จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
รูปที่ 1 – กำหนดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม α β γ a b c ในตรีโกณมิติ กฎของแทนเจนต์ (อังกฤษ : law of tangents )[ 1] รูปสามเหลี่ยม และความยาวด้านตรงข้าม ในรูปที่ 1 a b c α β γ ตรงข้าม ของด้านทั้งสามตามลำดับ กฎของแทนเจนต์ นั้นกล่าวว่า
a
−
b
a
+
b
=
tan
(
1
2
(
α
−
β
)
)
tan
(
1
2
(
α
+
β
)
)
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}}
แม้ว่ากฎของแทนเจนต์ไม่เป็นที่รู้จักเหมือนกับกฎของไซน์ และกฎของโคไซน์ แต่ก็สามารถคำนวณได้เทียบเท่ากับกฎของไซน์ และสามารถนำไปใช้ได้ในกรณีที่ทราบด้านสองด้านและมุมตรงข้ามหนึ่งมุม หรือทราบมุมสองมุมและด้านหนึ่งด้าน
การพิสูจน์กฎของแทนเจนต์เริ่มด้วยกฎของไซน์
a
sin
α
=
b
sin
β
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}
ให้
d
=
a
sin
α
และ
d
=
b
sin
β
{\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}\quad {\text{และ}}\quad d={\frac {b}{\sin \beta }}}
จะได้
a
=
d
sin
α
และ
b
=
d
sin
β
.
{\displaystyle a=d\sin \alpha \quad {\text{และ}}\quad b=d\sin \beta .}
ทำให้ได้
a
−
b
a
+
b
=
d
sin
α
−
d
sin
β
d
sin
α
+
d
sin
β
=
sin
α
−
sin
β
sin
α
+
sin
β
.
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}
จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ เปลี่ยนผลบวกไซน์เป็นผลคูณ
sin
(
α
)
±
sin
(
β
)
=
2
sin
(
α
±
β
2
)
cos
(
α
∓
β
2
)
{\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)}
จะได้
a
−
b
a
+
b
=
2
sin
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
2
sin
1
2
(
α
+
β
)
cos
1
2
(
α
−
β
)
=
sin
1
2
(
α
−
β
)
cos
1
2
(
α
−
β
)
÷
sin
1
2
(
α
+
β
)
cos
1
2
(
α
+
β
)
=
tan
(
1
2
(
α
−
β
)
)
tan
(
1
2
(
α
+
β
)
)
{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}\div {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}}}
