กึ่งแกนเอก

กึ่งแกนเอกของวงรี

กึ่งแกนเอก (semi-major axis) เป็นตัวแปรสำคัญค่าหนึ่งที่แสดงสมบัติของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาใน เรขาคณิต และใช้กับวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าในทางดาราศาสตร์ด้วย

วงรี

สำหรับวงรี กึ่งแกนเอกคือรัศมีตามแนวแกนเอก เส้นตรงที่ลากผ่านกึ่งแกนเอก จะลากผ่านจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสทั้ง 2 จุด และยังตัดจุดที่มีความโค้งมากที่สุด 2 จุดบนเส้นรอบวงวงรี สำหรับในกรณีของวงกลม ค่ากึ่งแกนเอกจะเท่ากับรัศมี

ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวกึ่งแกนเอก $a$ คือ กึ่งแกนโท $b$, ความเยื้องศูนย์กลาง $e$ และ กึ่งเลตัสเรกตัม $\ell$ เป็นดังต่อไปนี้

${\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}}\\\ell &=a(1-e^{2})\\a\ell &=b^{2}\end{aligned}}$

ถ้าให้จุดโฟกัสและ $\ell$ คงที่ และจุดโฟกัสอีกจุดหนึ่งเคลื่อนห่างไกลออกไปมาก ๆ ในทิศทางหนึ่ง ในที่สุดจะได้เป็นพาราโบลา ในกรณีนี้ $a$ และ $b$ จะเข้าใกล้อนันต์ แต่ $a$ จะเพิ่มขึ้นเร็วกว่า $b$

กึ่งแกนเอกคือค่าเฉลี่ยของระยะทางต่ำสุดและสูงสุดจากจุดโฟกัสจุดหนึ่งไปยังจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงรี ถ้าเขียนในระบบพิกัดเชิงขั้ว โดยจุดโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่จุดกำเนิด และอีกจุดหนึ่งอยู่ในทิศทางบวกตามแกน x จะได้ว่า

$r={\frac {\ell }{1-e\cos \theta }}$

และค่าเฉลี่ยของค่าต่ำสุด $r={\dfrac {\ell }{1+e}}$ และค่าสูงสุด $r={\dfrac {\ell }{1-e}}$ จะเป็น

$r=a={\dfrac {\ell }{1-e^{2}}}$

ไฮเพอร์โบลา

กึ่งแกนเอก (a), กึ่งแกนโท (b) และ เรตัสเรกตัม (p) ของไฮเพอร์โบลา

ในไฮเพอร์โบลา กึ่งแกนเอกคือระยะครึ่งหนึ่งของระยะห่างระหว่างเส้นโค้งทั้งสองข้าง ในกรณีที่แกนเอกอยู่ในแนวแกน x จะได้ว่า

${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1$

หรืออาจเขียนในรูปของเลตัสเรกตัม $\ell$ และความเยื้องศูนย์กลาง $e$ เป็น

$a={\frac {\ell }{e^{2}-1}}$

ดาราศาสตร์

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า คาบการโคจร $T$ ของวัตถุท้องฟ้าขนาดเล็กในวงโคจรเป็นวงกลมหรือวงรีรอบดาวฤกษ์สามารถแสดงได้ด้วยสูตรต่อไปนี้

$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$

ในที่นี้

• $a$ คือกึ่งแกนเอกของวงโคจร
• $\mu$ เป็นผลคูณของค่าคงที่ความโน้มถ่วงและมวล

จากสูตรนี้ จะเห็นได้ว่าคาบการโคจรของวงโคจรวงรีที่มีกึ่งแกนเอกวงโคจรเท่ากันจะมีค่าเท่ากันโดยไม่คำนึงถึงค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในทางดาราศาสตร์ กึ่งแกนเอกเป็นหนึ่งในองค์ประกอบของวงโคจรที่สำคัญที่สุดพร้อมกับคาบการโคจร ในระบบสุริยะ กึ่งแกนเอกของวงโคจรมีความสัมพันธ์กับคาบการโคจรตามกฎข้อที่สามของเค็พเพลอร์

$T^{2}=a^{3}$

โดยที่ $T$ คือคาบการโคจรในหน่วยปี และ $a$ คือกึ่งแกนเอกในหน่วยดาราศาสตร์ สมการนี้ได้จากการสมการปัญหาวัตถุสองชิ้นของไอแซก นิวตัน โดยลดความซับซ้อนของพจน์ความโน้มถ่วงลง

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}$

ในที่นี้

• $G$ คือค่าคงตัวความโน้มถ่วง
• $M$ คือมวลของดาวปฐมภูมิ
• $m$ คือมวลของดาวทุติยภูมิ

เนื่องจากโดยปกติแล้ว $M$ จะมีค่ามากกว่า $m$ มาก ผลกระทบจากค่า $m$ จึงถูกละเว้น ซึ่งนำไปสู่สมการของเค็พเพลอร์

การคำนวณกึ่งแกนเอกของวงโคจรจากเวกเตอร์ตำแหน่ง

ในกลศาสตร์ท้องฟ้า กึ่งแกนเอกของวงโคจร $a$ สามารถคำนวณได้จากเวกเตอร์ตำแหน่งของวัตถุท้องฟ้า ถ้าวงโคจรเป็นวงรีจะได้ว่า

$a=-{\frac {\mu }{2\epsilon }}$

ถ้าเป็นไฮเพอร์โบลาจะได้ว่า

$a={\frac {\mu }{2\epsilon }}$

โดยที่

${\begin{aligned}\epsilon &={\frac {\,v^{2}}{2\,}}-{\frac {\mu }{\left|\mathbf {r} \right|}}\\\mu &=GM\end{aligned}}$

ถ้ารู้มวลของดาวฤกษ์และพลังงานศักย์โดยรวมแล้วก็จะหาค่ากึ่งแกนเอกได้โดยไม่ต้องคำนึงถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจร

ในที่นี้

• $v$ เป็นความเร็ววงโคจรที่ได้จากเวกเตอร์ความเร็ว
• $\mathbf {r}$ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของดาวหลัก
• $G$ เป็นค่าคงที่ความโน้มถ่วง
• $M$ เป็นมวลของดาวหลัก

ตัวอย่าง

สถานีอวกาศนานาชาติมีคาบการโคจร 91.74 นาที และกึ่งแกนเอกของวงโคจรเป็น 6738 กม.

ดูเพิ่ม

• กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท