กฎของไซน์

บทความนี้เกี่ยวกับกฎของไซน์ในตรีโกณมิติ สำหรับกฎของไซน์ในฟิสิกส์ ดูที่ กฏของสเนลล์

รูปที่ 1 – กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มี A, B และ C เป็นมุม และ a, b, c และด้านตรงข้ามของมุมตามลำดับ (กล่าวคือ ด้าน a ตรงข้ามกับมุม A เป็นต้น)

ในตรีโกณมิติ กฎของไซน์ (อังกฤษ: law of sines) เป็นสมการที่แสดงความสัมพันธ์เกี่ยวกับความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ กับไซน์ของมุมในรูปสามเหลี่ยม ดังนี้

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\,=\,d$

เมื่อ a, b, และ c เป็นความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยม และ A, B, และ C เป็นมุมตรงข้าม (ดังรูปที่ 1) ขณะที่ d เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของไซน์บางครั้งสามารถเขียนโดยใช้ตัวผกผันการคูณ

${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}$

กฎของไซน์สามารถนำไปใช้คำนวณด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน การคำนวณโดยใช้วิธีนี้อาจให้ผลลัพธ์ที่มีความผิดพลาดเชิงตัวเลขได้ ถ้ามุมหนึ่งเข้าใกล้ 90 องศา

กฎของไซน์เป็นหนึ่งในสองสมการตรีโกณมิติที่ใช้ในการหาความยาวด้านและมุมในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ซึ่งอีกสมการหนึ่งก็คือ กฎของโคไซน์

การพิสูจน์

พื้นที่ T ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ สามารถเขียนได้เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวฐานคูณด้วยความสูง โดยเลือกด้านหนึ่งเป็นฐาน และความสูงของรูปสามเหลี่ยมคำนวณได้โดยการเลือกอีกด้านในรูปสามเหลี่ยม นำความยาวของด้านนั้นคูณด้วยไซน์ของมุมที่อยู่ระหว่างด้านที่เลือกกับด้านที่เป็นฐาน ดังนั้น ถ้าขึ้นอยู่กับการเลือกด้านที่จะเป็นฐาน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมก็สามารถเขียนได้แตกต่างกัน ดังนี้

$T={\frac {1}{2}}b(c\sin A)={\frac {1}{2}}c(a\sin B)={\frac {1}{2}}a(b\sin C)\,$

คูณด้วย 2/abc ตลอดทั้งสมการ จะได้

${\frac {2T}{abc}}={\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,$

ดูเพิ่ม

• กฎของโคไซน์
• กฎของแทนเจนต์
• กฎของโคแทนเจนต์
• รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Sine theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• The Law of Sines at cut-the-knot
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree
• Generalized law of sines to higher dimensions
• Law of Sines - ProofWiki