รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไปยังการนำทาง ไปยังการค้นหา
โคไซน์และไซน์รอบวงกลมหนึ่งหน่วย

ในวิชาคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ และเป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปรมุม เมื่อแต่ละข้างของสมการสามารถหาค่าได้ ในทางเรขาคณิต เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ คือ เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของมุมหนึ่งมุมขึ้นไป แตกต่างจากเอกลักษณ์รูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับมุมเช่นกัน แต่จะรวมถึงความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมด้วย

เอกลักษณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์ เมื่อใดที่มีปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ การประยุกต์ที่สำคัญ คือ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งเป็นวิธีการที่ต้องใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นลำดับแรกก่อน แล้วจึงหาผลลัพธ์ของปริพันธ์โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

สัญกรณ์[แก้]

มุม[แก้]

บทความนี้จะใช้อักษรกรีก เช่น แอลฟา (α), บีตา (β), แกมมา (γ), และทีตา (θ) เพื่อใช้แทนมุม และมีหน่วยในการวัดขนาดของมุมที่แตกต่างกันที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง ได้แก่ องศา เรเดียน และแกรเดียน (แกร็ด หรือก็อน)

1 รอบเต็มของวงกลม  = 360 องศา = 2π เรเดียน = 400 ก็อน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงหน่วยและค่าของมุมทั่วไป

การแปลงมุมทั่วไป
รอบ องศา เรเดียน แกรเดียน ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ[แก้]

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ได้แก่ ไซน์และโคไซน์ของมุม บางครั้งสามารถเขียนย่อได้เป็น sin(θ) และ cos(θ) ตามลำดับ เมื่อ θ เป็นขนาดของมุม แต่เราสามารถเขียนละวงเล็บที่อยู่หน้าและหลังขนาดของมุมได้เป็น sin θ และ cos θ

ฟังก์ชันไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันโคไซน์ของมุมได้นิยามไว้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไว้ว่า เป็นอัตราส่วนของความยาวด้านประชิดมุมนั้นต่อความยาวด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนั้น (ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

ฟังก์ชันแทนเจนต์ (tan) ของมุม คือ อัตราส่วนของไซน์และโคไซน์

และสุดท้าย ฟังก์ชันส่วนกลับ ได้แก่ เซแคนต์ (sec), โคเซแคนต์ (csc), และโคแทนเจนต์ (cot) ซึ่งเป็นส่วนกลับการคูณของโคไซน์ ไซน์ และแทนเจนต์ ตามลำดับ

นิยามเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเอกลักษณ์อัตราส่วน

ฟังก์ชันผกผัน[แก้]

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันผกผันของไซน์ เรียกว่า อินเวอร์สไซน์ (sin−1) หรือ อาร์กไซน์ (arcsin หรือ asin) โดยที่

และ

บทความนี้จะใช้สัญกรณ์ข้างล่างนี้สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ฟังก์ชัน sin cos tan sec csc cot
ฟังก์ชันผกผัน arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot

รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ[แก้]

เมื่อกำหนด เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้


เมื่อกำหนด และ เป็นขนาดของมุมใด ๆ จะได้